\input{preamble}

\title{2 - 4 - KOMPLEKSE FOURIERREKKER}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%happy

\maketitle

Laurentius Lie plages. 
Strømmen er gått på grunn av en solstorm,
og det er ingenting å finne på. 
Livet uten elektrisitet
er meningsløst, synes han. 

Derfor bestemmer han seg for å drukne sine 
sorger i pilsnerøl. 
Men han har ikke pilsnerøl,
for i butikken virker ingenting nå som strømmen er gått.  
Alt han har er noen sekker med malt og en bok om brygging han 
kjøpte under en midtlivskrise for noen år siden. 

Han går igang. 
Men så er det det med temperatur. 
Pilsnerøl skal gjæres i tre uker på ti grader,
men Professor Lie har ikke tilgang på denne temperaturen. 
Alt han har tilgang på er null grader verandaen,
og tjue grader i stuen. 
Kjerringa hans Laurinda er fra Brasil og nekter å ha ti grader i stuen;
altså blir han nødt til å sette gjæringsdunken inn og ut på verandaen i tre uker. 
Det går nok bra, 
det er jo ingenting annet å finne på uansett. 

Vi antar at temperaturen $y$ i 
Professor Lies gjæringsdunk 
kan modelleres ved Newtons avkjølingslov.
I så fall må vi veksle mellom de to differensiallikningene 
\[
	\dot y(t) = \alpha \left( 20 - y(t) \right)
\]
når dunken står i stuen og 
\[
	\dot y(t) = - \alpha y(t) 
\]
når dunken står på verandaen. 
Vi kaller tiden mellom to flyttinger $T/2$. 
(Beklager at $y$ er temperatur, 
men som du forstår, 
trenger vi $T$ til et tidsintervall i denne økten.)

\begin{oppgave}{1}
Forklar at dette like gjerne kan 
modelleres med differensiallikningen 
\[
	\dot y(t) + \alpha y(t) = f(t)
\]
der $f$ ser omtrent slik ut: 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick,scale=1.5]
\begin{scope}

\draw[->] (0,-1/3.14) -- (5.6,-1/3.14) node[right]{$t$};
\draw[->] (-1,-.4) -- (-1,.8) ;

\foreach \x in {0,...,2}
\draw[very thick,blue] (2*\x,1/3.14) -- (2*\x+1,1/3.14);

\foreach \x in {-1,...,1}
\draw[very thick,blue] (2*\x+1,-1/3.14) -- (2*\x+2,-1/3.14);

\foreach \x in {0,...,5}
\draw[very thick,blue] (\x,1/3.14) -- (\x,-1/3.14);

\node at (0,-.6) {$\frac{T}{2}$};
\node at (-.3,1/3.14) {$20\alpha $};

\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{oppgave}

\clearpage

Professor Lie har en batteridrevet timer 
som forteller han at det er på tide å flytte gjæringsdunken. 
Men han plages,
for timeren signaliserer at tiden er omme med en infernalsk stygg pipelyd.
Pipelyden er stygg fordi den er en firkantbølge:
\footnote{Desom $t$ måles i sekunder kommer ikke denne pipelyden til å være hørbar som en tone,
så tenk at $t$ måles i for eksempel millisekund eller noe slikt.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick,scale=1.5]
\begin{scope}

\draw[->] (-5,0) -- (5.6,0) node[right]{$t$};
\draw[->] (0,-.4) -- (0,.8) ;

\foreach \x in {-2,...,2}
\draw[very thick,blue] (2*\x,1/3.14) -- (2*\x+1,1/3.14);

\foreach \x in {-3,...,2}
\draw[very thick,blue] (2*\x+1,-1/3.14) -- (2*\x+2,-1/3.14);

\foreach \x in {-4,...,5}
\draw[very thick,blue] (\x,1/3.14) -- (\x,-1/3.14);

\node at (1,-.5) {$T/2$};
\node at (-1.1,-.5) {$-T/2$};
\node at (-.3,1/3.14) {$1$};

\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Forskjellige bølgeformer låter forskjellig,
og firkantbølgelyd låter omtrent som en klarinett.
Du kan lese om forskjellige bølgeformer og høre på dem her:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Waveform}


Professor Lie ønsker å installere et analogt lavpassfilter 
på timeren for å få myket opp den forferdelige klarinettlyden. 
Dette betyr at han ønsker å sende pipetonen
gjennom følgende krets:\footnote{
	Et lydsignal representeres ved en spenning 
	så lenge det befinner seg inne i stereoanlegget og 
	ikke har kommet ut gjennom høyttaleren ennå.}
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [ R] (4,3) to [C] (4,1) to  (0,1); 
		\draw (6,3) to [open,v=\text{\hspace{5mm}mykere pipelyd} $y(t)$] (6,1); 
		\draw (-2,3) to [open,v=$ x(t)$] (-2,1); 
		\draw node at (-5,2) {$\text{infernalsk klarinettaktig pipelyd}$};
		\draw node at (2,2.5) {$R$};
		\draw node at (3.3,2) {$C$};
		\draw (4,3) to [short,-*] (5,3);
		\draw (4,1)  to [short,-*] (5,1);
		\draw (0,3) to [short,-*] (-1,3);
		\draw (0,1)  to [short,-*] (-1,1);
	\end{circuitikz}
\end{center}
som kan modelleres av differensiallikningen
\[
\dot y + \frac{1}{RC} y = x.
\]


Forhåpentligvis er du enig i at denne problemstillingen er 
matematisk sett umulig å skille fra den på forrige side. 
Begge er så og si det samme LTI-systemet utsatt for en ekstern kraft 
eller spenning som er formet som en firkantbølge.
Spenningen $y$ ut av kretsen vil oppføre seg omtrent som 
temperaturen $T$ i gjæringsdunken,
mens det infernalske klarinettaktige spenningssignalet $x$ 
som går inn i kretsen, 
er analogt til inne- og utetemperaturen i Laurentius Lies residens.

	
\begin{oppgave}{2}
	Hvis du skal løse systemene for $T$ eller $x$,
	er du kanskje enig i at den drivleddet på høyresiden av likningene (ikke figuren) 
	er litt uhåndterlig. 
	Hvis du har fulgt godt med de siste tre ukene, 
	er det mulig å tenke ut en strategi for å angripe dette. 
	Ser du den?
\end{oppgave}
	
\clearpage

Hvis du fulgte godt med i de tre foregående ukene, 
vil du kanskje være enig i følgende: 
\begin{itemize}
	\item Firkantbølgene over kan antagelig skrives som uendelige summer av sinusfunksjoner,
	og følgelig også som uendelige summer av komplekse eksponensialfunksjoner.
	\item Hvis vi skriver firkantbølgene over ved hjelp av komplekse eksponensialfunksjoner,
	står det plutselig masse eksponensialfunksjoner på høyresiden, 
	og da blir det mye lettere å regne på. 
\end{itemize}

Jeg kunne i bunn og grunn kalt denne økten 
\say{periodiske funksjoner}. 
Periodiske fenomener er enormt viktige. 
For tiden er vi for eksempel inne i en fase av 
jordens historie dere små periodiske variasjoner i 
jordbanens eksentrisitet og rotasjonsaksens presesjon 
har mye å si for klimaet.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Milankovitch_cycles}}
Det er derfor vi har istider\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ice_age}} som har gått av og på
med omtrent hvert hundre tusende år de siste to-tre millioner år.\footnote{Karbondioksidet vi 
spyr ut i atmosfæren nå har visst forskjøvet den neste istiden med femti tusen år eller deromkring.}
Når en forfyllet oboist gir stemmetonen på 442 Hz
begynner molekylene i området rundt obomunningen å
dytte på hverandre og en periodisk trykkbølge sprer seg i rommet.



\begin{center}
\includegraphics[scale=.58]{../figurer/instrument}
\end{center}

https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/middle-c

\clearpage 

At frekvensen er 442 Hz betyr i grove trekk
at trykkbølgens bølgetopper treffer trommehinnen din 442 ganger i sekundet. 	
Eller?
Hvor er oboens bølgetopp?
Det som er lett å se på bølgeformene over,
er at de alle har noe vi kan kalle en grunnfrekvens
og en grunnperiode.
Selv om det ikke er så lett å se hvor oboens bølgetopp sitter,
gjentar obosignalet seg på en periodisk måte.
En vanlig definisjon er at et signal $x$ er \textbf{periodisk} med
\textbf{periode} $T$ dersom
\[
x(t+T)=x(t)
\]
for alle $t$.
Men dersom $T$ er en periode er også $2T$ og $3T$ og $4T$ perioder,
og så videre, så et periodisk signal har alltid mange perioder. 
Den minste av dem kalles
kalles \textbf{fundamentalperioden} til $x$.
Dersom fundamentalperioden er $T$, 
sier vi at $x$ er $T$-periodisk.

\begin{oppgave}{3}
Marker fundamentalperiodene i alle bølgeformene i figuren over.
\end{oppgave}

Forholdet mellom fundamentalperioden $T$ og \textbf{grunnfrekvensen} $f$ er
\[
f=\frac{1}{T}
\]
Enheten for vinkelfrekvens er Hz,
altså bare \say{per sekund}.
I de fleste realfag
foretrekker man å heller
forholde seg til forholdet mellom fundamentalperioden $T$ og \textbf{vinkelfrekvensen} $\omega$
\[
\omega=\frac{2\pi}{T}
\]
siden radianer er vårt foretrukne vinkelmål. 
Enheten for vinkelfrekvens er radianer per sekund. 

\begin{oppgave}{4}
Signalene i figuren har alle omtrent samme frekvens på 100 Hz.
Finn vinkelfrekvensen. 
\end{oppgave} 


På et strengeinstrument kan du se bølgeformen
med dine egne øyne hvis du har et slow motion camera.
Hvis du ikke har et slikt
og et strengeinstrument,
har rikskringkastingen filmet Glenn her:\\
\url{https://tv.nrk.no/serie/oeyeblikket/sesong/1/episode/8}\\
Legg merke til hvordan den strengen som vibrerer fritt går like fort frem og tilbake,
mens den han stryker på går fort den ene veien og sakte den andre veien. 
Sistnevnte skjer fordi vi har en såkalt stick-slip-bevegelse,\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Stick-slip_phenomenon}}
og bevegelsen har en matematisk abstraksjon som kalles en \textbf{sagtannbølge}.
Mer om denne lenger ned. 
Målet med denne økten er å skrive sagtannbølgen, 
firkantbølgen og andre bølger som 
summer av komplekse eksponensialfunksjoner. 

\begin{oppgave}{5}
	Skriv pythonscript som plotter funksjoner av typen
	\[
	S_N =
	2 \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(n t\right)
	\hspace{10mm}
	\text{og}
	\hspace{10mm}
	S_N = 
	\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2n-1}\sin (2n-1) t
	\]
	for forskjellige verdier av $N$.
	Hva skjer når $N \to \infty$?
	Og hva er $\omega$?
\end{oppgave}




\clearpage 

Hvis du plotta riktig over, 
fikk du forhåpentligvis noe slikt:\\
\begin{minipage}{80mm}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=.5]{../figurer/sagtann-reell.png}
	\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=.5]{../figurer/firkant-reell.png}
	\end{center}
\end{minipage}

Og nå tror jeg vi enkelt og greit bare 
slenger ut poenget med hele denne uken. 
En indøk- eller bygg- eller maskiningeniør kan alltid skrive et $T$-periodisk signal $x$ slik:
\[
	x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left( n \omega t \right)
	+ b_n \sin \left(  n \omega t \right)
\]
der 
\[
	a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t)\cos \left( n \omega t \right) \; dt 
	\hspace{10mm}
	b_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t)\sin \left( n \omega t \right) \; dt 
	\hspace{10mm}
	\omega = \frac{2\pi}{T}
\]
Jeg sier \say{ingeniør},
for vi matematikere kan ikke alltid mene dette i fullt alvor. 
Dette kommer vi tilbake til mot slutten av semesteret. 
De som har sans for det vakre og abstrakte,
for eksempel en typisk elektroingeniør,
kan heller skrive 
\[
	x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in \omega t}
\]
der 
\[
	c_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t)e^{ -in \omega t } \; dt 
	\hspace{10mm}
	\omega = \frac{2\pi}{T}
\]
som sier akkurat det samme,
men på en måte som er mye enklere å huske. 
Dette kalles \textbf{fourierrekker}, 
og $a_n$, $b_n$ og $c_n$ 
kalles \textbf{fourierkoeffisientene}.


\begin{oppgave}{6}
	Den komplekse varianten er helt klart lettest å utlede. 
	Vis at
	\[
		\int_{-T/2}^{T/2} e^{ in \omega t } e^{ -im \omega t } \; dt 	=
		\begin{cases}
			T \quad n=m \\
			0 \quad n\neq m
		\end{cases}
	\]
	og bruk dette til å forklare at mest sannsynlig er
	\[
		x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in \omega t} 
		\hspace{20mm}
		c_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t)e^{ -in \omega t } \; dt 
	\]	
	(Hint: merk det nye minustegnet. Det kommer vi også tilbake til.)
\end{oppgave}


\clearpage

Alt som står på forrige side, 
kalles \textbf{fourieranalyse},
og er ganske viktig.
Fourieranalyse brukes i fysikk, 
signalprosessering,
bildebehandling,
sannsynlighetsregning
kryptografi,
akustikk,
proteinstrukturanalyse,
telekommunikasjon, 
tallteori, 
og mye mye annet.
Diskomusikk, spektroskopi og strømprisprediksjon 
hadde vært utenkelig uten fourieranalyse. 
Poenget er at 
\begin{align*}
	\text{infernalsk klarinettaktig pipelyd}\; x(t)\; =\hspace{2mm}&
	\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}\sin (2n-1) t  \\[3mm]
	=\hspace{2mm}&\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi i} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2n-1}e^{(2n-1)i t}.		
\end{align*}
Leddene 
\[
\frac{2}{\pi} \frac{1}{2n-1}\sin (2n-1) t
\]
kalles \textbf{overtoner},
for det er faktisk det det er.
Man sier også \textbf{dei overharmoniske}. 
Alle som har spilt et blåseinstrument vet at 
dersom man trykker inn noen klaffer eller ventiler,
holder dem og så 
bare regulerer tonehøydene med leppetrykket, 
får man ut et bestemt sett med frekvenser som kalles naturtonerekken.
Dette kalles å \say{spille på overtoner},
og er også mulig på strykeinstrumenter,
men vanskeligere å få til.
\footnote{
Å spille på naturtonerekken er av en eller annen grunn legitimt på messinginstrumenter,
men ikke på treblåsinstrumenter. 
Jeg har prøvd å spille fagott en gang og det var grusomt, 
for man måtte slå opp i en svær tabell hver gang man skulle lære en ny tone.
}
Du kan lese om firkantbølgen her:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Square_wave}\\
Merk spesielt det lydsporet som legger på nye overtoner hvert sekund:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Square_wave#Characteristics_of_imperfect_square_waves}\\
Det begynner med en behagelig sinustone, 
og så blir det mer og mer infernalsk og klarinettaktig 
etterhvert som overtonene slenges på.

Alt dette er forresten oppkalt etter
Joseph Fourier.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier}}
Han satt i fengsel under den franske revolusjon, 
dro til Egypt med Napoleon Bonaparte, 
og regnes som oppdageren av drivhuseffekten.
Han oppfant også det vi nå kaller fourierrekker,
men i forbindelse med arbeid på varmelikningen,
ikke periodiske signaler.
De satte opp en statue av ham i hjembyen Auxerre i 1849,
men den ble visst rekvirert av staten og smeltet om til ammunisjon under andre verdenskrig.
La oss nå regne ut noen flere fourierrekker.
Firkantbølgen er den $T$-periodiske utvidelsen av 
\[
x(t)=
\begin{cases}
0 & -T/2\leq t<0 \\
1 & 0\leq t < T/2
\end{cases}
\]
og ser sånn ut:
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[thick,scale=1.5]
	\begin{scope}
	
	\draw[->] (-5,0) -- (5.6,0) node[right]{$t$};
	\draw[->] (0,-.4) -- (0,1.8) ;
	
	\foreach \x in {-2,...,2}
	\draw[very thick,blue] (2*\x,1) -- (2*\x+1,1);
	
	\foreach \x in {-3,...,1}
	\draw[very thick,blue] (2*\x+1,0) -- (2*\x+2,0);
	
	\foreach \x in {-4,...,5}
	\draw[very thick,blue] (\x,1) -- (\x,0);
	
	\node at (1,-.5) {$T/2$};
	\node at (-1.1,-.5) {$-T/2$};
	\node at (-.3,1/3.14) {$1$};
	
	\end{scope}
	\end{tikzpicture}
\end{center}
	

\begin{oppgave}{7}
	Finn den reelle og den komplekse fourierrekken til firkantbølgen og plot partialsummer 
	python for dobbeltsjekke at du har regna riktig. 
\end{oppgave}

\clearpage

Nå har du forhåpentligvis skjønt poenget med $T$ og $\omega$,
så på de neste to setter vi $T=2\pi$ så det ikke blir så mye griseri.
Sagtannbølgen er gitt ved den $2\pi$-periodiske utvidelsen av 
\[
x(t)= t
\]
og ser sånn ut:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick,scale=1.4]
\begin{scope}

\draw[->] (-4.3,0) -- (5.6,0) node[right]{$t$};
\draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) ;

\foreach \x in {-2,...,2}
\draw[very thick,blue] (2*\x-1,-1) -- (2*\x+1,1);


\node at (1,-.2) {$\pi$};
\node at (-1.1,-.2) {$-\pi$};
\node at (-.3,1) {$\pi$};

\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}



\begin{oppgave}{8}
	Finn den reelle og den komplekse fourierrekken til sagtannbølgen.\\
	(Tips: Det kan være lurt å splitte integralet
	\[
	c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int}\; dt=
	\frac{1}{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos{nt}\; dt
	-i\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin{nt}\; dt\right)
	\]
	og utnytte at $f(t)=t$ er en odde funksjon. 
	Da blir regningen litt enklere.)
\end{oppgave}
	


\textbf{Trekantbølgen} er gitt ved den $2\pi$-periodiske utvidelsen av 
\[
x(t)=
\begin{cases}
\pi + t & -\pi\leq t<0 \\
\pi - t & 0\leq t < \pi
\end{cases}
\]

	

og ser slik ut:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick,scale=1.4]
\begin{scope}

\draw[->] (-4.3,0) -- (5.6,0) node[right]{$t$};
\draw[->] (0,-.4) -- (0,1.4) ;

\foreach \x in {-2,...,2}
\draw[very thick,blue] (2*\x-1,0) -- (2*\x,1);

\foreach \x in {-2,...,2}
\draw[very thick,blue] (2*\x,1) -- (2*\x+1,0);


\node at (1,-.2) {$\pi$};
\node at (-1.1,-.2) {$-\pi$};
\node at (-.3,1) {$\pi$};

\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Mange ingeniører vil uten å kjenne noen smerte 
påstå at firkantbølgen er den deriverte til trekantbølgen,
og matematikere river seg i håret av slikt. 
Men det går bra, 
du kan tenke slik om du vil.

\begin{oppgave}{9}
Finn fourierrekken til trekantbølgen
og plott på intervallet $[-5\pi,5\pi]$.\\
(Tips: Her kan det likeledes være lurt å utnytte at $f$  er en jevn funksjon.) 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
	Etter å ha gjort de to siste oppgavene,
	vil du kanskje sette pris på formlene
	\[
		c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}
		\hspace{10mm}
		c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2} 
		\hspace{15mm}
		a_n=c_n+c_{-n}
		\hspace{10mm}
		b_n=i(c_n-c_{-n})
	\] 
	for $n\in \mathbb{N}$.
	Utled.\\ (Hint: lettest ved å se på formlene for fourierkoeffisientene.)
\end{oppgave}
	

\clearpage

Nå kan vi faktisk løse differensiallikningene vi startet med og mer til. 
Det enkleste er vel å laplacetransformere,
og få
\[
sY + \frac{1}{RC} Y = X
\]
og observere at transferfunksjonen eller 
systemfunksjonen eller overføringsfunksjonen eller hva det nå heter er
\[
H(s)=
\frac{RC}{RCs+1}
\]
slik at frekvensresponsen blir 
\[
H(i\omega)=
\frac{RC}{RCi\omega+1}.
\]
og 
\begin{align*}
\text{mykere pipelyd}\;y(t)  =& 
\frac{RC}{2}+\frac{1}{\pi i} \sum_{n=-\infty}^{\infty} 
\frac{H\left(i(2n-1)\right)}{2n-1}e^{(2n-1)i t} \\[2mm]
=&\frac{RC}{2}+\frac{1}{\pi i} \sum_{n=-\infty}^{\infty} 
\frac{RC}{(2n-1)\left(RCi(2n-1)+1\right)}e^{(2n-1)i t}.
\end{align*}

\begin{oppgave}{10}
Gjenta for professor Lies gjæringsdunk.  \\
(MTELSYS: Finn en passelig motstand og en kondensator og koble opp en slik krets 
og kjør noen spenningssignaler gjennom og hør på dem. 
Digilenten din har visst en funksjon for å lytte til resultatet.)
\end{oppgave}

Nå ser vi for øvrig hvorfor kretsen kalles et lavpassfilter.
Et raskt blikk på transferfunksjonen viser 
at den helt klart demper høye frekvenser mer enn lave.

\begin{oppgave}{11}
Plott amplituden til overtonene til $x$ og $y$, 
altså absoluttverdiene av koeffisientene mot $\mathbb Z$.
\end{oppgave}

Vi kaller $|c_n|$ \textbf{amplituden} til overtone nummer $n$,
og $\arg c_n$ for \textbf{fasen}. 
Likeledes kaller vi $\left|H\right|$ for \textbf{amplituderesponsen} og 
$\arg H$ for \textbf{faseresponsen}. 
Tidlig i elektrostudiet er de mest opptatt av amplituderesponsen, 
mens i impedansspektroskopi er det visst faseresponsen som gjelder.

\begin{oppgave}{12}
Regn ut amplitude- og faserespons til Professor Lies lavpassfilter.
\end{oppgave}




Fourierrekker er den matematiske beskrivelsen av 
funksjonene til det vi på folkemunne bare kaller \say{frekvenser}. 
Dette er så fundamentalt for fysikk- og kjemiforståelse 
at det ikke er så godt å vite hvor man skal begynne om man skal fortelle om det:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Spectroscopy}\\
Atomer og molekyler oppfører seg i bunn og grunn ikke ulikt Professor Lies filter:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_line}\\
og absorpsjonsspekteret til hydrogenatomet var en av de observerte fenomenene 
som ledet til kvantemekanikkrevolusjonen på 1920-tallet. 
Dette tar en stund å bli vant til, 
men Feynman forklarer det ganske folkelig:\\
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_toc.html}\\
og fouireranalyse er et viktig inngangssteg dersom man 
ønsker å få en illusjon av forståelse for kvantemekanikkformalismen.
Vi skal studere Schrödingers berømte likning om noen uker.

\begin{oppgave}{13}
	Regn ut temperaturen i Professor Lies gjæringsdunk
	dersom han setter tanken ut og inn med perioden $T$. 
	Du kan anta $y(0)=20$. 
\end{oppgave}
	

\clearpage


\section*{UKENS NØTTER}

Det finnes for øvrig tre forskjellige måter å skrive fourierrekken på.
Noen liker den ene, 
andre hater den andre. 
Følgende oppgave illustrerer forholdet mellom dem.

\begin{oppgave}{1}
Anta du har en funksjon $x:[-\pi,\pi]\to \mathbb{R}$.
Vis at dersom 
\[
f(t)=\sum_{-N}^N c_n e^{int}
\]
kan $x$ også skrives
\[
x(t)=a_0+\sum_{n=1}^N a_n \cos nt + \sum_{n=1}^N b_n \sin nt 
\]
og
\[
x(t)=d_0+\sum_{n=1}^N d_n \cos (nt+\phi_n).
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Du deriverer en pipetone. 
Hva skjer med klangen?\\
(Hint: Deriver fourierrekken til signalet.)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{3}
Firkantbølgen er en \textbf{periodisk utvidelse} av 
enhetssprangfunksjonen på $[-\pi,\pi)$:
\[
\text{infernalsk klarinettaktig pipelyd}
\; x(t)
=\begin{cases}
\vdots \\
1 & \text{for } -3\pi \leq t < -\pi \\
0  & \text{for } -\pi \leq t < 0 \\
1 & \text{for } 0 \leq t < \pi \\
0  & \text{for } \pi \leq t < 3\pi \\
\vdots \\
\end{cases} 
\]
Du kan løse de to første difflikningene i denne økten ved å sette opp en 
uendelig følge av sprangresponser. 
Firkantbølgen kan skrives
\[
x(t) = 
\sum_{n=0}^\infty
(-1)^n u(t-n\pi)
\]
der $u$ er enhetssprangfunksjonen og alt før $t=0$ er satt til 0,
og så er det bare å laplaceomvende differensiallikningen
\[
\dot y + \frac{1}{RC} y = 
\sum_{n=0}^\infty
(-1)^n u(t-n\pi)
\]
og regne i vei. 
\end{oppgave}

\section*{UKENS ELEKTROTEKNIKK}

\begin{minipage}{80mm}
Følgende krets kalles en halvbølgelikeretter. 
Denne er essensiell når noe som trenger likespenning skal forsynes med strøm fra stikkontakten i veggen,
som leverer vekselspenning.
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{center}
\begin{circuitikz}
\draw (0,2) to [V=$v(t)$,] (0,0);
\draw (0,2) to [D,-*] (4,2) node[anchor=west]{$f(t)$};
\draw (3,2) to [R] (3,0);
\draw (0,0) to [short] (3,0);
\draw (2,0) node[ground]{};
\end{circuitikz}
\end{center}
\end{minipage}
Dersom du mater inn et periodisk signal gitt ved 
\[
v(t)=\sin 100\pi t,
\]
(strømmen i veggen har grunnfrekvens 50 Hz) blir utsignalet den $\frac{1}{100\pi}$-periodiske utvidelsen av 
\[
x(t)=
\begin{cases}
0 \quad &-\frac{1}{100} \leq t \leq 0 \\
\sin 100\pi t \quad &0 <t < \frac{1}{100} \\
\end{cases}
\]


\begin{oppgave}{1}
Finn fourierrekken til $x$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Sett opp en likning for kretsen.
\end{oppgave}



Du kan jo nå ta en ny titt på frekvensfordoblerkretsene

\begin{minipage}{80mm}
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v(t)$] (0,1);
		\draw (0,3) to [D ] (2,3) to [C] (4,3) to [cute inductor] (6,3) to [R] (6,1) to (0,1);
	\end{circuitikz}	
\end{center}
\end{minipage}
og 
\begin{minipage}{80mm}
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v(t)$] (0,1);
		\draw (0,3) to [D ] (2,3) to [C] (4,3) to [cute inductor] (6,3) to [R] (6,1) to (0,1);
		\draw (2,3) to [R] (2,1);
	\end{circuitikz}	
\end{center}
\end{minipage}

om du vil.

\begin{oppgave}{3}
Sett opp differensiallikninger for kretsene. 
(Den siste er ganske hårete.)
%(Fasit til den siste er:
%\begin{align*}
%\dot y&=z\\
%\dot z&=-z/(1+y)-2(y+z)
%\end{align*}
%Jeg måtte i sin tid svette ganske bra for å hoste opp likninger for dette systemet.
%Den første er mye greiere.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Lodd opp kretsene eller kjør numerisk differensiallikningsløser i python,
send inn noen frekvenser og se hva som skjer. 
\end{oppgave}



%
%Hm, ikke helt, la oss legge til konstanten $1/2$ og skalere litt:
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[thick,scale=1.5]
%\begin{scope}
%
%\draw[->] (-4.3,0) -- (5.6,0) node[right]{$t$};
%\draw[->] (0,-.4) -- (0,.8) ;
%
%\foreach \x in {-2,...,2}
%\draw[very thick,blue] (2*\x,1/3.14) -- (2*\x+1,1/3.14);
%
%\foreach \x in {-2,...,1}
%\draw[very thick,blue] (2*\x+1,0) -- (2*\x+2,0);
%
%\foreach \x in {-4,...,5}
%\draw[very thick,blue] (\x,1/3.14) -- (\x,0);
%
%\node at (1,-.5) {$\pi$};
%\node at (-1.1,-.5) {$-\pi$};
%\node at (-.3,1/3.14) {$1$};
%
%
%\foreach \x in {-1,...,1}
%\draw[very thick,red] (4*\x,1/6.28) sin (4*\x+1,1/3.14);
%
%\foreach \x in {-1,...,0} 
%\draw[very thick,red] (4*\x+2,1/6.28) sin (4*\x+1,1/3.14);
%
%\foreach \x in {-1,...,0}
%\draw[very thick,red] (4*\x+2,1/6.28) sin (4*\x+3,0);
%
%\foreach \x in {-1,...,0} 
%\draw[very thick,red] (4*\x+4,1/6.28) sin (4*\x+3,0);
%
%\end{scope}
%\end{tikzpicture}
%\end{center}


\end{document}
