\input{preamble}

\title{4 - 1 - VARMELIKNINGEN}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%primtall

\maketitle



%sirkulære





I en ideell gass er det et lineært forhold mellom temperatur og opplagret bevegelsesenergi:
\[
\frac{1}{2}m v^2=\frac{3}{2} k T
\]
der $k=1.38064852(79)\times 10^{-23}$ J/K er Boltzmanns konstant, 
$T$ er temperaturen målt i Kelvin
og $v$ er forventningsverdien til fartsfordelingen til gassmolekylene (Maxwell-Boltzmann-fordelingen) gitt $T$. 
Vi kan altså tenke på temperatur som et mål 
på opplagret kinetisk energi.
I andre materialer enn ideelle gasser kan den kinetiske energien også lagres opp som rotasjon og vibrasjon.

La oss tenke at temperaturen er gitt ved funksjonen $T(\mathbf x,t)$,  
der $\mathbf x= (x_1,x_2,x_3)$ er de romlige koordinatene og $t$ er tidspunktet.
La $\Omega$ være et område i $\mathbb R^3$.
Endring i indre energi i $\Omega$ er gitt ved
\[
\frac{\partial}{\partial t}
\left(
\rho c 
\iiint_{\Omega} T(\mathbf x,t)\; d\mathbf x
\right)
\]
der $\rho$ er massetettheten og $c$ er den spesifikke varmekapasiteten.
Dersom vi antar at $\rho$ og $c$ er konstante og legger noen restriksjoner 
på glattheten til $T$ (for kompliserte for oss),
er endringen i denne energien over tid gitt ved
\[
\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho c \iiint_{\Omega} T(\mathbf x,t)\; d\mathbf x \right)= 
\rho c 
\iiint_{\Omega} \dot T(\mathbf x,t)\; d\mathbf x 
\]

Transport av varmeenergi er for mange materialer proporsjonal med temperaturgradienten.
Dette kalles Fouriers lov, og skrives
\[
\V q=-\kappa \nabla T
\]
der $\kappa$ er den termiske konduktiviteten, og $\mathbf q$ er varmefluksen. 
I anisotrope medier er den termiske konduktiviten avhengig av retning:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_conductivity}\\
men vi skal inntil videre anta at $\kappa$ er en konstant skalar. 
Endringen i varmeenergi i $\Omega$ skyldes enten varme som produseres inne i $\Omega$ 
(tenk at det står et stearinlys og brenner inne i $\Omega$),  
eller varme som slipper inn og ut gjennom randen $\partial \Omega$.
Dersom vi antar at $\kappa$ er konstant og at det ikke produseres varme i $\Omega$, må 
\[
-\rho c \iiint_{\Omega}\dot T \; d\mathbf x=
\iint_{\partial \Omega} \V q \cdot dS
= \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \V q \; d\mathbf x
=-\kappa \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \left(\nabla T\right) \; d\mathbf x=
-\kappa \iiint_{\Omega} \Delta T \; d\mathbf x
\]
eller 
\[
\rho c \iiint_{\Omega} \dot T\; d\mathbf x=
\kappa \iiint_{\Omega} \Delta T \; d\mathbf x.
\]
Dersom  dette  gjelder for et tilfeldig valgt område $\Omega$, 
bør integrandene være like:
\[
\rho c \dot T=\kappa \Delta T
\]
Denne kalles 
{varmelikningen}
eller {diffusjonslikningen}.

\begin{oppgave}{1}
Denne utledningen kommer på eksamen. 
\end{oppgave}

Hvis man vil utlede denne med diffusjon istedet, 
bruker man Ficks lov:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Fick%27s_laws_of_diffusion}\\
som sier at diffusjon er proporsjonal med konsentrasjonen:
\[
q=-\kappa \nabla C
\]
Alt blir likt siden Ficks og fouriers lover er matematisk identiske,
det er bare den fysiske tolkningen som er forskjellig mellom dem. 

Vi har jo drevet litt med dette her i TMA4106:
 \begin{tcolorbox}[colback=red!10]
\[
\frac{\partial T}{\partial t} (x,t) =  \alpha\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} (x,t) \hspace{2cm}
T(0,t)=T(\pi,t)=0 \hspace{2cm}
T(x,0)=f(x) 
 \]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{2}
Se om du husker hva det gikk i og hva løsningen var.
Er det noen sammenheng med Schrödingers likning? \\
(Hint: velg $\alpha$ litt kreativt.)
\end{oppgave}

En ting som kan være greit å ta stilling til etterhvert, 
er hva vi gjør om intervallet er $(0,L)$ istedet for $(0,\pi)$. 
Dette er ikke vanskeligere, 
men formlene er litt mer grisete.

\begin{oppgave}{3}
Gå et skritt videre i livet
(dette må du allikevel i faststoff)
og vis at 
\end{oppgave}

\begin{tcolorbox}
Varmelikningen
\[
\frac{\partial T}{\partial t} (x,t) =  \alpha\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} (x,t)
\]
med rand- og initialkrav 
\[
u(0,t)=u(L,t)=0 \quad \text{og} \quad 
u(x,0)=f(x) 
\]
løses av 
\[
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-\alpha\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}\sin \frac{n\pi}{L}x
\quad \text{der} \quad 
A_n=\frac{2}{L} \int_{0}^L f(x) \sin \frac{n\pi}{L}x \; dx.
\]
\end{tcolorbox}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.13]{../figurer/L1015935-Pano}
\end{center}

\begin{oppgave}{4}
Lag en video i python eller matlab (enklest) av løsningen.
\end{oppgave}

Jeg tror det skal være mulig å få til varmelikningen på plate istedet for stang.

\begin{oppgave}{5}
Kopier løsningsteknikken for stang, 
og løs varmelikningen på rektangulær boks $\Omega$ med 
initialkrav 
\[
u(\mathbf x,0)=f(\mathbf x)
\] 
og randkrav 
\[
u(\mathbf x,t)=0
\] 
på $\partial \Omega$.
Lag video.
\end{oppgave}

En av de tingene som er mest interessant med varmelikningen,
er sammenhengen med normalfordelingen. 
Vi skal nå utlede noe som kalles \textbf{varmelikningens fundamentalløsning}.
Dette er en av løsningene til varmelikningen på hele $\mathbb R$ uten noen rand- eller initialkrav.
Da må vi varme opp med

\begin{oppgave}{6}
Finn fourieromvendingen til $f(s)=e^{-s^2}$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
Fourieromvend varmelikningen (i én romlig koordinat) med hensyn på $x$,
løs den korresponderende ordinære differensiallikningen i $t$,
og inverstransformer.
Dette er litt hårete,
men om du gjør alt riktig, 
skal du ende opp med
\[
T(x,t) = \frac{b}{\sqrt{\alpha t}}e^{-\frac{x^2}{4\alpha t}}
\]
Klarer du å tolke denne fysisk? \\
(Hint: Hva skjer når $t\to 0$?)
\end{oppgave}

Det er vanlig å sette konstanten $b$ slik at 
\[
\int_{-\infty}^\infty T(x,t) = 1 
\]

\begin{oppgave}{8}
Hva blir $b$?
\end{oppgave}


Her er to oppgaver som kan indikere hvorfor vi gjør det slik. 

\begin{oppgave}{9}
Hvordan vil du gå frem dersom det i tillegg foreligger et initialkrav
\[
T(x,0)=f(x)\; ?
\]
(Hint: Impulsrespons.)
\end{oppgave} 

\begin{oppgave}{10}
Fundamentalløsningen til Schrödingers likning kalles gjerne bølgefunksjonen til en fri partikkel, 
ikke at noe slikt finnes i virkeligheten.
Hva tror du den er?
\end{oppgave} 

\begin{center}
\includegraphics[scale=.15]{../figurer/M-infra}
\end{center}



\end{document}
