\input{preamble}

\title{1 - 10 - INTEGRALET II}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

%burde nok hatt middelverdisatsen for integraler

% husk å lage avkjølingsmodell med varierende temp på omgivelser:
%https://physoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1113/expphysiol.2005.030551
%husk å ta massevirkningsloven på en bedre måte

%husk å ta med at eksplisitte metoder krasjer om h er for stor

%husk pendel- og pendelklokke, io og lyshastigheten, samt oppdagelsen av neptun og mallory og irvine og vulcan
% husk å ende opp med matriseeksponensial som springbrett videre

%husk gian-carlo rota og plane autonomous systems og termodynamikk
%hubbles lov

% husk shannonentropi vs sapolsky overraskelse ca 51:00 her https://www.youtube.com/watch?v=P388gUPSq_I&t=4s
% husk histioren med de nye filnavnene til negativscan og dato og sapolskys hukommelseseksperiment

%https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_mass_action
%https://snl.no/massevirkningsloven
%https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_point
%husk ustabil balanse under dykk, s 385 ancestors tale, man synker under og stiger opp over

%husk kumulativ snø gudbrandsdalen
%husk døgngrader på elgtungen.
%massesenter via dreiemoment $\int_a^b (x-x_m)f(x)\; dx = 0, 
%tenk kuler av forskjellige metaller montert på en stang

Viggo Brun
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Viggo_Brun}} skal ha sagt:
\say{Derivasjon er et håndverk, integrasjon er en kunst!}

Det han mente å si,
var nok at derivasjon er ganske lett (det er bare å bruke noen regneregler),
mens antiderivasjon kan være ganske vanskelig.
Man kan bruke et liv på å trene på antiderivasjon.
Et tilforlatelig funksjonsuttrykk kan være enten lett eller vanskelig eller fullstendig håpløst å antiderivere,
og det er ofte umulig å avgjøre hvilken av disse som er tilfellet før man har prøvd.
Kanskje er det til og med lett,
men man kan ikke akkurat det trikset som må brukes;
jeg har opplevd å gjøre et integral så mange ganger i forelesning at jeg kan det i søvne,
for så å ikke ha noen erindringer overhodet om hva trikset er bare noen få år senere.

Men hvis du kombinerer alt du har lært denne uken med antiderivasjonsreglene du lærte på skolen,
har du en grei verktøykasse å jobbe med om du må beregne kompliserte arealer.
Nå skal vi se på hva disse arealene kan tolkes som.
Integralet dukker opp overalt i anvendelser,
og det er ofte mye lettere å forstå anvendelsene om man forstår integralet.\\
\textbf{Integrals hemmelighet avsløres ved å se på benevningen i
den avhengige og uavhengige variabelen,
gange dem sammen og se hva man får.}

For å forstå dette er det nok lurest å dra gjennom masse eksempler.
La oss begynne med noe du allerede kan fra gymnaset.
Volumet av omdreiningslegemet som fremkommer ved å dreie
 $f:[a,b]\to \mathbb R$ gitt ved $f(x)$ en gang om $x$-aksen,
er gitt ved
    \[
   \pi \int_a^b f^2(x)  \; dx.
    \]
Dette er fordi $g(x) = \pi f^2(x)$ er en funksjon som gir
arealet av et tverrsnitt.
Når vi integrerer $g$,
tolkes \textit{høyden i riemannhistogrammet som et areal},
og når vi så ganger med basen til histogrammet (som tolkes som lengde),
blir resultatet et volum.

\begin{oppgave}{18}
Drei litt på en bit av sinuskurven,
for eksempel mellom to av nullpunktene,
og finn volumet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
Vis at volumet til en kule med radius $r$ er $\frac{4\pi}{3}r^3$.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1003292}
\end{center}

\clearpage

Arbeid er en annen klassiker.
I fysikken på skolen lærte du antagelig at arbeid er lik kraft ganger vei.
Men i skolefysikk gjerne kraften konstant,
slik at du kan gange kraft med vei og få arbeidet.
I det virkelige liv endrer kraften seg hele tiden,
og da må vi selvfølgelig integrere:
\[
    \text{arbeid} = \int F dx
\]
Jeg anbefaler en titt her:
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_13.html}

\begin{oppgave}{20-1}
Institutt for fysikk har målt tyngdeakselerasjonen $g \approx 9.8214675$ i kjelleren på realfagsbygget.
Du hopper fra femmeteren på pirbadet. Hvor stort arbeid gjør tyngden på deg frem til du treffer vannspeilet?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{20-2}
Newtons gravitasjonslov sier at gravitasjonskraften på deg er
    \[
        F(r) = \frac{Gm_1m_2}{r^2}
    \]
    der $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} Nm^2/kg^2$  er den universelle gravitasjonskonstanten,
    $m_1$ er jordens masse, og $m_2$ er din masse,
    og $r$ din avstand fra jordens sentrum.
    Alan Eustace \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Space_diving}}
hoppet i 2014 i fallskjerm fra en høyde på nesten 42 km.
    Hvor stort arbeid gjorde tyngden på ham?\\
(Du kan for øvrig se video av Felix Baumgartners 2012-rekord fra 39 km på youtube.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{20-3}
Hva er tyngdeakselerasjonen 42 km opp? 
Hvor stor relativ feil gjør du i forrige oppgave dersom du antar  $g \approx 9.8214675$ hele
veien fra 42 km oppe og ned til bakken?\\
(Relativ feil er feilen delt på størrelsen det er snakk om. 
Relativ feil er viktig;
hvis du måler avstanden bort til sidemannen og bommer med en meter, 
er det en ganske dårlig måling,
men hvis du måler avstanden til månen og bommer med en meter, 
er det ganske bra.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{21}
    Et beholder med et stempel inneholder en ideel gass.
    Vi tilfører varme,
	men lar gassen ekspandere slik at temperaturen holdes konstant.
    Hva er arbeidet stempelet gjør på omgivelsene når volumet går fra $V_1$ til $V_2$?
\end{oppgave}


\includegraphics[scale=.3]{../figurer/stempel}

\clearpage

Hvis basen i riemannsumhistogrammet er et tidsintervall på $t$-aksen, 
og $i(t)$ strømstyrke som funksjon av tiden. 
blir histogramhøyden litt ladning,
og 
\[
\int_a^b i(t)\; dt
\]
total ladning mellom tidspunktene $t=a$ og $t=b$.
La oss si at spenningskilden i kretsen har stått på en god stund slik at kondensatoren blir ladet opp, 
og så blir spenningskilden slått av ved $t=0$ slik at $i(0)=1$. 

\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v$] (0,1);
		\draw (0,3) to (2,3) to [C=1$F$] (4,3) to  (6,3) to [R=1$\Omega$] (6,1) to (0,1);
%		\draw (2,3) to (2,1);
	\end{circuitikz}	
\end{center}

\begin{oppgave}{22}
Hvor mye ladning har passert gjennom motstanden når kondensatoren er utladet?
\end{oppgave}


Hvis du dreier $f: [1,\infty) \to \mathbb{R}$ gitt ved $f(x)=1/x$ om $x$-aksen, 
får du \say{Gabriels trompet}.

\begin{oppgave}{29}
    Finn volumet til Gabriels trompet.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1004765}
\end{center}


\clearpage

Den siste anvendelsen vi skal ta er litt mer subtil,
nemlig buelengde.
Lengden av grafen til $f$ fra $(a,f(a))$ til $\left(b,f(b)\right)$ er
    \[
    \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx.
    \]
Dette er subtilt fordi integranden $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ er en benevningsløs faktor
som angir forholdet mellom lengde på en bitteliten bit av $x$-aksen og en bitteliten bit av kurven
(dersom både $x$ og $f(x)$ måles i meter).
Kurvelengdekonseptet blir veldig viktig om et års tid
når vi skal lære om integrasjon av funksjoner av flere variable,
men la oss venne oss til det allerede nå.

\begin{oppgave}{30}
Finn buelengden til $y=x^{3/2}$ fra $x=0$ til $x=1$.\\
(Denne går med et nødskrik med penn og papir.)
\end{oppgave}

Likningen for en sirkel er
\[
x^2+y^2=r^2
\quad
\text{eller}
\quad
\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1
\]
om du vil.
En generalisering av denne er likningen for en ellipse:
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\]
Punktene som passer i denne likningen ligger på en ellipse som er sentrert i origo og har halvakser $a$ og $b$.
Planetene går stort sett rundt solen i ellipsebaner.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse}}

\begin{oppgave}{31}
Finn omkretsen av en ellipse med halvakser 1 og 2. \\
(Denne går ikke med penn og papir.
Prøv både riemannsummer og trapesmetoden.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{32}
Finn lengden av en periode av sinuskurven.
(Dette integralet kan heller ikke beregnes analytisk.)
\end{oppgave}

Kombinerer du buelengdeformelen med omdreiningslegeme,
får du formelen for overflatearealet til et legeme
som er fremkommet ved å dreie $f>0$ om $x$-aksen:
\[
    \text{overflateareal} = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx
\]

\begin{oppgave}{33}
    Finn overflatearealet til Gabriels trompet.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/M1005141}
\end{center}

Helt på tampen tror jeg vi tar en lavthengende frukt,
nemlig dobbeltintegraler.
Grunnen er at dette kommer ganske tidlig i TMA4245 etter juleferien,
og det er ikke så vanskelig,
men kan være greit å ha sett.
Fra økten i uke 35 vet du at du skal tenke på grafen til $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ som
taket i et hus med grunnflate gitt ved $\Omega \in \mathbb R^2$.
Integralet
\[
\iint_\Omega f
\]
kan du tenke på som volumet av huset.
Dersom $\Omega$ er et rektangel er ikke dette vanskelig å utføre,
og har du skjønt omdreiningslegemer,
bør det går greit å skjønne oppskriften.
La oss finne volumet under $f(x,y) = xy$,
der $\Omega$ er rektangelet avgrenset av $0 \leq x \leq1$ og $0 \leq y \leq2$.
Vi uttrykker våre følelser for $\Omega$ ved å skrive
\[
\Omega=[0,1] \times [0,2]
\]
som kalles et \textbf{kartesisk produkt},
og integralet blir

\begin{equation*}
\iint_\Omega f
=\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}xy \; dxdy
=\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}xy \; dx\right)dy.
\end{equation*}

Dette kalles et \textbf{iterert integral},
for det er et integral inni et annet integral.

Først tar vi det innerste integralet.
Det er med hensyn på $x$,
fordi $dx$ står innerst.
Vi går fremad med samme taktikk som ved partiellderivasjon;
man integrerer med hensyn på $x$,
og later som om $y$ er en konstant:

\begin{equation*}
\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}xy \; dx\right)dy=
\int_{0}^{2}\left[ \frac{1}{2}x^{2}y \;\right]_{x=0}^{x=1} dy=
\int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2}\cdot 1^{2}\cdot y - \frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cdot y\; \right) dy=
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y \; dy
\end{equation*}

Tolkningen av det innerste integralet er nå i samme gate som integranden i omdreiningslegemer;
vi har regnet ut arealet av et tverrsnitt.
Tenk at du for hver $y$-verdi har saget volumet i to med en motorsag,
parallelt  med $x$-aksen.
Funksjonen
\[
\int_{0}^{1}xy \; dx = \frac{1}{2}y,
\]
altså det innerste integralet,
gir  arealet av dette tverrsnittet.
Hvis du skjønte omdreiningslegemer i R2,
skjønte du forhåpentligvis at dersom man har en funksjon som beskriver
arealet av tverrsnittet av et volum,
finner man det totale volumet ved å integrere tverrsnittsfunksjonen:

\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y \; dy=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}y^{2}\; \right]_{y=0}^{y=2}=1
\end{equation*}


Prøv selv nå. Beregn

\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{34}
$
\hspace{3mm}\displaystyle  \int_{0}^1\int_0^3 x + 2y \dee x \dee y
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{35}
$
\hspace{3mm}\displaystyle  \int_{0}^3\int_0^1 x + 2y \dee x \dee y
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{36}
$
\hspace{3mm}\displaystyle  \int_{0}^1\int_0^1 2+\frac{xy}{10} \dee x \dee y
$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\clearpage

\begin{comment}

\section*{UKENS KJEMI}

En klassisk anvendelse av sannsynlighetsfordelinger er i kvantemekanikk.
\url{https://folk.ntnu.no/vegargje/Mattepilot_MTKJ/matte1_kjemi.pdf}

\begin{minipage}{13cm}
Når man jobber med den kvantemekaniske harmoniske oscillatoren:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator}\\
støter man på en situasjon der man må finne arealet under kurven $y=e^{-ax^2}$ og utenfor $y=bx^2$, 
der $a>0$ og $b>0$ er konstanter.
\end{minipage} 
\begin{minipage}{4cm}
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]
      \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
%\filldraw[orange, thick] (0,0) -- (.2,.01) -- (.5,.06) -- (.7,.16) -- (1,.3) -- (1.5,.71) -- (2,1.3)  -- (2,0) -- cycle;
          \draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$x$};
         \draw[->] (0,0) -- (0,1.5);% node[above]{$t$};
\draw[scale=1,domain=-1.3:1.3,smooth,variable=\x,black,thick] 
plot ({\x},{1-(\x*\x)+.5*(\x*\x*\x*\x)-0.16666666666666666*(\x*\x*\x*\x*\x*\x)+0.0416666666666666666*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x)
-0.008333333333333333*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x
+0.001388888888888889*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x)});
      \draw[scale=1,domain=-1.3:1.3,smooth,variable=\x,black,thick] plot ({\x},{(\x*\x)});
       \end{scope}
    \end{tikzpicture}
 \end{center}
\end{minipage} 

\begin{oppgave}{1}
Finn skjæringspunktene mellom de to kurvene.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Lag en funksjon som tar inn $a$ og $b$, 
og beregner en tilnærming til arealet.\\
(Dette er omtrent det samme som å finne arealet under normalfordelingskurven. 
Her må du vite at  
\[
\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} \; dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}},
\]
men hvordan man ser dette må vi vente med til et senere semester.)
\end{oppgave}

Vegard har også laget en oppgave om integralet og Schrödingerlikningen, 
se oppgave 4.1 her:\\
\url{https://folk.ntnu.no/vegargje/Mattepilot_MTKJ/martaoppgaver.pdf}

\section*{UKENS ELEKTROTEKNIKK}


Kretsen under er en dårlig frekvensfordobler.

\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v(t)$] (0,1);
		\draw (0,3) to [D ] (2,3) to [C] (4,3) to [cute inductor] (6,3) to [R] (6,1) to (0,1);
	\end{circuitikz}	
\end{center}

\begin{oppgave}{1}
Anta at $i(0)=1$ etter at spenningskilden er slått av. 
Hvor mye ladning har passert gjennom motstanden når kondensatoren er utladet?
\end{oppgave}


\section*{UKENS REGULERING}

\url{https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0021999113000041?via%3Dihub}

\clearpage

\section*{UKENS REPETISJON FRA R2}

Antiderivasjon er kanskje integralets minst viktige aspekt,
men la oss allikevel repetere litt fra videregående skole bare for å bli varme i trøyen.
Der trener man på de vanligste antiderivasjonstriksene til man blir grønn i fjeset.
Først noen arealklassikere som Arkimedes fant ut av allerede 250 BC.

\begin{oppgave}{1}
Finn arealet avgrenset av $y=x^2$, $y=0$ og $x=1$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Finn arealet avgrenset av $y=x^2$, $y=1$ og $x=0$.
\end{oppgave}

Andre klassikere er de der man bare må skrive om integranden litt. 
Regn ut

\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{3}
$
\displaystyle 
    \quad \int_0^{1} \sqrt{x^2+4x+4} \dee x 
$\\
  (Hint: faktoriser polynomet.)
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{4}
$
\displaystyle 
    \quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + \cos x} \dee x 
$ \\
(Hint: $\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta -1.$)
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{5}
Funksjonene $y=\sin^2(x)$ og $y=1$ avgrenser et uendelig antall noe avrundede pizzastykker. Finn arealet av et av disse.   
\end{oppgave}



Et annet klassisk triks, 
er kjerneregelen. 
Den er egentlig bare kjerneregelen for derivasjon i retur. 
Vi ser for eksempel at
\[
\int 3xe^{-x^2}\; dx=3\int xe^{-x^2}\; dx=-\frac{3}{2} \int -2xe^{-x^2}\; dx = -\frac{3}{2} e^{-x^2}+C
\]
Hvis integranden blir komplisert, 
kan det være lurt å utføre dette trikset som en variabelsubstitusjon,
men dette blir fort en uforståelig oppskrift 
(det var det ihvertfall for meg da jeg gikk på skolen) 
om man ikke skjønner at det er kjerneregelen som ligger i bånn for alt:
\[
\int 3xe^{-x^2}\; dx=-\frac{3}{2}\int e^{u}\; du=-\frac{3}{2} e^{u}+C = -\frac{3}{2} e^{-x^2}+C
\]
Regn ut

\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{6}
$
\displaystyle 
     \quad \int\frac{\sin\left( x \right)}{1+\cos\left( x
      \right)} \dee x
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{7}
$
\displaystyle 
\int e^x \sqrt{1+e^x}\; dx
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{8}
$
\displaystyle 
\int xe^{x^2}\; dx
$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{9}
Finn arealet begrenset av $y=x/(x^2+16)$, $y=0$, $x=0$ og $x=2$. \\[-6pt]
\end{oppgave}




Du husker kanskje formelen for delvis integrasjon:
\[
\int fg'=fg-\int f'g
\]

\begin{oppgave}{10}
Finn 
$
\displaystyle \int e^x\cos x \; dx
$
med delvis integrasjon. Hvis du husker Eulers formel blir den enda lettere.
\end{oppgave}

\end{comment}

\clearpage

\section*{UKENS NØTTER}


\begin{oppgave}{2}
Utled formelen
\[
2\pi \int_a^b xf(x) \; dx
\]
    for volumet som fremkommer ved å dreie $f$ om $y$-aksen. \\
(Dette kalles \textbf{sylinderskallmetoden}. Hvorfor?)
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{4}
Vis at arealet til en ellipse med halvakser $a$ og $b$ er $\pi ab$.\\
(Denne går an med penn og papir.)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{7}
Du kan prøve å integrere Planckfordelingen:
\[
\int_0^\infty \frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{d\lambda}{e^{hc/\lambda k T}-1}=\frac{2\pi^5k^4}{15c^2h^3}T^4
\]
men da skal du nok få svette ganske bra.
\end{oppgave}

\clearpage

Invarianten til lotkavolterrasystemet er 
en funksjon av to variable $x_1$ og $x_2$:
\[
    f(\V x) = x_1 + x_2 - \ln|x_1| - \ln|x_2|
\]

\begin{oppgave}{14}
    Hva er en fornuftig definisjonsmengde?
\end{oppgave}

Grafen til en funksjon fra $\mathbb{R}^2$ til $\mathbb{R}$ 
kan du tenke på som et terreng der $x_1$ og $x_2$ er 
lengde- og breddegrad, 
og $f(\V x )$ høyden over havet. 
Punktene som passer i likningen 
\[
    f(\V x) = C
\]
kalles en \textbf{nivåkurve} til $f$,
siden $f$ er konstant denne kurven.
Dette er det samme som ekvidistansjelinjene på et orienteringskart.
Matplotlib har funksjonalitet for å plotte nivåkurver\footnote{
    \url{https://matplotlib.org/stable/gallery/images_contours_and_fields/contour_demo.html}
    }
    og flater.\footnote{
        \url{https://matplotlib.org/stable/gallery/mplot3d/surface3d.html}
    }


\vspace{-3mm}
\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-2}}[7mm]

\begin{oppgave}{16}
    La $\Omega$ være enhetskvadratet $[0,1] \times [0,1]$ i $\mathbb{R}^2$.
    Plot funksjonen $f:\Omega \to \mathbb{R}$ gitt ved 
    \[
        f\left(\V x \right) = x_1x_2.
    \]   
\end{oppgave}

Funksjonen i oppgaven over kommer fra \textbf{den ideelle gasslov}.
Dette er en utledet regel i statistisk mekanikk,\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_gas_law}}
og sier at i en ideell gass følger trykket $p$, temperaturen $T$
og volumet $V$ formelen
\[
pV=NTk,
\]
der 
$k$ er Boltzmanns konstant\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant}}
og $N$ antall gassmolekyler.
Loven er lett å huske for sivilingeniører siden \say{$NTk$} rimer på \say{NTH}.
\begin{comment}
Man kan også skrive
\[
\frac{3}{2} \frac{pV}{N}=\frac{1}{2}m v^2
\]
der $v$ er forventningsverdien til den $\chi$-fordelte
partikkelhastigheten.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution}}\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell–Boltzmann_distribution}}
\end{comment}

\begin{oppgave}{27}
    Skissér isokorer, 
    isobarer og isotermer. 
    Hvilke funksjoner skisserer du nivåkurvene til?
\end{oppgave}

Dersom $f$ er en funksjon fra $\mathbb{R}^n$ til $\mathbb{R}$,
kan vi finne stigningen i alle koordinatretninger:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_k}=
\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots, x_k+h,\cdots, x_n)-f(x_1,x_2,\cdots, x_k,\cdots, x_n)}{h}
\]
Dette ser forferdelig ut,
men er lett å utføre i praksis.
For å finne den partiellderiverte med hensyn på den én variabel \textit{later du som om den andre er en konstant},
og deriverer som vanlig.

\begin{oppgave}{26}
    Finn de partiellderiverte til 
    $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ gitt ved
    \[
        f(\mathbf{x}) = 2x_1 + 3x_2 + x_1 x_2.
    \]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{26}
    Finn 
    $\displaystyle \frac{\partial T}{p}$, 
    $\displaystyle \frac{\partial T}{V}$, 
    $\displaystyle \frac{\partial p}{T}$, 
    $\displaystyle \frac{\partial p}{V}$, 
    $\displaystyle \frac{\partial V}{T}$ 
    og
    $\displaystyle \frac{\partial V}{p}$.
\end{oppgave}

\begin{comment}
\[
\frac{\partial f}{\partial x_1}=
2 + x_2
\hspace*{20mm}
\frac{\partial f}{\partial x_2}=
3 + x_1
\]
\end{comment}





\clearpage





En funksjon med flere variable ut kan også ha flere variable inn,
for eksempel
\[
    \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)
    =
    \left(\; \begin{matrix}
        f_1\left( \mathbf{x} \right) \\
        f_2\left( \mathbf{x} \right)
    \end{matrix} \; \right)
    =
    \left(\; \begin{matrix}
        ax_1-bx_1x_2 \\
        -cx_2+dx_1x_2 
    \end{matrix} \; \right)
\]
En funksjon fra $\mathbb{R}^2 $ til $ \mathbb{R}^2$
kalles et \textbf{vektorfelt},
og du kan visualisere den som et vindkart.
Den avhengige variabelen er GPS-koordinaten,
og den uavhengige variabelen er vindens retning og fart.

\begin{oppgave}{1}
    Hva er vindstyrke og vindretning i Tromsø?\footnote{
        Se her:\\
        \url{https://hjelp.yr.no/hc/no/articles/360002022134-Vindpiler-og-Beaufortskalaen}\\
        \url{https://www.yr.no/artikkel/her-ser-du-verdas-vindar-akkurat-no-1.11584952}
    }
\end{oppgave}

\includegraphics[scale=.5]{../figurer/vind-2}

\vspace*{-4mm}
\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-2}}[7mm]

\begin{oppgave}{21}
I matplotlib heter det "quiver". 
Plott høyresiden i lotkavolterrasystemet.
\end{oppgave}

Matrise-vektorproduktet er forresten en funksjon fra 
$\mathbb R^2$ til $\mathbb R^2$ dersom $A \in \mathbb{R}^{2\times 2}$, 
for eksempel 
\[
    \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)
    =
    \left(\; \begin{matrix}
        f_1\left( \mathbf{x} \right) \\
        f_2\left( \mathbf{x} \right)
    \end{matrix} \; \right)
    =
    \left(\; \begin{matrix}
        2x_1 + 3x_2 \\
        4x_1 + 5x_2
    \end{matrix} \; \right)
\]

\begin{oppgave}{20}
    Er denne funksjonen injektiv?
    Eksisterer den inverse?
\end{oppgave}










%La oss nå bruke den siste siden på å se hva slags informasjon vi kan hale ut av lotkavolterrasystemet uten å faktisk løse differensiallikningene. 


\begin{oppgave}{22}
Her er plot av ymse greier fra denne økten. Hva er hva?
\end{oppgave}

\begin{minipage}{55mm}
\includegraphics[scale=1]{../figurer/lotkavolterra-1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
    \includegraphics[scale=1]{../figurer/lotkavolterra-2}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
    \includegraphics[scale=.25]{../figurer/lotkavolterra-3}
\end{minipage}




%\begin{oppgave}{22}
%	Lotkavolterrasystemet har to likevektsløsninger. Finn dem.
%\end{oppgave}

\clearpage

\textbf{Grupper} brukes til å modellere romlige symmetrier. Dette er viktig i analyse av molekyler og molekylgitre. For ikke å snakke om tapetmønstre. De brukes også til å holde styr på rotasjoner i rom. Dette er viktig i reguleringsteknikk. 
En annen algebraisk struktur kalles \textbf{gruppe}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)}}
Denne har bare én binær operasjon, 
og er en av de mest fundamentale algebraiske strukturene.
Den binære operasjonen $\cdot$ skal være assosiativ,
gruppen $G$ må inneholde
%\begin{tcolorbox}[colback=blue!10,title=En gruppe må inneholde]
En gruppe må inneholde
\begin{itemize}
\item[1] et identitetselement e slik at $g\cdot e=e\cdot g=g$ for alle $g \in G$. 
\item[2] et inverselement for alle $g \in G$, altså et element $g^{-1}$ slik  $g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=e$ 
\end{itemize}
%\end{tcolorbox}
Det var alt. 
Grupper brukes til å modellere symmetri. 
Det for eksempel kun mulig å konstruere syv frisemønstre,\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Frieze_group}}
og sytten tapetmønstre. \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group}}
Krystallstrukturer kommer i trettito varianter, 
og disse er veldig viktige i faststoffysikk og kjemi og så videre.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_system}}
Tolvtonesystemet vi bruker i vestlig musikk er en gruppe som heter $\mathbb Z_{12}$.\footnote{\url{https://www.jstor.org/stable/25164658}}

\clearpage
\section*{UKENS NØTTER}

Det sies at komponisten Harald Sæverud
hørte gjennom alle Joseph Haydns 104 symfonier med LP-spilleren
på 45 istedet for 33 omdreininger uten å merke at noe var galt.
\footnote{Dette ble visst oppklart da Sæverud ringte Jan Henrik Kayser i harnisk 
for å fortelle ham at hans nye innspilling av Sæveruds samlede pianoverker gikk altfor fort.}

\begin{oppgave}{1}
En LP-plate har diameter 12 tommer,
og roterer med $100/3$
omdreininger per minutt.
Finn et vektorfelt som beskriver hastigheten til et punkt på LP-platen. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.16]{../figurer/img20210415_17300375}
\end{center}

%\begin{center}
%\includegraphics[scale=.15]{../figurer/img1365}
%\end{center}

Har du fulgt med på alt til nå i kurset 
har du i prinsippet kunnskap til å takle
det ikkelineære likningssettet
\begin{align*}
		\V f(\V x)= 
		\left(\; 
				\begin{matrix}
						f_1(\mathbf{\V x})\\[1mm]     
						f_2(\mathbf{\V x})
				\end{matrix}
		 \;\right)
		=
		\left(\; 
				\begin{matrix}
						0\\[1mm]     
						0
				\end{matrix}
		 \;\right)
\end{align*}
der $\V f$ er en eller annen funksjon fra 
$\mathbb{R}^2$ til $\mathbb{R}^2$.
Her er en figur som illustrerer dette:
 \begin{center}
		\begin{tikzpicture}[thick]
						\draw[blue] (-2,0) circle (2cm) node[right,xshift=1cm,yshift=2cm]{$f_1(\V x)=0$};
						\draw[red] (0,-1) circle (1.5cm) node[right,xshift=1.5cm,yshift=0cm]{$f_2(\V x)=0$};
						\node[below right] at (-.3,.7){$\circ$};
						\node[below right] at (0,1.2){$\V r$};
						\draw[->] (-3.5,0) -- (2.5,0) node[right]{$x_1$};
						\draw[->] (-2.5,-1) -- (-2.5,1.3) node[above]{$x_2$};
			\end{tikzpicture}
	\end{center}
Numeriske metoder er stort sett iterative. 
Vi lar $\V x_n$ være iterasjon nummer $n$. 
\textbf{Newtons metode} er gitt ved 
\begin{align*}
	\V x_{n+1}
	= 
	\V x_{n}
	- 
	\Big (\V f'(\V x_n)\Big)^{-1}
	\V f(\V x_n)
\end{align*}
der 
\begin{align*}
	\Big(\V f'\Big)^{-1}	
	=
	\left(\;
		\begin{matrix}
			\frac{\partial f_1}{\partial x_1} &
			\frac{\partial f_1}{\partial x_2} \\[2mm]
			\frac{\partial f_2}{\partial x_1} &
			\frac{\partial f_2}{\partial x_2}
		\end{matrix}
	\;\right)
\end{align*}



\begin{oppgave}{5}
		Test ved å finne skjæringspunktene mellom de to ellipsene 
		\begin{align*}
				3 x^2 + 2 x y + y^2 - 2x - y = 1
				\hspace*{10mm}
				\text{og}
				\hspace*{10mm}
				x^2 + 2x y + 6 y^2  - x  - 2y = 1
		\end{align*}
		Hint: Det går greit å bruke np.linalg.solve, 
		men for $2\times2$-matriser finnes det en formel:
		\begin{equation*}
				\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}=
				\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.
		\end{equation*}        
\end{oppgave}

Det finnes en generell formel for inversen til en inverterbar matrise:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix#Analytic_solution}\\
Dette kalles \textbf{kofaktorekspansjon}.
Det er en og annen gubbe (inkludert meg) som sporadisk synes dette er nyttig å vite om. 
Jeg har hatt bruk for det én gang i livet - i den eneste artikkelen jeg har ført i pennen noen gang. 
Den var kjempebra og biveilederen min fikk den publisert i en obskur bulgarsk konferansejournal 
rett før han ble pensjonist.


\begin{oppgave}{6}
	Sett kretsparametrene til dine favorittverdier, og finn alle strømmer og spenninger.\\
	\begin{center}
		\begin{circuitikz}
			\draw  (0,3) to [V] (0,1);
			\draw  (0,3) to [ R] (4,3) to [R] (4,1) to [D]  (0,1); 
			\draw  (4,3) to [R] (8,3); 
			\draw  (8,3) to (8,1) to [D] (3,1);
		\end{circuitikz}
	\end{center}
\end{oppgave}
	
	
\clearpage

Det finnes liknende metoder for lineære systemer. 
Hvis du skal løse et stort system og ikke orker all gaussingen, 
kan du bruke en \textbf{iterativ løser}. 
Fikspunktiterasjonen funker på for eksempel på lineære systemer også. 

\begin{oppgave}{7}
	Skriv om systemet 
	\begin{align*}
		\left( \;
			\begin{matrix}
				a & 1 & 1 & \dots & 1 \\
				1 & a & 1 &  & 1 \\
				1 & 1 & \ddots &  & \vdots \\
				\vdots &  &  & a & 1 \\
				1 & 1 & \dots & 1 & a 
			\end{matrix}
		\; \right)
		\left( \;
			\begin{matrix}
				x_1\\
				x_2\\
				x_3\\
				\vdots \\
				x_n
			\end{matrix}
		\; \right)
		=
		\left( \;
			\begin{matrix}
				1\\
				1\\
				1\\
				\vdots \\
				1
			\end{matrix}
		\; \right)
	\end{align*}
	til en likning på formen 
	\begin{align*}
		\V x = \V g(\V x)
	\end{align*}
	og kjør fikspunktiterasjon. 
	Dette kan gjøres på mange måter. 
	Oppførselen vil antagelig avhenge av forholdet mellom $a$ og $n$. 
	Kan du se hvordan?
\end{oppgave}
\end{document}
