\input{preamble}

\title{2 - 3 - LTI-SYSTEMER I}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle
%tilstandsrom
%cauchyprodukt og konvolusjon

I TMA4101 lærte vi å løse likningen 
\[
\ddot x(t) + b \dot x(t) + c x(t) = 0. 
\]
Alle barn i barnehagen vet at dette kan 
være en modell for et masse-demper-system eller en rcl-krets 
eller noe helt annet. 
Forhåpentligvis sitter du igjen med en det en følelse av at 
det å løse differensiallikninger er knotete og vanskelig og tar lang tid. 
Dette medfører nemlig riktighet.

Heldigvis skal du mest sannsynlig ikke løse mange differensiallikninger 
med penn og papir i ditt liv, 
men man må løse noen for å utvikle fysisk intuisjon for noen typer enkle systemer. 
Dette er greit å ha med seg når man støter på kompliserte systemer siden.

Dersom vi slenger på en gitt funksjon av $t$ på høyre side av likningen:
\[
\ddot x(t) + b \dot x(t) + c x(t) = f(t)
\]
sier vi matematikere at likningen er \textbf{inhomogen},
i kontrast til den homogene likningen 
\[
\ddot x(t) + b \dot x(t) + c x(t) = 0
\]
vi lærte å løse i høst. 
Funksjonen $f$ kalles det inhomogone leddet. 
En kybernetiker ville kanskje kalt $f$ en forstyrrelse, 
mens andre ville kalt det påtrykk. 
En fysiker eller ingeniør ville sagt at vi hadde et \textbf{drevet system}.
Dette er fordi funksjonen $f$ kjører på med sin egen 
greie uavhengig av hva løsningen $x$ er på et bestemt tidspunkt. 
Hvis du likte masse-demper-systemet,
kan du tenke at $f$ er en kraft på systemet 
(husk at differensiallikningen er et eksempel på Newtons andre lov),
og hvis du likte best rcl-kretsen, 
kan du tenke at $f$ er en spenningskilde. 
Det er ingenting i veien for at likningen kan ha høyere orden, 
men det blir fort grisete å regne på med penn og papir.


\begin{oppgave}{1}
  Den meste elemtære måten å løse likningen består i å først finne den homogene løsningen,
  og så gjette på den inhomogene løsningen alt etter hva $f$ er. 
  Vi begynte så vidt med dette (for konstante $f$) i høst.\\
  Oppskrift finner du her:\\
  \url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4106/2021v/notater/orke.pdf}\\
  eller i kapittel 5.9 i Arnes bok. \\
  Mer om fysikken finner du her:\\ 
  \url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_21.html}\\
  (Feynman har gjort en liten matematikkfeil i dette kapitlet. 
  Premie om du finner den.)
\end{oppgave}

\begin{center}
  \includegraphics[scale=.36]{../figurer/img20220621_08012289}
  \end{center}

Ingeniører kaller likninger slik som $\ddot x(t) + b \dot x(t) + c x(t) = f(t)$ for \textbf{LTI-systemer},
eller \textbf{lineære og tidsinvariante systemer}.
Lineær betyr at venstresiden er en lineæroperator på den ukjente, 
og tidsinvariant betyr at ingen av koeffisientene på 
$x$, $\dot x$ og så videre avhenger av $t$.
Disse kan løses på mange forskjellige måter. 
Løsningen er alltid 
\[
x=x_h+x_p
\]
der $x_h$ er nullrommet til problemets lineæroperator og $x_p$ er en løsning som skyldes 
at det er kommet noe greier som ikke er nullvektorene på høyre side av likningen.
Vi kaller $x_h$ den \textbf{den homogene løsningen} og $x_p$ \textbf{den inhomogene løsningen}
eller \textbf{partikulærløsningen}.
Du kan nå begynne med å gjøre denne her på nytt:

\begin{oppgave}{2}
  Løs initialverdiproblemet
  \[
      \ddot x + \dot x + x = 1 \hspace{10mm} x(0)=\dot x(0)=0
  \]
  og skisser løsningen.
\end{oppgave}

Det er litt vittig at vi faktisk har opplevd den samme dekomponeringen i 
homogen og inhomogen løsning lineæralgebraen.

\begin{oppgave}{3}
løs
$
A\mathbf x=\mathbf b
$
der 
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 & 5\\
3 & 4 & 5 & 6\\
4 & 5 & 6 & 7
\end{pmatrix}
\hspace{10mm}
\text{og}
\hspace{10mm}
b=
\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
2 
\end{pmatrix}
\]
\end{oppgave}

Ordet \say{system} kommer fra tanken om at du putter inn en 
funksjon på den ene siden av reaktoren eller kretsen og får ut en funksjon på den andre siden.
Funksjonen du putter inn kalles \textbf{det drivende leddet} eller \textbf{påtrykket}
eller \textbf{det inhomogene leddet} og settes alltid på differensiallikningens høyre side.
Løsningen til differensiallikningen  er det som kommer ut av systemet,
og dette kalles systemets \textbf{respons}.
Det er fem responser som er spesielt viktige i anvendelser:

\begin{minipage}{10cm}
\begin{itemize}
\item[\textbf{Naturlig respons:}] Systemets respons på 
$
f(t)=0\\
$
\item[\textbf{Sprangrespons:}] Systemets respons på 
$
f(t)=
\begin{cases} 
0 \quad &t<a \\
1 \quad &t\geq a \\
\end{cases}\\[3mm]
$
\item[\textbf{Frekvensrespons:}] Systemets respons på 
$f(t)=e^{i\omega t}$\\
\item[\textbf{Impulsrespons:}] Systemets respons på 
$f(t)=
\begin{cases} 
\infty \quad &t=a \\
0 \quad &t\neq a \\
\end{cases}\\[3mm]
$
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/img20220621_08071528.jpg}
\end{center}
\end{minipage}

Vi skal ta for oss disse i ro og mak.
Den første kan du.
De to neste kan du analysere med 
den verktøykassen du har, 
men for impulsresponsen og hvitstøyresponsen må vi ha mer avansert verktøy. 
Alle responser henger litt sammen med hverandre på ymse vis.

\clearpage

Først et viktig triks: Siden 
\[
\frac{d}{dt}\left(x\left(t-t_0\right)\right)=\dot x (t-t_0)
\]
ser vi at dersom 
\[
\ddot x(t) + b \dot x(t) + c x(t) = f(t) \hspace{10mm} x(0)=x_0\hspace{10mm} \dot x(0)=v_0
\]
er  $z(t)=x(t-t_0)$ en løsning av 
\[
\ddot z(t) + b \dot z(t) + c z(t) = f(t-t_0) \hspace{10mm} z(t_0)=x_0\hspace{10mm} \dot z(t_0)=v_0.
\]
Det er derfor vi kaller systemet tidsinvariant. 
Samme påtrykk på et senere tidspunkt gir samme respons,
altså den samme kurven bare flytta litt på tidsaksen. 
Dette er godt nok for å å finne ut av hvordan vi håndterer sprangresponsen. 

Men nå analyserer man visst prosessanlegg ved å bare åpne kranen,
skru på trykket og se hva som skjer.
Dette kalles \textbf{sprangrespons},
og er veldig viktig i mange former for reguleringsteknikk.

\begin{minipage}{9cm}
La oss begynne med å definere
\textbf{enhetssprangfunksjonen}
\[
u(t)= \left\{ 
\begin{array}{ll}
0 & \mbox{ for } t<0\\
1 & \mbox{for } t\geq 0.
\end{array}
\right.
\]
Denne kan du tenke på som en bryter som slår noe på ved tiden 
 $t=0$. 
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick]
\begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
\draw[->] (-3.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$t$};
\draw[->] (-2.5,-0.25) -- (-2.5,2) ;
\draw[-,red] (-3.5,0) -- (-2.5,0);
\draw[-,red] (-2.5,0.5) -- (1.5,0.5) node[above]{$u(t)$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{minipage}

 \begin{minipage}{96mm} 
Den kalles også heavisidefunksjonen etter Oliver Heaviside 
som introduserte bruken av denne i elektroteknikken.
Vi kan slå på ved tiden $t=a$ istedet:
\begin{equation*}
u(t-a)=    
\begin{cases}
      0  & \text{for } t < a \\
      1 & \text{for } t \geq  a,
    \end{cases} 
\end{equation*}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{9cm}
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]
      \begin{scope}[xshift=7cm,yshift=-1cm]
          \draw[->] (-2.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$t$};
          \draw[->] (-2.5,-0.25) -- (-2.5,2) ;
          \draw[-,red] (-2.5,0) -- (-1,0);
          \draw[-,red] (-1,0.5) -- (1.5,0.5) node[above]{$u(t-a)$};
          \node[below] at (-1,0){$a$};
      \end{scope}
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
   \end{minipage}
 
 \begin{minipage}{94mm}
eller slå på ved $t=a$ og av igjen ved $t=b$:
\begin{equation*}
u(t-a)-u(t-b)=    
\begin{cases}
      0  & \text{for } t < a \\
      1 & \text{for } a \leq t <  b \\
       0 & \text{for } t \geq  b.
    \end{cases} 
\end{equation*}
 \end{minipage}
  \begin{minipage}{9cm}
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]
      \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-2cm]
          \draw[->] (-2.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$t$};
          \draw[->] (-2.5,-0.25) -- (-2.5,2) ;
          \draw[-,red] (-2.5,0) -- (-1,0);
          \draw[-,red] (0,0) -- (1.3,0);
          \draw[-,red] (-1,0.5) -- (0,0.5) node[above]{$u(t-a)-u(t-b)$};
          \node[below] at (-1,-.1){$a$};
          \node[below] at (0,0){$b$};
      \end{scope}
    \end{tikzpicture}
 \end{center}
 \end{minipage}
 


Løs initialverdiproblemene og plott:

\begin{minipage}{120mm}
\begin{oppgave}{4}
$
\ddot x(t) + \dot x(t) + x(t) =
u(t-1)
\hspace{29mm}
x(0)=\dot x(0)=0
$\\
(Hint: Bruk oppg. 2 og $x(t-t_0)$-trikset.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
$
\ddot x(t) + \dot x(t) + x(t) =
u(t-2)
\hspace{29mm}
x(0)=\dot x(0)=0
$\\
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{6}
$
\ddot x(t) + \dot x(t) + x(t) =
u(t-1)-u(t-2)
\hspace{11mm}
x(0)=\dot x(0)=0
$\\(Hint: Superposisjonsprinsippet og de to foregående oppgavene.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
$
\ddot x(t) + \dot x(t) + x(t) =
u(t-1)
\hspace{29mm}
x(0)=1 \hspace{5mm} \dot x(0)=0
\quad 
$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\clearpage

Så er det frekvensresponsen.
Du vet at eksponensialfunksjonen er egenvektor til derivasjonsoperatoren:
\[
\frac{d}{dt}e^{at}= ae^{at}
\]
og dette bør gi deg et ganske bra hint om hva 
den inhomogene løsningen til 

\begin{oppgave}{9}
$\ddot x + \dot x + x = e^{i\omega t}$ er.
\end{oppgave}

  

Siden eksponensialfunksjonen er egenvektor til derivasjonsoperatoren,
er dette veldig kjapt å regne ut.
Fasit på oppgaven over er %$x=x_h+x_p$ der 
\[
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=e^{-t/2}
\left(c_1\cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2}t \right) + c_2\sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2}t \right)\right)+\frac{1}{(i\omega)^2 +i\omega +1}e^{i\omega t}
\]
Partiklulærløsningen skrives gjerne
\[
x_p(t)=\frac{1}{(i\omega)^2 +i\omega +1}e^{i\omega t}=H(i\omega) e^{i\omega t}
\]
der 
\[
  H(s) =\frac{1}{s^2 +s +1} = \frac{1}{\text{det karakteristiske polynomet}}
\] 
er noe som kalles \textbf{systemfunksjonen} i elektroteknikk 
og \textbf{transferfunksjonen} eller \textbf{overføringsfunksjonen} 
i reguleringsteknikk og prosessteknikk.
Materialteknikere tror jeg bare kaller den \textbf{impedansen}.
Alle bruker den til mange forskjellige ting:
\begin{flushleft}
\begin{itemize}
\item \url{https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC8512860/}
\item \url{https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/frequency-response-curve}
\item \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Transfer_function}
\end{itemize}
\end{flushleft}

Systemets egenvektor  $e^{i\omega t}$ har egenverdi $H(i\omega)$,
og det er denne de fleste ingeniører snakker om når de sier \say{frekvensresponsen}.
Frekvensresponsen forteller noe om hvordan systemet reagerer på forskjellige frekvenser.
Nå lurer du sikkert på hvorfor vi ikke bruker sinus eller cosinus 
når vi har lyst til å påtrykke en bestemt frekvens,
og svaret at det kunne vi gjort, 
men disse er ikke egenvektorer til LTI-systemer (unntatt i noen sære tilfeller),
og derfor er de håpløst knotete å regne på.
Hvis du på død og liv vil bruke cosinus
istedet for eksponensialfunksjonen kan du det, 
men da er det best å utnytte systemfunksjonen. 

\begin{oppgave}{10}
  Løs
  $
  \ddot x + x = \cos {\omega t}.
  $
  Men hva skjer når $\omega = 1$?
  Hvorfor heter det resonans?\\
  (Hint: Frekvensresponsen bryter sammen når $\omega=1$, 
  og partikulærløsningen blir istedet\\ ${x_p(t)=Ct\sin t}$. 
  Plott denne, så ser du.)
  \end{oppgave}
  




Man får mye informasjon om 
et system ved å se hvordan det reagerer når man sender gjennom 
sinusoidale påtrykk. 
I akustikk, elektro, impedansspektroskopi og en del andre anvendelser
er det frekvensresponsen som råder grunnen. 
Moderne musikkteknologi er utenkelig uten frekvensrespons. 
På femtitallet da frekvensanalysen var rykende fersk, 
var frekvensresponsen også viktig i prosessteknikk;
man analyserte prosessanlegg ved å påtrykke forskjellige frekvenser og 
studere responsen.

\clearpage

Impulsresponsen har du ikke verktøy til å håndtere
med mindre du er en child prodigy i fysikk,
men nå skal du få det. 
Det kalles \textbf{laplacetransform}. 
For å skjønne hvem Laplace var, 
må vi gjennom fysikkens historie på tretti sekunder.

Planetene går som kjent i bane rundt solen og ikke omvendt.
Den første som foreslo denne sprø ideen var Aristarkhos av Samos. 
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Aristarchus_of_Samos}}
Han ble selvfølgelig ikke tatt særlig seriøst, 
og ideen lå død frem til Kopernikus. 
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolaus_Copernicus}}
Av en annen merkelig grunn la ikke den katolske kirke merke til 
dette forferdelige blasfemiet før Galileo Galilei bygget det første 
refraksjonsteleskopet og observerte at Jupiter hadde måner.
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei}}
Imens satt Tycho Brahe på en øy og festet og drakk og bygget presise 
måleinstrumenter og tabulerte planetenes gang nøye nok til 
at Johannes Kepler kunne formulere planetloveene. 
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler}}
Kepler trodde naturligvis også at planetene gikk rundt solen, 
men gudfryktig som han var 
%(han var fæl til å blande vitenskapelige og teologiske resonnementer)
slapp han (i likhet med Kopernikus) unna med det. 
Keplers planetlover følger av Newtons gravitasjonslov
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton}}
og vips så kjente menneskeheten til en kvantitativ mekanisme for 
store legemers bevegelse i verdensrommet,
ihvertfall i god avstand fra ting som er tunge nok til
å merkbart bøye av lyset.
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Vulcan_(hypothetical_planet)}}

Den neste som gjorde noen fremskritt her het Pierre-Simon Laplace. 
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace}}
Han gikk noen knepp videre og fant ut av slike ting som hvorfor
tidevannsbølgen på jordoverflaten har to bølgetopper og ikke bare én,
og hvorfor Jupiters bane så ut til å skrumpe mens Saturns så ut til å vokse,
\footnote{Dette skyldes resonans; 
Jupiter går fem ganger rundt solen omtrent like fort som Saturn går to,
og dette fører til at banene skrumper og vokser med en periode på 929 år.
Samme resonans forekommer andre steder i solsystemet, 
for eksempel blant Jupiters galileiske måner;
Ganymedes går rundt en gang i uken, 
Europa dobbelt så fort,
og Io fire ganger så fort. 
Om noen milliarder år kommer Callisto antagelig til å bruke to uker rundt.\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_resonance}}
et problem selv Euler ikke greide å finne ut av.
Laplace regnes som en av de største vitenskapsmenn som har levd,
og vi kan takke ham for så mange ting at de knapt er vits i å liste opp.
For dere unge lovende sivingstudenter er det kanskje tre ting som 
er verdt å nevne:
\begin{itemize}
\item sannsynlighetsregning og statistikk
\item partielle differensiallikninger
\item uttrykket \say{vi ser lett at...} som man slenger opp foran et utsagn når man ikke helt husker hvorfor utsagnet er sant eller hvordan resonnementet gikk
\item \textbf{Den ensidige laplacetransformen}:
\[
\mathcal{L}(x)=X(s)=\int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st}\; dt
\]
\end{itemize}

Denne økten skal handle om laplacetransform. 
Dette er et merkverdig men nyttig redskap.
Jeg liker bedre det mer norske ordet \say{omvending} en \say{transform},
men \say{laplacetransform} er så innarbeidet at man får kjeft om man sier noe annet. 
(Jeg har prøvd.)

\clearpage

Laplacetransform er et av mange mange eksempler på noe som kalles 
\textbf{integraltransform}. 
Dette er redskaper som er nyttige for så mangt, 
men de fremstår som litt trukket ut av hatten om man ikke er vant til dem. 
Vi bruker laplacetransform til å løse initialverdiproblemer.
Parameteren $s$ er et komplekst tall,
og laplacetransformen er en lineæroperator som tar inn en funksjon
av $t$ og gir ut en korresponderende funksjon av $s$;
vi skriver derfor enten $\mathcal{L}(x)$ eller $X(s)$ alt etter kontekst.
\footnote{Det er en dårlig vane å skrive $\mathcal{L}(x(t))$,
for $x(t)$ er et tall, altså funksjonsverdien til funksjonen $x$ i $t$.}

\begin{oppgave}{11}
Finn laplacetransformen til $x(t)=e^{at}$, 
der $a$ er en konstant.\\
(Hint: Du må anta at realdelen til $s$ er større enn $a$, slik at integralet konvergerer.)
\end{oppgave}

For at vi raskt skal skjønne hvordan laplacetransform kan brukes til å 
løse differensiallikninger, skal vi umiddelbart utlede en viktig regneregel.

\begin{oppgave}{12}
Vis at 
\[
\mathcal L(\dot x)=s\mathcal L(x)-x(0)
\]
(Hint: Anta at realdelen til $s$ er større enn null og ta en delvis integrasjon.)
\end{oppgave}

Siden laplacetransform er en lineæroperator, 
kommer det kanskje ikke som et sjokk at den kan brukes på lineære differensiallikninger.
La oss begynne med initialverdiproblemet
\[
\dot x + ax=0 \qquad x(0)=1
\]
som har løsning
$x(t)=e^{-at}$.

\begin{oppgave}{13}
Ta laplacetransform på begge sider av differensiallikningen, 
løs for $X(s)$,
og se på oppgave 1.
\end{oppgave}

Nøkkelen til suksessen ligger i relasjonen 
fra oppgave 2. 
Det er denne og lineariteten som lar oss skrive differensiallikningen
om til en algebraisk likning som er triviell å løse.
Det vanligste er å bruke tabell for å invertere laplacetransform,
og da må vi kjenne til en haug med laplacetransformer,
slik at vi vet hva som korresponderer til hva. 
\footnote{
Det finnes en inversformel for laplacetransform:
\[
x(t)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to \infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}X(s)e^{st}\; ds
\]
men denne er for det første for komplisert for oss inneværende semester, 
og for det andre først og fremst av teoretisk interesse.}
Du finner en kjempetabell appendiks i B i Balchens regtekklassiker, 
som ligger gratis her:\\
\url{https://folk.ntnu.no/tronda}


Hvis du vil løse høyere ordens differensiallikninger,
må du ha en derivasjonsregel til.

\begin{oppgave}{14}
Vis at 
\[
\mathcal L(\ddot x)=s^2\mathcal L(x)-sx(0)-\dot x(0)
\]
(Hint: Bruk den forrige derivasjonsregelen to ganger.)
\end{oppgave}

Denne derivasjonsformelen kan generaliseres til høyere ordens deriverte, 
men den trenger du antageligvis ikke. 
På høyere ordens systemer må 
man uansett til med numeriske metoder.
\footnote{Eller Diana: \url{https://snl.no/DIANA_-_datamaskin}}


La oss nå regne ut et par laplacetransformer
og løse noen flere differensiallikninger.
Finn $X$ dersom (og husk å gjøre antagelser på $s$ slik at livet smiler)

\begin{minipage}{5cm}
\begin{oppgave}{15}
$x(t)=\cos t$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{oppgave}{16}
$x(t)=\sin t$
\end{oppgave}
\end{minipage}


og bruk laplacetransform til å løse initialverdiproblemene

\begin{minipage}{97mm}
\begin{oppgave}{18}
$\hspace{3mm} \ddot{x}(t)+x(t)=0 \hspace{21mm}x(0)=1 \hspace{5mm}\dot{x}(0)=0$\\[-3.5mm]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
$\hspace{3mm} \ddot{x}(t)+x(t)=0 \hspace{21mm}x(0)=0 \hspace{5mm}\dot{x}(0)=1$\\[-3.5mm]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{20}
$\hspace{3mm} \ddot{x}(t)+\dot{x}(t)+x(t)= 0 \hspace{10mm}x(0)=1 \hspace{5mm}\dot{x}(0)=0$\\[-3.5mm]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{21}
$\hspace{3mm} \ddot{x}(t)+\dot{x}(t)+x(t)=\cos t \hspace{5mm}x(0)=0 \hspace{5mm}\dot{x}(0)=0$\\[-3.5mm]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{22}
$\hspace{3mm} \ddot{x}(t)+\dot{x}(t)+x(t)=\sin t \hspace{5mm}x(0)=0 \hspace{5mm}\dot{x}(0)=0$\\[-3.5mm]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{24}
$\hspace{3mm} \ddot{x}(t)+\dot{x}(t)+x(t)= e^{i\omega t} \hspace{6mm}x(0)=0 \hspace{5mm}\dot{x}(0)=0$\\[-3.5mm]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{25}
$\hspace{3mm} \ddot{x}(t)+x(t)= \cos t \hspace{16mm}x(0)=0 \hspace{5mm}\dot{x}(0)=0$\\[-3.5mm]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{26}
$\hspace{3mm} \dot{x}(t)+x(t)= e^{-t} \hspace{18mm}x(0)=1 $\\[-3.5mm]
\end{oppgave}

\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/img20220621_08052016}
\end{center}
\end{minipage}


I oppgave 26 trenger du et triks du ikke 
kommer til å få så veldig mye bruk for, 
men oppgavene illustrerer et interessant poeng om resonans. 
Dette er noe som skjer dersom man påtrykker 
et signal som også er en homogen løsning. 
På folkemunne sier man gjerne at man påtrykker 
med resonansfrekvensen til systemet.
Det er omtrent dette som skjer når du får fergen til å krenge ved å 
løpe frem og tilbake på dekk,
eller når det feeder i mikrofonen. 

\begin{oppgave}{27}
La $y(t)=tx(t)$. Vis at 
\[
Y(s)=-\frac{d}{ds}X(s)
\]
og prøv oppgave 26 igjen.
\end{oppgave}

La oss samle opp noen flere triks. 
Det finnes mange triks, 
men jeg har prøvd å plukke ut ting dere kan få bruk for,
basert på de klassiske responsene.
Her er en regel, 
$t$-skift:

\begin{oppgave}{29}
Finn laplacetransformen til $u(t-a)$,
og vis at dersom $y(t)=x(t-a)u(t-a)$ er
\[
Y(s)=e^{-as}X(s)
\]
og skisser $x$ og $y$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{30}
Prøv igjen og se om du får samme svar på oppgave 4-7 over.
\end{oppgave}

Den neste regelen kalles $s$-skift.

\begin{oppgave}{31}
La $y(t)=e^{at}x(t)$, 
og vis at 
\[
Y(s)=X(s-a).
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{32}
Regn ut laplacetransformene til $e^{\alpha t}\cos \omega t$ og $e^{\alpha t}\sin \omega t$ og prøv oppgave 20 på nytt.
\end{oppgave}





Nå kan vi prøve oss på impulsresponsen.
Diracpulsen brukes til å modellere impuls, 
altså energitilførsler der den påtrykte kraften er ekstremt høy
og ekstremt kortvarig, som for eksempel ved hammerslag eller høye smell.
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function}}
For unge mennesker pleier diracpulsen å bli introdusert slik:
\[\delta(t)=
\begin{cases} 
\infty \quad &t=a \\
0 \quad &t\neq a \\
\end{cases}\\[3mm]
\]
men dette er i bunn og grunn meningsløst,
og dessuten litt forvirrende,
for definisjonen forteller deg ingenting om hvordan du skal 
oppføre deg når du ser diracpulsen i en differensiallikning.
Det er mye bedre å tenke slik: 
Dersom $f$ er massetettheten til et endimensjonalt objekt,
er 
\[
\int_a^b f(s)\; ds = \text{massen til objektet mellom $a$ og $b$}
\]
og diracpulsen er bare en snedig måte å matematisk plassere et enkilos fiskelodd
i origo:
\[
\int_a^b \delta(s)\; ds = 
\begin{cases} 
1 \quad & a \leq 0 \leq b \\
0 \quad &\text{ellers} 
\end{cases}\\[3mm]
\]
Dette forteller deg alt du trenger å vite om diracpulsen, 
for eksempel at
\[
\int_a^b \delta(x-s)\; ds = 
\begin{cases} 
1 \quad & a \leq x \leq b \\
0 \quad &\text{ellers} 
\end{cases}\\[3mm]
\]
og at 
\[
\int_{-\infty}^\infty f(s)\delta(x-s)\; ds = 
f(x).
\]
Den siste er kanskje ikke helt triviell, 
men følg von Neumanns råd og venn deg til det. 
Poenget er at diracpulsen kun gir
mening når den opptrer under et integraltegn. 
Den er noe som kalles en distribusjon,
og et ordentlig studium av distribusjoner regnes som 
noe for vanskelig for disse emnene. 
Jeg kan trøste deg med at diracpulsen ble oppfunnet av en fysiker,
Paul Dirac.
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac}}
Det var ingen som tok diracpulsen seriøst til å begynne med, 
men Dirac fikk til slutt fikk nobelprisen i 1933 for sitt arbeid 
med kvantemekanikk,
sammen med med Erwin Schrödinger.
\footnote{
Dirac var ganske fåmælt. Etter ham har vi en måleenhet for talestrøm:
en dirac = ett ord per time
}
For å skjønne hva diracpulsen gjør sånn fysisk sett kan du løse følgende oppgave. 

\begin{oppgave}{33}  
  Finn laplacetransformen til diracpulsen
  og løs initialverdiproblemene
  \[
    m\ddot{x}(t)+b\dot{x}(t)+kx(t)=\delta(t) \hspace{5mm}x(0)=x_0 \hspace{5mm}\dot{x}(0)=v_0
  \]
  og 
  \[
    m\ddot{x}(t)+b\dot{x}(t)+kx(t)=0 \hspace{5mm}x(0)=x_0 \hspace{5mm}\dot{x}(0)=v_0+1/m.
  \]
\end{oppgave}
 
mens lti-trikset gir deg denne her:

\begin{oppgave}{34}  
  $
   \hspace{2mm} \ddot{x}(t)+\dot{x}(t)+x(t)=\delta(t-1) \hspace{5mm}x(0)=0 \hspace{5mm}\dot{x}(0)=0.
  $
\end{oppgave}

Prøv disse og:

\begin{minipage}{80mm}
  \begin{oppgave}{35}
  $\dot x(t) + x(t) = \delta(t-1)$
  \hspace{2mm}$x(0)=0$
  \end{oppgave}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}{80mm}
  \begin{oppgave}{36}
  $\dot x(t) + x(t) = \delta(t-2)$
  $\hspace{2mm}x(0)=0$
  \end{oppgave}
  \end{minipage}

  \begin{oppgave}{37}
  $\dot x(t) + x(t) = \delta(t-1) - \delta(t-2)$
  $\hspace{2mm}x(0)=0$
  \end{oppgave}

  
  


\section*{LITT REPETISJON}

Hvis du ikke husker delbrøksoppspalting,
kommer det en repetisjon her. 
Dette er en litt kjedelig teknikk for å splitte rasjonale funksjoner,
altså funskjoner på formen 
\[
f=\frac{q}{p}
\]
der $q$ og $p$ er polynomer.
Det er vanlig å anta at $q$ har lavere grad enn $p$. 
Hvis det ikke er tilfelle, 
er det bare å bruke polynomdivisjon og skrive
\[
f(x)=\frac{q(x)}{p(x)}=r(x)+\frac{s(x)}{p(x)}
\]
der $s$ har lavere grad enn $p$. 
Polynomet $r$ er trivielt å integrere,
så vi kan konsentrere oss om brøken.
La oss begynne med noe enkelt.
For eksempel husker alle barn i barnehagen at 
\[
\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{(x-1)}-\frac{1}{x}
\]
Hvordan finner vi ut dette om vi ikke vet det?
Vel, først kan vi skrive $x^2-x=x(x-1)$,
og så kan man huske at det går an å skrive
\[
\frac{1}{x(x-1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{x}.
\]
Dersom dette er korrekt måte å spalte på, 
vil det nå være mulig å beregne $A$ og $B$. 
Har du bommet på formen, 
vil du få et likningssystem som ikke har løsning.
Vi ganger opp med $x(x-1)$ og får
\[
1=Ax+B(x-1).
\]
Siden to polynomer kun er like om de har samme koeffisienter på hver orden av $x$, 
er denne likningen kun sann dersom 
\begin{align*}
0 &= A + B \\
1 &=\hspace{4mm} - B
\end{align*}
som gir $ B = -1 $ og $ A = 1 $ og
\[
\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{(x-1)}-\frac{1}{x}
\]
som forventet.
Den generelle prosedyren er ikke vanskelig,
men litt langdryg å forklare, 
så jeg tror jeg setter ut dette til Arnes bok,
kapittel 3.10.
I korte trekk kan du spalte repeterte røtter slik:
\begin{equation*}
\frac{p(x)}{(x-a)^{n}}=\frac{A_{1}}{(x-a)}+\frac{A_{2}}{(x-a)^{2}}+...+\frac{A_{n}}{(x-a)^{n}}
\end{equation*}
for eksempel:
\[
\frac{1}{x^2(x-1)^3}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}+\frac{E}{(x-1)^3}
\]
Prøv å spalte

\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{17}
$\hspace{3mm} \dfrac{1}{x^2-4}$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{18}
$\hspace{3mm} \dfrac{1}{x^2(x-1)}$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{19}
$\hspace{3mm} \dfrac{1}{x^{4}-4x^{2}}$
\end{oppgave}
\end{minipage}




\section*{UKENS ELEKTROTEKNIKK}



Man kan tegne RCL-filtre litt forskjellig.
Balchen tegner noe slikt:
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to  [V]  (0,1);
		\draw  (0,3) to [ R=2$\Omega$] (2,3) to  [cute inductor=1H] (4,3) to [C=0.5F] (4,1) to  (0,1); 
		\draw (6,3) to [open,v=$y(t)$] (6,1); 
		\draw (-2,3) to [open,v=$x(t)$] (-2,1); 
		\draw (4,3) to [short,-*] (5,3);
		\draw (4,1)  to [short,-*] (5,1);
		\draw (0,3) to [short,-*] (-1,3);
		\draw (0,1)  to [short,-*] (-1,1);
	\end{circuitikz}
\end{center}
eller kanskje noe slikt:
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to  [V]  (0,1);
		\draw  (0,3) to [ R=2$\Omega$] (2,3) to  [cute inductor=1H] (4,3) to [C=0.5F] (4,1) to  (0,1); 
\draw node at (-2,3) {$x(t)$};
\draw node at (6,3) {$y$(t)};
		\draw (4,3) to [short,-*] (5,3);
		\draw (0,3) to [short,-*] (-1,3);
		\draw node[ground] at (0,1){};
	\end{circuitikz}
\end{center}
men Lars liker best å tegne noe slikt:
\begin{center}
\begin{circuitikz}
\draw (-1,2) to [short, o-]  (0,2) ;
\draw node at (-2,2) {$x$};
\draw  (0,2) to [ R=2$\Omega$] (2,2) to  [cute inductor=1H] (4,2) to [C=0.5F] (4,.5); 
\draw node at (6,2) {$y$};
\draw (4,2)  to [short,-*] (5,2);
\draw node[ground] at (4,1){};
\end{circuitikz}
\end{center}

\begin{oppgave}{1}
Uansett. La den ukjente være spenningen $y$ fra kondensatoren til jord,
bruk Kirchhoffs spenningslov til å vise at 
\[
\ddot x + 2\dot x + 2x = f
\]
og plott $x$ dersom spenningskilden $f$ blir satt til 1V ved $t=1$ etter å ha stått av en lang stund.
(Jada jada jeg vet at komponentverdiene er helt urealistiske 
og at Lars liker spenningsdeling bedre enn Kirchhoffs spenningslov
og at elektroteknikere gjerne vil slippe å løse differensiallikninger og alt det der,
men gjør det allikevel.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Prøv også $f(t)=e^{i\omega t}$.
\end{oppgave}

Her er til slutt noen varianter av kretsene over, 
men med litt mer  reallistiske verdier på komponentene. 
Koble opp kretsene på brødbrettet,
send inn forskjellige frekvenser, 
mål med et eller annet redskap (finn en makker fra elsys eller gå på OV og spør om du ikke har), 
og sammenlikne med analytisk løsning.


\begin{minipage}{8cm}
\begin{oppgave}{3}
$0.1\ddot{yx}+3000\dot{x}+200000x=e^{i\omega t}$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
$0.1\ddot{x}+2000\dot{x}+200000x= e^{i\omega t}$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
$0.1\ddot{x}+100000x=e^{i\omega t}$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.23]{../figurer/img20220621_08012289}
\end{center}
\end{minipage}

\clearpage

Integrasjonsregel kan være greit å ha:

\begin{oppgave}{6}
Vis at dersom $y(t)=\int_0^t x(u)\; du$, er
\[
Y(s)=\frac{1}{s}X(s)
\]
\end{oppgave}

siden Kirchhoffs spenningslov på RCL-krets gir en integro-differensiallikning. 


%\begin{minipage}{100mm}
 % \end{minipage}
%\begin{minipage}{6cm}
%  \begin{center}
%    \begin{circuitikz}
%      \draw (1.1,1) to [short, o-] (0,1) to [R = $R$] (0,3) to[C=$C$] (3,3) to [L = $L$] (3,1) to  [short, -o] (1.9,1);
%      \draw (1.5, 1) node [below] {$v(t)$};
%    \end{circuitikz}
%  \end{center}
%  \end{minipage}



\begin{minipage}{93mm}

\begin{oppgave}{7}
Vis at strømmen i figur 8 tilfredsstiller
  \[
    Li'(t) + Ri(t) + \frac{1}{C}\int_0^ti(\tau)\text{ d}\tau = v(t)
  \] 
  og løs når $R = 2$, $L=1$, $C = 0.5$  og $v(t)=\cos t$. \\
Anta $i(0)=i'(0)=0$.\\
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
Finn strømmen når $v(t)=\delta(t-1)$.\\
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
Utled regnereglene
\[
V=\frac{I}{sC}
\]
og 
\[
V=sLI
\]
for spole og kondensator ved å laplacetransformere 
de korresponderende regnereglene i tidsdomenet.\\
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
Finn systemfunksjonene til filtrene.
Du kan kjøre laplace rett på kretsene. 
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{75mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.45]{../figurer/filter}

\end{center}
\end{minipage}

\section*{UKENS NØTTER}

\begin{minipage}{90mm}
Her er en alternativ definisjon av diracpulsen. La 
\[
g_k(s)=    
\begin{cases}
1/k  & \text{for } 0 < s <  k \\
0 & \text{ellers} 
\end{cases} 
\]
Vi definerer
\begin{equation*}
\delta(t)=\lim_{k \to 0} g_k(t)
\end{equation*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{70mm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick]
\begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
\draw[->] (-2.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$s$};
\draw[->] (-2.5,-0.25) -- (-2.5,3);
\draw[-,red] (-1,2) -- (-.875,2) node[right]{$g_{1/8}$};
\draw[-,red] (-1,0.5) -- (-.5,0.5) node[right]{$g_{1/2}$};
\draw[-,red] (-1,1) -- (-.75,1) node[right]{$g_{1/4}$};
\node[below] at (-1,0){$x$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{oppgave}{1}
Man tenker som sagt på diracpulsen som noe som plukker ut funksjonsverdier fra integraler.
Vis at 
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(s)\delta(x-s)\; ds=f(x).
\]
\end{oppgave}

%\begin{equation*}
%\int_0^{\infty} f(t)\delta(t-a)\; dt=\lim_{k \to 0}\frac{1}{k}\int_a^{a+k} f(t)\; dt=f(a).
%\end{equation*}



\begin{oppgave}{2}
Prøv å løse $\ddot x(t) + 2\dot x(t) + x(t) = \delta(t)
\hspace{2cm}
x(0)=\dot x(0)=0
$
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{3}
Enhetssprangfunksjonen kalles også heavisidefunksjonen etter Oliver Heaviside, 
som introduserte den i elektroteknikken:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside}\\
Det er ikke helt uvanlig at ingeniører tenker på 
diracpulsen som den deriverte til denne. 
Forklar.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
I $\ddot x(t) + 2\dot x(t) + 2x(t) = u(t-1)$ forekommer en dobbelderivert, 
så det er jo naturlig å tenke at en løsning $x$ bør være to ganger kontinuerlig deriverbar,
slik at man kan sjekke om den passer i likningen.
Er den det? 
\end{oppgave}


\begin{comment}

sette $H(i\omega)=r(\omega)e^{i\phi(\omega)}$,
og beregne 
\begin{align*}
L(\cos\omega t)&=L\left(\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}\right)\\[3mm]
&=\frac{1}{2}\left(L\left(e^{i\omega t}\right)+L\left(e^{-i\omega t}\right)\right)\\[3mm]
&=\frac{1}{2}\left(H(i\omega)e^{i\omega t}+H(-i\omega)e^{-i\omega t}\right)\\[3mm]
&=\frac{1}{2}\left(r(\omega)e^{i\phi(\omega)}e^{i\omega t}+r(\omega)e^{-i\phi(\omega)}e^{-i\omega t}\right)\\[3mm]
&=\frac{r(\omega)}{2}\left(e^{i(\omega t+\phi(\omega))}+e^{-i(\omega t+\phi(\omega))}\right)=r(\omega)\cos(\omega t + \phi(\omega))
\end{align*}
Her ser vi tydelig at frekvensresponsen er en 
skalering $r(\omega)=|H(i\omega)|$ av amplituden (denne kalles \textbf{amplituderesponsen}) 
og en faseforskyvning $\phi(\omega)$ (denne kalles \textbf{faseresponsen}). 
\end{comment}  


\section*{UKENS LIFE HACK}
\url{https://www.scientificamerican.com/article/humans-evolved-to-exercise/}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{../figurer/img20220621_08061711.jpg}
\end{center}

\end{document}
