<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\input{preamble}

\title{1 - 7 - INTEGRALET}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

%husk kumulativ snÃ¸ gudbrandsdalen


Denne uken leser vi kapittel 3 i Arnes bok,
men noen delkapitler er litt viktigere enn andre. 
For eksempel antar jeg at du allerede kan 

\begin{minipage}{30mm}
\begin{itemize}
\item 3.1 
\item 3.3 
\item 3.4 
\item 3.5 
\item 3.6 
\item 3.9 
\item 3.10 
\item 3.15 
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{120mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.15]{../figurer/L1003283}
\end{center}
\end{minipage}

fra skolen.
Noen av de andre kapitlene, 
slik som 3.7 og 3.8 er i samme Ã¥nden, 
men kanskje litt for hÃ¥rete for R2. 

Kapittel 3.2 antar jeg derimot at de fleste ikke har brukt sÃ¥ mye tid pÃ¥ fÃ¸r,
men dette kapitlet er i bunn og grunn mye viktigere enn alle antiderivasjonsreglene,
for det du trenger for Ã¥ forstÃ¥ alle de fysiske modellene du skal lÃ¦re de neste fem Ã¥rene,
er \textit{hva integralet er}. 
Integralet er nemlig mye mye mer enn bare \say{arealet under grafen}.

Derfor er det mange som synes integralet er litt knotete Ã¥ lÃ¦re seg. 
Vi skal bruke mest tid pÃ¥ tingene som stÃ¥r i kapittel 3.2 og 3.12-14,
sÃ¥ du kan trygt lese disse kapitlene,
men du bÃ¸r gjÃ¸re oppgavene i denne filen.
Vi begynner faktisk med en snartur innom kapittel 6,
for mange differensiallikninger kan lÃ¸ses ved Ã¥ herje litt og integrere.

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1007282}
\end{center}

Fra gymnaset sitter du antagelig igjen med fÃ¸lgende leveregel:
\[
    \text{INTEGRASJON} = \text{ANTIDERIVASJON}
\]
Dette er feil,
men en naturlig konklusjon Ã¥ trekke etter gymnaset.
At man sitter igjen med et slikt inntrykk,
skyldes \textbf{analysens fundamentalteorem}:
\[
  \int_a^b f'(t)\; dt = f(b) - f(a)
\]
Denne,
sammen med \textbf{kjerneregelen} eller \textbf{integrasjon ved substitusjon}:
\[
  f\left( g\left( b \right) \right) - f\left( g\left( a \right) \right) =
  \int_a^b \frac{d}{dt}\left( f\left( g(t) \right) \right) \; dt =
  \int_a^b f'\left( g\left( t \right) \right)g'\left( t \right)\; dt
\]
og \textbf{produktregelen} eller \textbf{delvis integrasjon}:
\[
  f(b)g(b) - f(a)g(a) =
  \int_a^b \frac{d}{dt}\left( f(t)g(t) \right) \; dt =
  \int_a^b f'(t)g(t)\; dt + \int_a^b f(t)g'(t)\; dt
\]
er det man fokuserer mest pÃ¥ pÃ¥ gymnaset,
for det er sÃ¥ enkelt lage eksamensoppgaver om det.

Det finnes empirisk evidens for at
Homo Sapiens' store styrke er Ã¥ fÃ¸lge oppskrift.
\footnote{\url{https://www.eva.mpg.de/documents/Springer/Call_Copying_AnimCog_2005_1555317.pdf}}
\footnote{\url{https://www.eva.mpg.de/documents/Wiley-Blackwell/Tennie_Push_Ethology_2006_1555112.pdf}}
Jeg lurer litt pÃ¥ om det hadde vÃ¦rt bedre Ã¥ begynne differensiallikningÃ¸kten med en oppskrift.
Det finnes nemlig en oppskrift for Ã¥ lÃ¸se differensiallikninger:

\begin{itemize}
    \item[1:] Herj litt med likningen. Gang eller del med noen greier.
    \item[2:] IntegrÃ©r. Du kan bruke bestemt eller ubestemt integral,
    og du mÃ¥ antagelig bruke reglene over. GjÃ¸r du steg 1 riktig, fÃ¥r du det ofte til,
    men det trengs gjerne litt erfaring fÃ¥r Ã¥ se hva som er riktig steg 1.
\end{itemize}

Oppskriften funker pÃ¥ sett og vis pÃ¥ alle difflikninger du har sett til nÃ¥,
men det er litt forskjellig fra likning til likning hva man ender opp med.
Jeg skal nÃ¥ illustrere med et eksempel,
og sÃ¥ skal du prÃ¸ve.
La oss lÃ¸se initialverdiproblemet
\[
    \dot x + ax = 0 \hspace{10mm} x(0)=x_0.
\]
Steg 1 er Ã¥ gange med $e^{at}$:
\[
   e^{at}\left(  \dot x + ax \right) = 0
\]
og sÃ¥ observere at
\[
   e^{at}\left(  \dot x + ax \right) = \frac{d}{dt} \left( e^{at} x\right).
\]
Dette gir likningen
\[
   \frac{d}{dt} \left( e^{at} x\right) = 0
\]
og hvis vi bruker analysens fundamentalteorem
med $f(t) = e^{at}x(t)$,
$a=0$ og $b=t$,
fÃ¥r vi
\[
    e^{at}x(t) - x(0) = 0.
\]
Bruker vi $x(0)=x_0$ og lÃ¸ser for $x(t)$,
sitter vi til slutt igjen med
\[
    x(t) = x_{0}e^{-at}.
\]
NÃ¥ har jeg brukt bestemt integral,
og da blir det ikke noen integrasjonskonstant.
Resonnementet funker fint med ubestemt integral og,
dette er mest smak og behag.

\clearpage

Samme triks kan brukes for Ã¥ hoste opp lÃ¸sningsformelen
\[
    x(t) = e^{-at}\left( x_0 + \int_0^t e^{au} g(u)\; du \right)
\]
til
\[
    \dot x + ax = g \hspace{10mm} x(0)=x_0
\]
der $g$ er en vilkÃ¥rlig funksjon.

\begin{oppgave}{-4}
Utled formelen.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{-3}
Bruk formelen til Ã¥ vise at lÃ¸sningen er
    \[
        x(t) =  \left( x_0 - \frac{c}{a}  \right)e^{-at} + \frac{c}{a}
    \]
    dersom $g(t) = c$,
    altsÃ¥ den konstante funksjonen.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{-2}
Bruk formelen til Ã¥ vise at lÃ¸sningen er
    \[
        x(t) = e^{-at}\left( x_0- \frac{1}{a+s}\right) + \frac{1}{a+s}e^{st}
    \]
    dersom $g(t) = e^{st}$, sÃ¥ lenge $s\neq -a$. Hva skjer om $s=-a$?
\end{oppgave}

Funksjonen
\[
    H\left( s \right) = \frac{1}{a+s}
\]
kalles systemets \textbf{transferfunksjon},
og avhenger kun av differensiallikningens venstreside.
Andre navn er \textbf{overfÃ¸ringsfunksjon}
eller \textbf{systemfunksjon},
og materialteknikere kaller den \textbf{impedansen}.
Merk at den er en delt pÃ¥ den homogene likningens karakteristiske polynom.
Dette er en viktig funksjon;
evaluert i $i\omega$ forteller den noe om hvordan systemet responderer
pÃ¥ forskjellige pÃ¥trykte frekvenser $\omega$.
La oss se litt pÃ¥ dette.

\begin{oppgave}{-1}
    Vis at lÃ¸sningen til
\[
    \dot x(t) + ax(t) = \cos \left( \omega t \right) \hspace{10mm} x(0)=x_0
\]
er
    \[
        x(t) = e^{-at}\left( x_0 - \frac{1}{2}\left( H\left( i\omega \right) + H\left( -i\omega \right) \right) \right)  + \frac{1}{2}\left( H\left( i\omega \right)e^{i\omega t} + H\left( -i\omega \right) e^{-i\omega t} \right).
    \]
    (Husk at $T\left( x \right) = \dot x + ax$ er en lineÃ¦roperator,
    og at $2\cos \omega t = e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}$.
    Hvis du synes dette blir grisete,
    kan du prÃ¸ve Ã¥ sette $\cos \omega t$ rett i formelen Ã¸verst pÃ¥ siden.
    Det blir verre.)
\end{oppgave}

Hvis du ser pÃ¥ fÃ¸rsteintegralene til lotkavolterra og pendellikningen,
vil forhÃ¥pentligvis se at det er den samme oppskriften som er brukt;
herj litt med likningen pÃ¥ riktig mÃ¥te og integrer ved en av formlene.
Forskjellen er at man mÃ¥ bruke kjerneregelen istedet for produktregelen og
at prosessen ikke produserer en lÃ¸sning,
men en algebraisk kurve som lÃ¸sningen mÃ¥ ligge pÃ¥.

\begin{oppgave}{0}
GjÃ¸r oppgave 2 og 5 fra den Ã¸kten pÃ¥ nytt og se om du skjÃ¸nner det bedre nÃ¥.
\end{oppgave}


\clearpage




% integrere rayleighs formel for ultrafiolett katastrofe
% g=9,8214675(4)
% massesenter og forventning
% cauchys fordeling hardle og simar 156
% husk numerisk eksperiment med trapesmetoden og x = x + h vs x = (i+1) * h
% husk Ã¥ referere til adams kap. 7.8

Den samme teknikken kan brukes pÃ¥ hÃ¸yere ordens differensiallikninger,
men det er mer herk,
sÃ¥ jeg har lagt det inn i \say{ukens nÃ¸tter} inntil videre;
jeg er ikke sikker pÃ¥ om det er lettere Ã¥ lÃ¦re pÃ¥ denne mÃ¥ten enn
gjennom homogene og inhomogene lÃ¸sninger.

\begin{minipage}{150mm}
    NÃ¥ skal vi videre med selve integralet.
    MÃ¥let med vitenskap er som sagt prediksjon.
Under gitte forutsetninger Ã¸nsker vi Ã¥ vÃ¦re helt sikker pÃ¥ hva som kommer til Ã¥ skje.
Men av og til plages vi,
selv i verdens rikeste land,
av \textit{tings iboende uforutsigbarhet}.
Dette kan skyldes forskjellige ting,
for eksempel manglende kunnskap om grunnleggende mekanismer,
slik som for mange kjemiske reaksjoner i kroppen din,
eller Heisenbergs usikkerhetsprinsipp,
som sier at det ikke er mulig Ã¥ kjenne en liten partikkels nÃ¸yaktige posisjon
samtidig som du kjenner dens nÃ¸yaktige bevegelsesmengde.
Eller det kan vÃ¦re mer mundant,
slik som at hvis du skal bygge kai og har bestilt sekstoms bord,
sÃ¥ er de nok ikke nÃ¸yaktig 152.4 mm,
men kanskje alt mellom 152mm og 157mm.

I slike tilfeller mÃ¥ vi til med \textbf{sannsynlighetsregning}.
Jeg fiksa kaien til svigers i sommer,
og mÃ¥lte den faktiske bredden (til nÃ¦rmeste millimeter) pÃ¥ alle de tjueni sekstomsbordene som var bestilt.
Gjennomsnittsbredden var $\mu = 154.6$ mm,
og det empiriske standardavviket pÃ¥ $\sigma = 1.1$ mm.\footnote{\url{https://tma4245.math.ntnu.no/deskriptiv-statistikk/}}

\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-2}}[7mm]

\begin{oppgave}{1}
Plott funksjonen
    \[
        f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\left( x-\mu \right)^2/2\sigma^2}
    \]
    oppÃ¥ histogrammet over relative frekvenser,
    altsÃ¥ antall bord av hver lengde delt pÃ¥ totalt antall bord.\\
    (Du finner dataene som .csv-fil her:
\url{https://folk.ntnu.no/mortano/python/kai}.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1.2]{../figurer/kai-2}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.8]{../figurer/kai-1}
\end{center}
\end{minipage}

\clearpage

\begin{minipage}{120mm}
Hvis du gjorde oppgaven over riktig,
fikk du et plot som sÃ¥ omtrent ut som det til hÃ¸yre.
    Kurven $f$ kalles \textbf{normalfordelingskurven},\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution}}
    og er et eksempel pÃ¥ noe som kalles \textbf{sannsynlighetstetthetsfunksjon}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function}}
Dette kommer for fullt rett etter jul i et fag som heter TMA4245.
For oss er det nok Ã¥ vite at man finner sannsynligheter ved Ã¥ integrere sannsynlighetstetthetsfunksjonen:
    \[
P(a&lt;X&lt;b)=\int_a^b f(x)\; dx
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{../figurer/kai-3}
\end{center}
\end{minipage}

Uttrykket $P(a&lt;X&lt;b)$ leses som \say{sannsynligheten for at du trekker noe mellom $a$ og $b$},
og du kan tenke pÃ¥ det som sannsynligheten for Ã¥ trekke et bord med en
lengde i intervallet $[a,b]$ dersom du trekker et tilfeldig bord av stabelen.

Dersom $\mu = 0$ og $\sigma = 1$,
fÃ¥r vi \textbf{standardnormalfordelingen}:
\[
    f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x ^2/2}
\]
Dette er den man stort sett bruker.
Vi er opptatt av den pÃ¥ grunn av fÃ¸lgende oppgave.

\begin{oppgave}{2}
PrÃ¸v Ã¥ finne arealet under standardnormalfordelingskurven mellom $x=0$ og $x=1$.
\end{oppgave}



\begin{center}
\includegraphics[scale=.14]{../figurer/IMG_0486}
\end{center}


\clearpage

Du har antagelig i ryggraden din at man antideriverer for Ã¥ finne arealet under kurven.
Men i mange situasjoner er det enten umulig eller urealistisk Ã¥ antiderivere for Ã¥ finne integralet.
Standardnormalfordelingen har ingen antiderivert som lar seg skrive ned pÃ¥ en enkel mÃ¥te,
og tilforlatelige funksjonsuttrykk kan ha sÃ¥ kompliserte antideriverte at man kan miste interessen for livet:
  \begin{center}
	\includegraphics[scale=1]{../figurer/integral}
   % \vspace*{-2.4cm}
	\end{center}

\begin{oppgave}{3}
Finn ut hva en riemannsum er i Arnes bok (kapittel 3.2),
og lÃ¸s forrige oppgave med en slik.
\end{oppgave}

\begin{center}
	\includegraphics[scale=.2]{../figurer/L1002216}
   % \vspace*{-2.4cm}
	\end{center}

\clearpage

En \textbf{partisjon} av intervallet $[a,b]$,
er en endelig punktmengde som deler intervallet i mindre biter.
Delingspunktene kaller vi $x_i$,
der $x_0=a&lt;x_1&lt;\cdots &lt; x_{n-1}&lt; x_n=b$.
Hvis avstanden mellom delingspunktene er den samme overalt,
sier vi at partisjonen er \textbf{jevn}.
Punktene er da gitt ved formelen
\[
    x_k = a + hk
\]
der $h = \frac{b-a}{n}$ kalles \textbf{gitterfinheten}.
En \textbf{riemannsum} er et histogram,
der histogramhÃ¸yden er funksjonshÃ¸yden ett eller annet
sted pÃ¥ intervallene i partisjonen.
Det finnes flere typer riemannsummer,
alt etter hvor pÃ¥ intervallene man setter histogramhÃ¸yden.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum}}

\begin{center}
    \includegraphics[scale=.4]{../figurer/riemannsum-1}
\end{center}

Hvis man skal definere integralet presist,
er man mest opptatt maksimums- og minimumsverdiene til $f$ pÃ¥ hvert intervall.
Er man bare ute etter arealet under grafen,
er det mest praktisk med endepunktene pÃ¥ hvert intervall.
Disse kalles henholdsvis, Ã¸vre, nedre, hÃ¸yre og venstre riemannsum.

\begin{oppgave}{4}
Hva er hva i figuren over?
\end{oppgave}

Skal du forstÃ¥ integralet,
mÃ¥ du nesten forstÃ¥ riemannsummer.
Dette virker litt corny i begynnelsen,
men i fysikk er det mange konsepter som er definert ved integraler,
og for Ã¥ forstÃ¥ disse er det mye mye viktigere Ã¥ forstÃ¥ hva integralet er
enn Ã¥ ha svart belte i antiderivasjon.

\begin{oppgave}{5}
Les litt mer om normalfordelingen,
for eksempel i kapittel 5 her (gratis pÃ¥ glÃ¸snettet):\\
 \url{https://link.springer.com/book/10.1007/1-84628-168-7}\\
og skriv en pythonkode som tar inn $a$ og $b$
og returnerer $P(a&lt;Z&lt;b)$ ved riemannsummer.\\
($Z$ istedet for $X$ betyr at vi snakker om standardnormalfordelingen.)
\end{oppgave}


\begin{center}
    \includegraphics[scale=.18]{../figurer/L1018405-HDR}
\end{center}

I denne Ã¸kten har jeg ambisjon om at du skal fÃ¥ med deg to ting -
hvordan man beregner \say{arealet under kurven} uten Ã¥ antiderivere,
og at integralet kan brukes til veldig mye mer enn bare \say{arealet under kurven}.
Ved integrasjon finner vi alltid et areal under en eller annen kurve,
men dette arealet kan fint vÃ¦re en lengde eller et volum eller et arbeid eller
total ladning eller noe helt annet.

Men la oss begynne med Ã¥ diskutere det fÃ¸rste,
nemlig hvordan man finner arealet under kurven uten Ã¥ antiderivere.
Det finnes mange viktige sannsynlighetsfordelinger som ikke kan antideriveres.
Planckfordelingen
\[
B(\lambda,T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda k T}-1}
\]
forteller noe som strÃ¥lingsintensiteten for hver bÃ¸lgelengde fra et svart legeme,
og Maxwell-Boltzmann-fordelingen
\[
f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}
\]
forteller noe om fordelingen av hastighetene til partikler i en gasstank
(noen partikler har hÃ¸y fart, mens andre har lav fart).\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwellâ€“Boltzmann_distribution}}
NÃ¥r du teller forskjeller i ACGT-sekvenser pÃ¥ kromosomenene dine
trenger du noe som kalles betafordelingen.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution}}
Sannsynlighetsfordelinger dukker opp overalt i naturen.

I forrige oppgave skrev du en rutine for Ã¥ beregne arealer under standardnormalfordelingen:
    \[
        \frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_a^b e^{-x^2/2} \; dx
    \]
NÃ¥ skal vi forske litt pÃ¥ bedre teknikker for Ã¥ gjÃ¸re dette.
    Det finnes en femte type riemannsum som ikke stÃ¥r i figuren over.
    Den kalles \textbf{midtpunktriemannsum},
    og kjennetegnes som du sikkert skjÃ¸nner av at man tar funksjonsverdien
    pÃ¥ midtpunktet i hvert delintervall i partisjonen.

\begin{oppgave}{6}
    Lag en ny versjon av koden fra oppgave 5 der du bruker midtpunktriemannsummen istedet for hÃ¸yre eller venstre riemannsum.
    Test alt pÃ¥
    \[
        \frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_0^1 e^{-x^2/2} \; dx \approx 0.3413447460685429485852
    \]
    og prÃ¸v forskjellige gitterfinheter. Ser du noe? Kan du forklare?
\end{oppgave}

Tar du gjennomsnittet av hÃ¸yre og venstre riemannsum fÃ¥r du
noe som kalles \textbf{trapesmetoden}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoidal_rule}}

\begin{oppgave}{7}
    Tegn opp og forklar hvorfor det heter \say{trapesmetoden}.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
    Lag en ny versjon av koden fra oppgave 5 der du bruker trapesmetoden.
    Og test for forskjellige gitterfinheter. Hva ser du?
\end{oppgave}

\begin{center}
    \includegraphics[scale=.33]{../figurer/img20210519_18503552}
\end{center}






En riemannsum er et histogram,
og dersom $f$ er integrerbar,
gÃ¥r histogrammets totale areal mot integralet til $f$ pÃ¥ $[a,b]$ 
nÃ¥r partisjonen blir finere.
Integrerbarhet betyr bare at arealet under grafen er veldefinert;
hvorvidt funksjonen er mulig Ã¥ antiderivere, 
er irrelevant. 
Normalfordelingsfunksjonen $e^{-x^2}$ er integrerbar selv om den ikke har noen pen antiderivert.
En annen funksjon som ikke har noen pen antiderivert er sincfunksjonen.
Denne er veldig veldig viktig i signalbehandling.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function}}

\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{8}
Finn en tilnÃ¦rming til 
\[
\int_0^\pi \text{sinc}(x)\;dx \approx 1.85193705196
\]
ved Ã¥ bruke bÃ¥de riemannsummer og trapesmetoden.
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function}}
Sammenlikne nÃ¸yaktigheten mellom metodene nÃ¥r du bruker samme $h$.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\hspace{1mm}
\includegraphics[scale=.15]{../figurer/L1005985}
\end{minipage}

Hvis du sitter pÃ¥ en Ã¸de Ã¸y og trenger Ã¥ finne arealet under
en kurve til hÃ¸y presisjon med penn og papir,
kan du selvfÃ¸lgelig bruke riemannsummer,
men det finnes andre teknikker.
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration}}
La oss se litt mer pÃ¥ \textbf{interpolasjon}.
Hvis du har $n+1$ punkter $(x_i,y_i)$ i $\mathbb R^2$,
der $x_j\neq x_k$ for alle $j\neq k$,
vil det alltid vÃ¦re mulig Ã¥ finne et polynom
\[
p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0
\]
hvis graf gÃ¥r gjennom alle disse punktene,
altsÃ¥ at
\[
p(x_k)=y_k
\]
for $0\leq k \leq n$.
Disse likningene utgjÃ¸r et $(n+1)\times (n+1)$-likningssystem for
koeffisientene $a_k$:
\[
\begin{amatrix}{5}
x_{0}^{n} &amp; x_{0}^{n-1} &amp; \hdots  &amp; x_{0} &amp; 1 &amp; y_0\\
x_{1}^{n} &amp; x_{1}^{n-1} &amp; \hdots  &amp; x_{1} &amp; 1 &amp; y_1\\
\vdots  &amp; \vdots &amp; \ddots  &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots\\
x_{n}^{n} &amp; x_{n}^{n-1} &amp; \hdots  &amp; x_{n} &amp; 1 &amp; y_{n}\\
\end{amatrix}
\]
kalt \textbf{vandermondesystemet}.
La oss repetere litt fra forrige Ã¸kt.

\begin{oppgave}{9}
Finn koeffisientene til et annengradspolynom som gÃ¥r gjennom punktene
$(1,2)$, $(2,3)$ og $(3,1)$.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/M1001377}
\end{center}


Dersom du skjÃ¸nte hvordan oppgaven over skulle lÃ¸ses,
brukte du likningene $p(1)=2$, $p(2)=3$ og $p(3)=1$
til Ã¥ sette opp vandermondesystemet
\[
\setlength\arraycolsep{1pt}
\begin{array}{rcrcrc@{\;}l}
a   &amp; + &amp;   b   &amp; + &amp;      c  &amp;  =   &amp;  2 \\
4a   &amp; + &amp;  2a   &amp; + &amp;       c   &amp;  =   &amp;  3 \\
9a   &amp;  + &amp;    3b   &amp;  + &amp;   c   &amp;  =   &amp;  1
\end{array}
\]
hvis lÃ¸sning gir oss polynomet
	\[
		p(x) = \frac{1}{2}\left( -3x^2 + 11x  - 4 \right).
	\]
som ser slik ut:
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{../figurer/interpolasjon-1}
\end{center}


Men vi slipper faktisk Ã¥ plages med all denne gaussingen av vandermondesystemet,
for vi kan heller gjÃ¸re som fÃ¸lger.
For hvert punkt $x_{k}$, definerer vi et polynom
\begin{equation}\notag
l_{k}(x)= \prod_{\begin{matrix}
j=0\\
j \neq k
\end{matrix}}^{\begin{matrix}
n
\end{matrix}} \frac{(x-x_{j})}{(x_{k}-x_{j})}.
\end{equation}

\begin{oppgave}{10}
Sjekk at polynomet $l_{k}(x)$ har orden $n$, og at det tilfredsstiller
\begin{equation}\notag
l_{k}(x_{m})= \begin{cases}
      1  &amp; \text{for } m = k \\
      0 &amp; \text{for } m \neq k
    \end{cases}
\end{equation}
\end{oppgave}

Hvis du aksepterer oppgaven over,
er det lett Ã¥ se at
\[
p_n(x)= \sum_{k=0}^ny_{k}l_{k}(x)
\]
tilfredsstiller $p_n(x_k)=y_k$ for alle  $k$.
Polynomene $l_k$ kalles \textbf{lagrangepolynomer},
og alt dette kalles \textbf{Lagranges interpolasjonsmetode}.
Det er ogsÃ¥ ikke veldig vanskelig Ã¥ se at det alltid finnes et
entydig interpolasjonspolynom av maksimal grad $n$
dersom $x_k\neq x_j$ for alle $k\neq j$.
\footnote{
Hvis vi antar at det finnes to forskjellige polynomer $p_n$ og $q_n$ av grad $n$ som interpolerer den samme tabellen, og evaluerer differansen $p_n-q_n$ i punktene $x_{k}$, ser vi at
\begin{equation}\notag
p_n(x_{k})-q_n(x_{k})=0  \qquad 0\leq k \leq n.
\end{equation}
Polynomet $p-q$ har maksimal grad $n$, og kan maksimalt ha $n$ nullpunkter, sÃ¥ derfor mÃ¥ $p=q$.}

\begin{oppgave}{11}
Finn et tredjegradspolyom som gÃ¥r gjennom punktene
$(0,1)$, $(1,0)$, $(2,1)$ og $(3,2)$.
\end{oppgave}

Lagrangepolynomene kan brukes til Ã¥ finne en approksimasjon til
\[
\int_a^b f(x)\; dx.
\]
Vi deler $[a,b]$ i et eller annet
gitter med $a=x_0$ og $b=x_n$,
og skriver
\[
\int_a^b f(x)\; dx \approx \int_a^b p(x)\; dx =  \int_a^b \sum_{k=0}^n f(x_k)  l_k(x)\; dx = \sum_{k=0}^n f(x_k)  \int_a^b l_k(x)\; dx
\]
Integralene
\[
w_k=\int_a^b l_k(x)\; dx
\]
kalles \textbf{vektene} og er trivielle Ã¥ beregne siden $l_k$ er polynomer.
Formelen
\[
\int_a^b f(x)\; dx \approx \sum_{k=0}^n w_k f(x_k)
\]
kalles en \textbf{kvadraturregel}.

\begin{oppgave}{12}
Hvis du tar $n=1$ i formelen over,
fÃ¥r du en metode du allerede kan.
Hvilken?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/img506}
\end{center}


For $n=1$ fÃ¥r man trapesregelen
\[
\int_a^b f(x)\; dx \approx \frac{b-a}{2}\left(f(a)+f(b)\right)
\]
Det finnes mange mange kvadraturregler,
og vi har i bunn og grunn bare en ting Ã¥ variere pÃ¥,
nemlig gitteret.
For hÃ¸yere presisjon kan vi skru opp $n$
og variere pÃ¥ hvordan gitterpunktene er fordelt pÃ¥ $[a,b]$.
NÃ¥r partisjonen er jevn
kalles det \textbf{Newton-Cotes-kvadratur},\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Newtonâ€“Cotes_formulas}}
er gitteret er nullpunktene til chebyshevpolynomene,
fÃ¥r du \textbf{clenshawcurtiskvadratur},\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Clenshawâ€“Curtis_quadrature}}
og dersom det er nullpunktene til legendrepolynomene,
fÃ¥r du \textbf{gausskvadratur}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_quadrature}}
Newton-Cotes for $n=2$ er for eksempel en klassiker og kalles Simpsons metode:
\[
\int_a^b f(x)\; dx \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{b+a}{2}\right)+f(b)\right)
\]
Dette er en veldig populÃ¦r metode,
spesielt pÃ¥ eksamen i et typisk fÃ¸rstesemesteremne i ingeniÃ¸rmatematikk pÃ¥ universitet.
(Jeg bryr meg ikke sÃ¥ mye om den;
det finnes bedre metoder.)

\begin{oppgave}{13}
Utled Simpsons metode ved Ã¥ finne lagrangepolynomene til gitteret
    \[
        \left\{ a, \frac{a+b}{2}, b \right\}
    \]
    og integrere dem.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
Finn en integrasjonsrutine og beregn
\[
\int_0^1 e^{-x^2/2}\; dx
\]
til hÃ¸yest mulig presisjon.
Alt er lov.
Fordelen med Ã¥ gjÃ¸re det i et ordentlig sprÃ¥k som C++,
FORTRAN eller RUST,
er at for-lÃ¸kker gÃ¥r kjapt.
RUST har til og med innebygget funksjonalitet for parallellisering.
\end{oppgave}



\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1002568}
\end{center}

Vi har tidligere studert numeriske metoder for Ã¥ lÃ¸se differensiallikninger. 
Hvis man skjÃ¸nner metodene for numerisk integrasjon,
kan man lÃ¦re seg en enkel tommelfingerregel:\\
\textbf{For en hver numerisk integrasjonsrutine finnes det en korresponderende metode for Ã¥ lÃ¸se ordinÃ¦re differensiallikninger.}\\
Trikset for Ã¥ skjÃ¸nne dette er enkelt.
La oss si vi Ã¸nsker Ã¥ lÃ¸se initialverdiproblemet
\[
    \dot x = f\left( x \right) \hspace{10mm} x(0) = 0
\]
pÃ¥ intervallet $[0,T]$.
Vi deler tidsintervallet inn i en partisjon med $n$ punkter
\[
    t_k = kh \hspace{10mm} 0\leq k \leq n
\]
der $h=T/n$,
og integrerer den ulÃ¸selige differensiallikningen
fra et gitterpunkt til neste:
\[
    x\left( t_{k+1} \right) - x\left( t_k \right) = \int_{t_k}^{t_{k+1}} f\left( x\left( t \right) \right) \; dt
\]
Hvis vi setter inn en enkelt rektangulÃ¦r riemannboks eller trapesmetoden for integralet pÃ¥ hÃ¸yresiden,
og sÃ¥ setter inn approksimasjonen $x_k \approx x\left( t_k \right)$ overalt,
fÃ¥r vi nÃ¥ fire metoder pÃ¥ rappen:
\begin{align*}
    \text{Eksplisitt Euler:} \hspace{10mm} &amp;x_{k+1} = x_k + hf\left( x_k \right) \\[3mm]
    \text{Implisitt Euler:} \hspace{10mm} &amp;x_{k+1} = x_k + hf\left( x_{k+1} \right) \\[3mm]
    \text{Midtpunktmetoden:} \hspace{10mm} &amp;x_{k+1} = x_k + hf\left( \frac{x_k + x_{k+1}}{2} \right) \\[3mm]
    \text{Trapesetoden:} \hspace{10mm} &amp;x_{k+1} = x_k + \frac{h}{2}\left( f\left( x_k \right) + f\left( x_{k+1} \right) \right)
\end{align*}

Jeg kunne bedt deg om Ã¥ fundere pÃ¥ hvilken som korresponderte til hvilken,
    men de avslÃ¸res jo av navnene.
Hvis du setter eksplisitt euler inn for $x_{k+1}$ pÃ¥ hÃ¸yresiden i trapesmetoden,
fÃ¥r du noe som kalles
\[
    \text{Heuns metode:} \hspace{10mm} x_{k+1} = x_k + \frac{h}{2}\left( f\left( x_k \right) + f\left( x_k + hf\left( x_k \right) \right) \right)
\]
Det samme kan gjÃ¸res med midtpunktmetoden;
da fÃ¥r du noe som kalles den eksplisitte midtpunktmetoden.
Det finnes faktisk en uendelig stor klasse av forskjellige metoder,
kalt \textbf{rungekuttametoder},
som alle er variasjoner og generaliseringer av disse metodene.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rungeâ€“Kutta_methods}}
Bruker du Simpsons metode pÃ¥ integralet pÃ¥ hÃ¸yre side og setter inn noen
approksimasjoner slik som dem som gir Heuns metode fra trapesmetoden,
fÃ¥r du den kjente RK4.
NÃ¥ kan du teste disse metodene pÃ¥

\begin{minipage}{70mm}
    \begin{oppgave}{15}
    Ecoliproblemet: $\dot x = x$     \hspace{3mm} $x(0) = 1$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
    \begin{oppgave}{16}
Fallskjermproblemet: $\dot v = 1-v^2$     \hspace{3mm} $v(0) = 0$
\end{oppgave}
\end{minipage}

og sammenlikne med analytisk lÃ¸sning. 
Trenger du hjelp med Ã¥ komme igang,
finner du kode her:\\
\url{https://folk.ntnu.no/mortano/fallskjerm/}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/L1018575}
\end{center}

Vi kan jo ta en til nÃ¥r vi fÃ¸rst er igang.

\begin{oppgave}{17}
LÃ¸s Newtons avkjÃ¸lingsproblem
\[
\dot{T}+T-2=0 \hspace{20mm} T(0)=\frac{1}{10}
\]
med Eulers ekspisitte metode
\[
T_{n+1}=T_n+h(2-T_n)
\]
og med trapesmetoden
\[
T_{n+1}=T_n+\frac{h}{2}(2-T_n+2-T_{n+1})
\]
og plott begge i samme plott som den analytiske lÃ¸sningen
\[
T(t)=2-\frac{19}{10}e^{-t}.
\]
Bruk et litt grovt tidssteg,
for eksempel $h=0.1$.
Kan du forklare hvorfor trapesmetoden approksimerer
den analytiske lÃ¸sningen mye bedre enn Eulers eksplisitte metode?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/img218}
\end{center}

\clearpage

Viggo Brun
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Viggo_Brun}} skal ha sagt:
\say{Derivasjon er et hÃ¥ndverk, integrasjon er en kunst!}

Det han mente Ã¥ si,
var nok at derivasjon er ganske lett (det er bare Ã¥ bruke noen regneregler),
mens antiderivasjon kan vÃ¦re ganske vanskelig.
Man kan bruke et liv pÃ¥ Ã¥ trene pÃ¥ antiderivasjon.
Et tilforlatelig funksjonsuttrykk kan vÃ¦re enten lett eller vanskelig eller fullstendig hÃ¥plÃ¸st Ã¥ antiderivere,
og det er ofte umulig Ã¥ avgjÃ¸re hvilken av disse som er tilfellet fÃ¸r man har prÃ¸vd.
Kanskje er det til og med lett,
men man kan ikke akkurat det trikset som mÃ¥ brukes;
jeg har opplevd Ã¥ gjÃ¸re et integral sÃ¥ mange ganger i forelesning at jeg kan det i sÃ¸vne,
for sÃ¥ Ã¥ ikke ha noen erindringer overhodet om hva trikset er bare noen fÃ¥ Ã¥r senere.

Men hvis du kombinerer alt du har lÃ¦rt denne uken med antiderivasjonsreglene du lÃ¦rte pÃ¥ skolen,
har du en grei verktÃ¸ykasse Ã¥ jobbe med om du mÃ¥ beregne kompliserte arealer.
NÃ¥ skal vi se pÃ¥ hva disse arealene kan tolkes som.
Integralet dukker opp overalt i anvendelser,
og det er ofte mye lettere Ã¥ forstÃ¥ anvendelsene om man forstÃ¥r integralet.\\
\textbf{Integrals hemmelighet avslÃ¸res ved Ã¥ se pÃ¥ benevningen i
den avhengige og uavhengige variabelen,
gange dem sammen og se hva man fÃ¥r.}

For Ã¥ forstÃ¥ dette er det nok lurest Ã¥ dra gjennom masse eksempler.
La oss begynne med noe du allerede kan fra gymnaset.
Volumet av omdreiningslegemet som fremkommer ved Ã¥ dreie
 $f:[a,b]\to \mathbb R$ gitt ved $f(x)$ en gang om $x$-aksen,
er gitt ved
    \[
   \pi \int_a^b f^2(x)  \; dx.
    \]
Dette er fordi $g(x) = \pi f^2(x)$ er en funksjon som gir
arealet av et tverrsnitt.
NÃ¥r vi integrerer $g$,
tolkes \textit{hÃ¸yden i riemannhistogrammet som et areal},
og nÃ¥r vi sÃ¥ ganger med basen til histogrammet (som tolkes som lengde),
blir resultatet et volum.

\begin{oppgave}{18}
Drei litt pÃ¥ en bit av sinuskurven,
for eksempel mellom to av nullpunktene,
og finn volumet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
Vis at volumet til en kule med radius $r$ er $\frac{4\pi}{3}r^3$.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1003292}
\end{center}

\clearpage

Arbeid er en annen klassiker.
I fysikken pÃ¥ skolen lÃ¦rte du antagelig at arbeid er lik kraft ganger vei.
Men i skolefysikk gjerne kraften konstant,
slik at du kan gange kraft med vei og fÃ¥ arbeidet.
I det virkelige liv endrer kraften seg hele tiden,
og da mÃ¥ vi selvfÃ¸lgelig integrere:
\[
    \text{arbeid} = \int F dx
\]
Jeg anbefaler en titt her:
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_13.html}

\begin{oppgave}{20-1}
Institutt for fysikk har mÃ¥lt tyngdeakselerasjonen $g \approx 9.8214675$ i kjelleren pÃ¥ realfagsbygget.
Du hopper fra femmeteren pÃ¥ pirbadet. Hvor stort arbeid gjÃ¸r tyngden pÃ¥ deg frem til du treffer vannspeilet?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{20-2}
Newtons gravitasjonslov sier at gravitasjonskraften pÃ¥ deg er
    \[
        F(r) = \frac{Gm_1m_2}{r^2}
    \]
    der $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} Nm^2/kg^2$  er den universelle gravitasjonskonstanten,
    $m_1$ er jordens masse, og $m_2$ er din masse,
    og $r$ din avstand fra jordens sentrum.
    Alan Eustace \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Space_diving}}
hoppet i 2014 i fallskjerm fra en hÃ¸yde pÃ¥ nesten 42 km.
    Hvor stort arbeid gjorde tyngden pÃ¥ ham?\\
(Du kan for Ã¸vrig se video av Felix Baumgartners 2012-rekord fra 39 km pÃ¥ youtube.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{20-3}
Hva er tyngdeakselerasjonen 42 km opp? 
Hvor stor relativ feil gjÃ¸r du i forrige oppgave dersom du antar  $g \approx 9.8214675$ hele
veien fra 42 km oppe og ned til bakken?\\
(Relativ feil er feilen delt pÃ¥ stÃ¸rrelsen det er snakk om. 
Relativ feil er viktig;
hvis du mÃ¥ler avstanden bort til sidemannen og bommer med en meter, 
er det en ganske dÃ¥rlig mÃ¥ling,
men hvis du mÃ¥ler avstanden til mÃ¥nen og bommer med en meter, 
er det ganske bra.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{21}
    Et beholder med et stempel inneholder en ideel gass.
    Vi tilfÃ¸rer varme,
	men lar gassen ekspandere slik at temperaturen holdes konstant.
    Hva er arbeidet stempelet gjÃ¸r pÃ¥ omgivelsene nÃ¥r volumet gÃ¥r fra $V_1$ til $V_2$?
\end{oppgave}


\includegraphics[scale=.3]{../figurer/stempel}

\clearpage

Hvis basen i riemannsumhistogrammet er et tidsintervall pÃ¥ $t$-aksen, 
og $i(t)$ strÃ¸mstyrke som funksjon av tiden. 
blir histogramhÃ¸yden litt ladning,
og 
\[
\int_a^b i(t)\; dt
\]
total ladning mellom tidspunktene $t=a$ og $t=b$.
La oss si at spenningskilden i kretsen har stÃ¥tt pÃ¥ en god stund slik at kondensatoren blir ladet opp, 
og sÃ¥ blir spenningskilden slÃ¥tt av ved $t=0$ slik at $i(0)=1$. 

\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v$] (0,1);
		\draw (0,3) to (2,3) to [C=1$F$] (4,3) to  (6,3) to [R=1$\Omega$] (6,1) to (0,1);
%		\draw (2,3) to (2,1);
	\end{circuitikz}	
\end{center}

\begin{oppgave}{22}
Hvor mye ladning har passert gjennom motstanden nÃ¥r kondensatoren er utladet?
\end{oppgave}


Den siste oppgaven introduserer
noe som kalles \textbf{uegentlige integraler}.
Dette er integraler der den ene integrasjonsgrensen er $\infty$
eller integraler der integranden blÃ¥ser opp et eller annet sted i integrasjonsomrÃ¥det,
for eksempel
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\dee x = 1
\hspace{10mm}
\text{eller}
\hspace{10mm}
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} = 2
\]
Her seks klassikere:


\begin{minipage}{50mm}
    \begin{oppgave}{23}
                $\displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{x} \; dx$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
    \begin{oppgave}{24}
        $\displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \; dx$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
    \begin{oppgave}{25}
        $\displaystyle         \int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} \; dx$
    \end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{minipage}{50mm}
    \begin{oppgave}{26}
        $\displaystyle         \int_0^1 \frac{1}{x} \; dx$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
    \begin{oppgave}{27}
        $\displaystyle         \int_0^1 \frac{1}{x^2} \; dx$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
    \begin{oppgave}{28}
                $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \; dx$
    \end{oppgave}
\end{minipage}

Hvis du dreier $f: [1,\infty) \to \mathbb{R}$ gitt ved $f(x)=1/x$ om $x$-aksen, 
fÃ¥r du \say{Gabriels trompet}.

\begin{oppgave}{29}
    Finn volumet til Gabriels trompet.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1004765}
\end{center}


\clearpage

Den siste anvendelsen vi skal ta er litt mer subtil,
nemlig buelengde.
Lengden av grafen til $f$ fra $(a,f(a))$ til $\left(b,f(b)\right)$ er
    \[
    \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx.
    \]
Dette er subtilt fordi integranden $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ er en benevningslÃ¸s faktor
som angir forholdet mellom lengde pÃ¥ en bitteliten bit av $x$-aksen og en bitteliten bit av kurven
(dersom bÃ¥de $x$ og $f(x)$ mÃ¥les i meter).
Kurvelengdekonseptet blir veldig viktig om et Ã¥rs tid
nÃ¥r vi skal lÃ¦re om integrasjon av funksjoner av flere variable,
men la oss venne oss til det allerede nÃ¥.

\begin{oppgave}{30}
Finn buelengden til $y=x^{3/2}$ fra $x=0$ til $x=1$.\\
(Denne gÃ¥r med et nÃ¸dskrik med penn og papir.)
\end{oppgave}

Likningen for en sirkel er
\[
x^2+y^2=r^2
\quad
\text{eller}
\quad
\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1
\]
om du vil.
En generalisering av denne er likningen for en ellipse:
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\]
Punktene som passer i denne likningen ligger pÃ¥ en ellipse som er sentrert i origo og har halvakser $a$ og $b$.
Planetene gÃ¥r stort sett rundt solen i ellipsebaner.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse}}

\begin{oppgave}{31}
Finn omkretsen av en ellipse med halvakser 1 og 2. \\
(Denne gÃ¥r ikke med penn og papir.
PrÃ¸v bÃ¥de riemannsummer og trapesmetoden.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{32}
Finn lengden av en periode av sinuskurven.
(Dette integralet kan heller ikke beregnes analytisk.)
\end{oppgave}

Kombinerer du buelengdeformelen med omdreiningslegeme,
fÃ¥r du formelen for overflatearealet til et legeme
som er fremkommet ved Ã¥ dreie $f&gt;0$ om $x$-aksen:
\[
    \text{overflateareal} = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx
\]

\begin{oppgave}{33}
    Finn overflatearealet til Gabriels trompet.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/M1005141}
\end{center}

Helt pÃ¥ tampen tror jeg vi tar en lavthengende frukt,
nemlig dobbeltintegraler.
Grunnen er at dette kommer ganske tidlig i TMA4245 etter juleferien,
og det er ikke sÃ¥ vanskelig,
men kan vÃ¦re greit Ã¥ ha sett.
Fra Ã¸kten i uke 35 vet du at du skal tenke pÃ¥ grafen til $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ som
taket i et hus med grunnflate gitt ved $\Omega \in \mathbb R^2$.
Integralet
\[
\iint_\Omega f
\]
kan du tenke pÃ¥ som volumet av huset.
Dersom $\Omega$ er et rektangel er ikke dette vanskelig Ã¥ utfÃ¸re,
og har du skjÃ¸nt omdreiningslegemer,
bÃ¸r det gÃ¥r greit Ã¥ skjÃ¸nne oppskriften.
La oss finne volumet under $f(x,y) = xy$,
der $\Omega$ er rektangelet avgrenset av $0 \leq x \leq1$ og $0 \leq y \leq2$.
Vi uttrykker vÃ¥re fÃ¸lelser for $\Omega$ ved Ã¥ skrive
\[
\Omega=[0,1] \times [0,2]
\]
som kalles et \textbf{kartesisk produkt},
og integralet blir

\begin{equation*}
\iint_\Omega f
=\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}xy \; dxdy
=\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}xy \; dx\right)dy.
\end{equation*}

Dette kalles et \textbf{iterert integral},
for det er et integral inni et annet integral.

FÃ¸rst tar vi det innerste integralet.
Det er med hensyn pÃ¥ $x$,
fordi $dx$ stÃ¥r innerst.
Vi gÃ¥r fremad med samme taktikk som ved partiellderivasjon;
man integrerer med hensyn pÃ¥ $x$,
og later som om $y$ er en konstant:

\begin{equation*}
\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}xy \; dx\right)dy=
\int_{0}^{2}\left[ \frac{1}{2}x^{2}y \;\right]_{x=0}^{x=1} dy=
\int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2}\cdot 1^{2}\cdot y - \frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cdot y\; \right) dy=
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y \; dy
\end{equation*}

Tolkningen av det innerste integralet er nÃ¥ i samme gate som integranden i omdreiningslegemer;
vi har regnet ut arealet av et tverrsnitt.
Tenk at du for hver $y$-verdi har saget volumet i to med en motorsag,
parallelt  med $x$-aksen.
Funksjonen
\[
\int_{0}^{1}xy \; dx = \frac{1}{2}y,
\]
altsÃ¥ det innerste integralet,
gir  arealet av dette tverrsnittet.
Hvis du skjÃ¸nte omdreiningslegemer i R2,
skjÃ¸nte du forhÃ¥pentligvis at dersom man har en funksjon som beskriver
arealet av tverrsnittet av et volum,
finner man det totale volumet ved Ã¥ integrere tverrsnittsfunksjonen:

\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y \; dy=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}y^{2}\; \right]_{y=0}^{y=2}=1
\end{equation*}


PrÃ¸v selv nÃ¥. Beregn

\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{34}
$
\hspace{3mm}\displaystyle  \int_{0}^1\int_0^3 x + 2y \dee x \dee y
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{35}
$
\hspace{3mm}\displaystyle  \int_{0}^3\int_0^1 x + 2y \dee x \dee y
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{36}
$
\hspace{3mm}\displaystyle  \int_{0}^1\int_0^1 2+\frac{xy}{10} \dee x \dee y
$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\clearpage

\begin{comment}

\section*{UKENS KJEMI}

En klassisk anvendelse av sannsynlighetsfordelinger er i kvantemekanikk.
\url{https://folk.ntnu.no/vegargje/Mattepilot_MTKJ/matte1_kjemi.pdf}

\begin{minipage}{13cm}
NÃ¥r man jobber med den kvantemekaniske harmoniske oscillatoren:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator}\\
stÃ¸ter man pÃ¥ en situasjon der man mÃ¥ finne arealet under kurven $y=e^{-ax^2}$ og utenfor $y=bx^2$, 
der $a&gt;0$ og $b&gt;0$ er konstanter.
\end{minipage} 
\begin{minipage}{4cm}
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]
      \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
%\filldraw[orange, thick] (0,0) -- (.2,.01) -- (.5,.06) -- (.7,.16) -- (1,.3) -- (1.5,.71) -- (2,1.3)  -- (2,0) -- cycle;
          \draw[-&gt;] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$x$};
         \draw[-&gt;] (0,0) -- (0,1.5);% node[above]{$t$};
\draw[scale=1,domain=-1.3:1.3,smooth,variable=\x,black,thick] 
plot ({\x},{1-(\x*\x)+.5*(\x*\x*\x*\x)-0.16666666666666666*(\x*\x*\x*\x*\x*\x)+0.0416666666666666666*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x)
-0.008333333333333333*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x
+0.001388888888888889*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x)});
      \draw[scale=1,domain=-1.3:1.3,smooth,variable=\x,black,thick] plot ({\x},{(\x*\x)});
       \end{scope}
    \end{tikzpicture}
 \end{center}
\end{minipage} 

\begin{oppgave}{1}
Finn skjÃ¦ringspunktene mellom de to kurvene.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Lag en funksjon som tar inn $a$ og $b$, 
og beregner en tilnÃ¦rming til arealet.\\
(Dette er omtrent det samme som Ã¥ finne arealet under normalfordelingskurven. 
Her mÃ¥ du vite at  
\[
\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} \; dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}},
\]
men hvordan man ser dette mÃ¥ vi vente med til et senere semester.)
\end{oppgave}

Vegard har ogsÃ¥ laget en oppgave om integralet og SchrÃ¶dingerlikningen, 
se oppgave 4.1 her:\\
\url{https://folk.ntnu.no/vegargje/Mattepilot_MTKJ/martaoppgaver.pdf}

\section*{UKENS ELEKTROTEKNIKK}


Kretsen under er en dÃ¥rlig frekvensfordobler.

\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v(t)$] (0,1);
		\draw (0,3) to [D ] (2,3) to [C] (4,3) to [cute inductor] (6,3) to [R] (6,1) to (0,1);
	\end{circuitikz}	
\end{center}

\begin{oppgave}{1}
Anta at $i(0)=1$ etter at spenningskilden er slÃ¥tt av. 
Hvor mye ladning har passert gjennom motstanden nÃ¥r kondensatoren er utladet?
\end{oppgave}


\section*{UKENS REGULERING}

\url{https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0021999113000041?via%3Dihub}

\clearpage

\section*{UKENS REPETISJON FRA R2}

Antiderivasjon er kanskje integralets minst viktige aspekt,
men la oss allikevel repetere litt fra videregÃ¥ende skole bare for Ã¥ bli varme i trÃ¸yen.
Der trener man pÃ¥ de vanligste antiderivasjonstriksene til man blir grÃ¸nn i fjeset.
FÃ¸rst noen arealklassikere som Arkimedes fant ut av allerede 250 BC.

\begin{oppgave}{1}
Finn arealet avgrenset av $y=x^2$, $y=0$ og $x=1$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Finn arealet avgrenset av $y=x^2$, $y=1$ og $x=0$.
\end{oppgave}

Andre klassikere er de der man bare mÃ¥ skrive om integranden litt. 
Regn ut

\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{3}
$
\displaystyle 
    \quad \int_0^{1} \sqrt{x^2+4x+4} \dee x 
$\\
  (Hint: faktoriser polynomet.)
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{4}
$
\displaystyle 
    \quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + \cos x} \dee x 
$ \\
(Hint: $\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta -1.$)
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{5}
Funksjonene $y=\sin^2(x)$ og $y=1$ avgrenser et uendelig antall noe avrundede pizzastykker. Finn arealet av et av disse.   
\end{oppgave}



Et annet klassisk triks, 
er kjerneregelen. 
Den er egentlig bare kjerneregelen for derivasjon i retur. 
Vi ser for eksempel at
\[
\int 3xe^{-x^2}\; dx=3\int xe^{-x^2}\; dx=-\frac{3}{2} \int -2xe^{-x^2}\; dx = -\frac{3}{2} e^{-x^2}+C
\]
Hvis integranden blir komplisert, 
kan det vÃ¦re lurt Ã¥ utfÃ¸re dette trikset som en variabelsubstitusjon,
men dette blir fort en uforstÃ¥elig oppskrift 
(det var det ihvertfall for meg da jeg gikk pÃ¥ skolen) 
om man ikke skjÃ¸nner at det er kjerneregelen som ligger i bÃ¥nn for alt:
\[
\int 3xe^{-x^2}\; dx=-\frac{3}{2}\int e^{u}\; du=-\frac{3}{2} e^{u}+C = -\frac{3}{2} e^{-x^2}+C
\]
Regn ut

\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{6}
$
\displaystyle 
     \quad \int\frac{\sin\left( x \right)}{1+\cos\left( x
      \right)} \dee x
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{7}
$
\displaystyle 
\int e^x \sqrt{1+e^x}\; dx
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{8}
$
\displaystyle 
\int xe^{x^2}\; dx
$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{9}
Finn arealet begrenset av $y=x/(x^2+16)$, $y=0$, $x=0$ og $x=2$. \\[-6pt]
\end{oppgave}




Du husker kanskje formelen for delvis integrasjon:
\[
\int fg'=fg-\int f'g
\]

\begin{oppgave}{10}
Finn 
$
\displaystyle \int e^x\cos x \; dx
$
med delvis integrasjon. Hvis du husker Eulers formel blir den enda lettere.
\end{oppgave}

\end{comment}

\clearpage

\section*{UKENS NÃ˜TTER}


Du kan ogsÃ¥ lÃ¸se andreordens likninger med den generiske strategien for Ã¥ lÃ¸se differensiallikninger,
men det er litt mer jobb.
Jeg illustrerer med et eksempel,
la oss ta
\[
    \ddot x + 2\dot x + x = 0.
\]
Det karakteristiske polynomet $\lambda^2 + 2\lambda + 1$
har en dobbel rot $\lambda = 1$,
og den korrekte herjingen er Ã¥ gange med $e^{t}$:
\[
    e^{t}\left( \ddot x + 2\dot x + x \right) = 0
\]
og observere at
likningen nÃ¥ kan skrives
\[
    \frac{d^2}{dt^2}\left( e^{t}x(t) \right) = 0.
\]
Denne er bare Ã¥ integrere to ganger,
slik at vi fÃ¥r
\[
e^{t}x(t) = c_{1}t + c_2
\]
eller
\[
x(t) =e^{-t}\left(  c_{1}t + c_2 \right),
\]
som er korrekt lÃ¸sning.
NÃ¥ brukte jeg det ubestemte integralet for Ã¥ spare litt griseri.

\begin{oppgave}{0}
    PrÃ¸v Ã¥ etterape trikset over til Ã¥ hoste opp lÃ¸sningen til
    \[
        \ddot x + b\dot x + cx = 0
    \]
    der $\lambda_1 \neq \lambda_2$.
    Det er litt mer herk,
    du mÃ¥ faktorisere likningen slik:
\[
    \left( \frac{d}{dt} - \lambda_1  \right)\left( \frac{d}{dt} - \lambda_2  \right)x = 0
\]
    og sÃ¥ bruke fÃ¸rsteordenstrikset to ganger,
    fÃ¸rst pÃ¥
    \[
        \left( \frac{d}{dt} - \lambda_1  \right)y(t) = 0
        \hspace{10mm}
        \text{der}
        \hspace{10mm}
        y(t) =  \left( \frac{d}{dt} - \lambda_2  \right)x(t)
    \]
    og sÃ¥ pÃ¥ nytt pÃ¥ likningen for $y$.
\end{oppgave}

LÃ¸sningsformelen
\[
    x(t) = e^{-at}\left( x_0 + \int_0^t e^{au} g(u)\; du \right)
\]
til
\[
    \dot x(t) + ax(t) = g(t) \hspace{10mm} x(0)=x_0
\]
kan generaliseres til en formel for problemet
\[
    \dot x(t) + a(t)x(t) = g(t) \hspace{10mm} x(0)=x_0
\]
altsÃ¥ for $a$ som ikke er konstante.
Dette kalles \textbf{integrerende faktor} i Arnes bok.

\begin{oppgave}{1}
PrÃ¸v.
\end{oppgave}

\clearpage

Her er noen integralklassikere.

\begin{oppgave}{2}
Utled formelen
\[
2\pi \int_a^b xf(x) \; dx
\]
    for volumet som fremkommer ved Ã¥ dreie $f$ om $y$-aksen. \\
(Dette kalles \textbf{sylinderskallmetoden}. Hvorfor?)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{3}
Et eksempel pÃ¥ en funksjon som faktisk ikke er integrerbar, 
er 
\[
f(x)=\begin{cases} 1 \quad \text{rasjonale}\; x \\ 0 \quad \text{irrasjonale}\; x \end{cases}
\]
Forklar hvorfor.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{4}
Vis at arealet til en ellipse med halvakser $a$ og $b$ er $\pi ab$.\\
(Denne gÃ¥r an med penn og papir.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Hva med $(1+x^2)^{1/3}$ da,
klarer du Ã¥ antiderivere den?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{6}
Regn ut det ubestemte integralet 
\[
\int \frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}\; dx.
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{7}
Du kan prÃ¸ve Ã¥ integrere Planckfordelingen:
\[
\int_0^\infty \frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{d\lambda}{e^{hc/\lambda k T}-1}=\frac{2\pi^5k^4}{15c^2h^3}T^4
\]
men da skal du nok fÃ¥ svette ganske bra.
\end{oppgave}

\clearpage

\section*{LÃ˜SNINGSFORSLAG}

\begin{oppgave}{-4}

Det blir det samme.
Steg 1 er Ã¥ gange med $e^{at}$:
\[
   e^{at}\left(  \dot x(t) + ax(t) \right) = e^{at}x(t)
\]
og sÃ¥ observere at
\[
   e^{at}\left(  \dot x + ax \right) = \frac{d}{dt} \left( e^{at} x\right)
\]
slik at vi fÃ¥r
\[
   \frac{d}{dt} \left( e^{at} x\right) = e^{at}x(t).
\]
SÃ¥ bruker vi analysens fundamentalteorem
med $f(t) = e^{at}x(t)$,
$a=0$ og $b=t$,
og fÃ¥r
\[
    e^{at}x(t) - x(0) = \int_0^t e^{au}x(u)\; du,
\]
som sammen med $x(0)=x_0$ gir
\[
    x(t) = x_{0}e^{-at} + e^{-at}\int_0^t e^{au}x(u)\; du.
\]
Her er to fysiske situasjoner som gir opphav til denne differensiallikningen:

\begin{minipage}{75mm}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/rc-krets-4}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\includegraphics[scale=.37]{../figurer/blandetank-1}
\end{minipage}

Du kan tenke pÃ¥ $x(t)$ som spenningen over kondensatoren nÃ¥r spenningskilden er $g(t)$,
eller som konsentrasjonen ut av en perfekt blandetank nÃ¥r konsentrasjonen inn er gitt ved $g(t)$.
(Tenk at $g$ styres av en mann i et kontrollrom,
og sÃ¥ vil du beregne hva slags konsentrasjon $x$ som kommer ut av tanken.
Hvis $g = 0$ er det rent vann som kommer inn.)
\end{oppgave}

De tre neste oppgavene regna jeg feil pÃ¥ mange ganger selv,
og fikk mye kjeft av Even.
Som belÃ¸nning skal han fÃ¥ lÃ¸sningene sine pÃ¥ trykk.

\includegraphics[scale=.6]{../figurer/even-1}

\includegraphics[scale=.6]{../figurer/even-2}

\includegraphics[scale=.6]{../figurer/even-3}

\clearpage



\begin{oppgave}{2}
    Poenget med dette er at $e^{-x^2}$ ikke kan antideriveres slik du er vant til.
    Litt som med dottieproblemet $x = \cos x$ eller pendellikningen $\ddot q + \sin q = 0$,
    mÃ¥ vi ty til andre teknikker.
    Hvis du vil lese dette i en mer pÃ¥litelig kilde enn meg,
    kan du lese kap. 3.6 i Arnes bok. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{4}
    De Ã¸verste er nedre og Ã¸vre,
    mens de nederste er venstre og hÃ¸yre.
    Beklager om du er blant de femten prosentene som lider av LFC.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Left-right_confusion}}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
    I denne mappen:\\
    \url{https://folk.ntnu.no/mortano/normalfordelingen/}\\
    finner du litt forskjellig.

    Trapesmetoden er implementert pÃ¥ to forskjellige mÃ¥ter i trapes.py,
    slik at du kan se med egne Ã¸yne hvor inni hampen ineffektivt det er Ã¥ kjÃ¸re for-lÃ¸kker i python.
    (Koden regner ut arealet mellom $\mu$ og $b$ standardavvik over $\mu$.
    Siden normalfordelingen er speilingssymmetrisk om aksen $x=\mu$,
    er dette i bunn og grunn alt man trenger.)

    Det finnes ogsÃ¥ rustkode for trapesmetoden.
    Med denne kan fÃ¥ se med egne Ã¸yne at i et \say{ordentlig} spÃ¥k
    (altsÃ¥ et sprÃ¥k som er skrevet for tallknusing heller enn brukervennlighet),
    er det gjerne motsatt;
    for-lÃ¸kker er helt sykt kjapt.
    Nyt ogsÃ¥ hvor lett det er Ã¥ parallellisere i rust.
    (Takk til Gudbrand.)

    I mappen finnes ogsÃ¥ et par andre koder basert pÃ¥ mer avanserte strategier for Ã¥ beregne arealet under grafen numerisk.
    Dette kommer vi tilbake til.

    Jeg har ikke implementert midtpunktmetoden eller riemannsummer,
    men jeg lover at bÃ¥de midtpunkt- og trapesmetoden kommer til Ã¥ gi mer nÃ¸yaktige svar enn riemannsummene.
    Dette bÃ¸r vÃ¦re klart om du tegner opp.
    FÃ¸lgende figur sammenlikner trapesmetoden (hÃ¸yre) og venstre riemannsum (venstre):
    \begin{center}
    \includegraphics[scale=.5]{../figurer/trapesmetoden-1}
    \end{center}
    Du klarer sikkert Ã¥ lage en tilsvarende figur for midtpunktmetoden.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
    Denne heter ogsÃ¥ oppgave 8 fordi det er den samme oppgaven som oppgave 8.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
    Denne gjorde jeg i forelesning.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
    Symbolet $\Pi$ (store pi) betyr produkt,
    og funker pÃ¥ samme mÃ¥te som $\Sigma$ bare med produkt istedet for sum.
    Hvis du synes det er uvant og tenke pÃ¥ dette symbolet,
    viste jeg et eksplisitt eksempel pÃ¥ konstruksjon av lagrangefunksjoner i forelesning.
    Det er ikke sÃ¥ vanskelig som det ser ut.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
    Dette er altsÃ¥ bare Ã¥ skrive opp:
    \begin{align*}
        p(x) =&amp; 1\cdot l_0(x) + 0 \cdot l_1(x) + 1 \cdot l_2(x) + 2\cdot l_3(x) \\[2mm]
        =&amp;\hspace{1mm} 1\cdot \frac{x-1}{0-1}\cdot \frac{x-2}{0-2}\cdot \frac{x-2}{0-3} \\[2mm]
        +&amp;\hspace{1mm}0\cdot \frac{x-0}{1-0}\cdot \frac{x-2}{1-2}\cdot \frac{x-3}{1-3} \\[2mm]
        +&amp;\hspace{1mm}1\cdot \frac{x-0}{2-0}\cdot \frac{x-1}{2-1}\cdot \frac{x-3}{2-3} \\[2mm]
        +&amp;\hspace{1mm}2\cdot \frac{x-0}{3-0}\cdot \frac{x-1}{3-1}\cdot \frac{x-2}{3-2}
    \end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
    Hvis du ser nÃ¸ye pÃ¥ en figur av trapesmetoden (for eksempel i lf til oppgave 8)
    samt skjÃ¸nner hva interpolasjon handler om,
    vil du se at trapesmetoden er konstruert ved Ã¥ interpolere med
    et fÃ¸rste ordens polynom pÃ¥ hvert delintervall.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{13}
    Her er det bare Ã¥ brette opp ermene.
    Interpolasjonspolynomet er
    \begin{align*}
        p(x)
        =&amp;\hspace{1mm} f(a)\cdot \frac{x-\frac{a+b}{2}}{a-\frac{a+b}{2}}\cdot \frac{x-b}{a-b} \\[2mm]
        +&amp;\hspace{1mm} f\left( \frac{a+b}{2} \right)\cdot \frac{x-a}{\frac{a+b}{2}-a}\cdot \frac{x-b}{\frac{a+b}{2}-b} \\[2mm]
        +&amp;\hspace{1mm} f(b)\cdot \frac{x-\frac{a+b}{2}}{b-\frac{a+b}{2}} \cdot \frac{x-b}{b-a}
    \end{align*}
    Ã… beregne integralene ser kjedelig ut,
    men litt smart bruk av produktregelen gjÃ¸r alt mye enklere.
    Vi beregner
    \begin{align*}
        \int_a^b \left( x-\frac{a+b}{2} \right) \left( x-b \right) \; dx =&amp; \frac{1}{2}\left( x-\frac{a+b}{2} \right) \left( x-b \right)^2 \biggr \rvert_a^b - \frac{1}{2}\int_a^b \left( x-b \right)^2\\[2mm]
        =&amp;-\frac{1}{2}\left( a-\frac{a+b}{2} \right)(a-b)^2-\frac{1}{6}\left( b-a \right)^3 \\[2mm]
        =&amp;\frac{1}{4}(b-a)^3-\frac{1}{6}\left( b-a \right)^3 = \frac{1}{12}(b-a)^3
    \end{align*}
    og
    \begin{align*}
        \int_a^b\left( x-a \right) \left( x-b \right) \; dx  =&amp; \frac{1}{2}\left( x-a \right) \left( x-b \right)^2 \biggr \rvert_a^b - \frac{1}{2}\int_a^b \left( x-b \right)^2 \; dx\\
        =&amp;-\frac{1}{6}\left( b-a \right)^3.
    \end{align*}
    Den observante student vil nÃ¥ innse at
    \begin{align*}
        \int_a^b \left( x-a \right) \left( x-\frac{a+b}{2} \right)  \; dx =&amp; \int_a^b \left( x-\frac{a+b}{2} \right) \left( x-b \right) \; dx \\[2mm]
        =&amp;\frac{1}{12}(b-a)^3
    \end{align*}
    siden $\frac{a+b}{2}$ ligger midt mellom $a$ og $b$
    og de to integrandene er symmetriske om dette punktet.
    (Men regn det ut om du ikke tror meg;
    beregningen blir omtrent den samme.
    Jeg beregna fÃ¸rst og oppdaget symmetrien etterpÃ¥.)

    Simpsons regel blir altsÃ¥
    \begin{align*}
        \int_a^b f(x)\; dx \approx
         &amp;\hspace{1mm} f(a)\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \cdot \frac{1}{a-\frac{a+b}{2}}\cdot \frac{1}{a-b} \\[2mm]
        -&amp;\hspace{1mm} f\left( \frac{a+b}{2} \right)\cdot \frac{1}{6}(b-a)^3 \frac{1}{\frac{a+b}{2}-a}\cdot \frac{1}{\frac{a+b}{2}-b} \\[2mm]
        +&amp;\hspace{1mm} f(b)\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3\cdot \frac{1}{b-\frac{a+b}{2}} \cdot \frac{1}{a-b} \\[4mm]
        =&amp;\hspace{1mm} f(a)\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \cdot \frac{2}{a-b}\cdot \frac{1}{a-b} \\[2mm]
        -&amp;\hspace{1mm} f\left( \frac{a+b}{2} \right)\cdot \frac{1}{6}(b-a)^3 \frac{2}{b-a}\cdot \frac{2}{a-b} \\[2mm]
        +&amp;\hspace{1mm} f(b)\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3\cdot \frac{2}{b-a} \cdot \frac{1}{b-a} \\[4mm]
        =&amp;\frac{b-a}{6}\left( f(a) + 4f\left( \frac{a+b}{2} \right) f(b) \right)
    \end{align*}

    Herregud for en lang og kjedelig beregning.
    Definitivt en once in a lifetime experience Ã¥ utlede Simpsons regel.
    Dette gjÃ¸r jeg aldri igjen!

\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.45]{../figurer/Neubrandenburg 064}
\end{center}

    \begin{oppgave}{14}
        Det kjappeste jeg har fÃ¥tt til er en 40 nanosek,
        men det finnes folk i klassen over dere som har gjort det mye fortere.
        GÃ¥ pÃ¥ let etter en morsom fyr pÃ¥ elsys som heter Leo og spÃ¸r ham.

        Jeg integrerte maclaurinrekken ledd for ledd.
        Dette fÃ¥r du lÃ¦re om i uke 46.
        Kode:\\
        \url{https://folk.ntnu.no/mortano/normalfordelingen/rust/maclaurin/}
    \end{oppgave}

    \begin{oppgave}{15}
        Dette gjorde jeg i matlab for noen Ã¥r siden,
        riktignok med motsatt fortegn pÃ¥ proporsjonalitetskonstanten i likningen,
        men prinsippet blir det samme.
        Her er Euler eksplisitt og implisitt
        (heltrukken linje er analytisk lÃ¸sning,
        mens diamanter er numerisk):

        \begin{minipage}{70mm}
            \begin{center}
                \includegraphics[scale=.2]{../figurer/eks_9_1}
            \end{center}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{70mm}
            \begin{center}
                \includegraphics[scale=.42]{../figurer/eks_9_2}
            \end{center}
        \end{minipage}

        og trapesmetoden og Heuns metode:

        \begin{minipage}{70mm}
            \begin{center}
                \includegraphics[scale=.4]{../figurer/eks_9_3}
            \end{center}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{70mm}
            \begin{center}
                \includegraphics[scale=.4]{../figurer/eks_9_4}
            \end{center}
        \end{minipage}

    Det er lett Ã¥ se fra figurene at trapesmetoden og Heun gir bedre approksimasjoner for samme steglengde.
    Konklusjonene i oppgave 16 og 17 blir de samme.
    \end{oppgave}

\begin{oppgave}{18}
    Se \say{ukens repetisjon av R2} om hvordan man integrerer $\sin^2 x$ hvis du ikke husker det fra $R2$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
En sirkel med senter i origo og radius $r$ har likning
\[
x^2+y^2=r^2,
\]
sÃ¥ vi kan lage en kule ved Ã¥ dreie $f: [-r,r]\to \mathbb R$
gitt ved
\[
f(x)=\sqrt{r^2-x^2}
\]
en gang om $x$-aksen,
og beregne
\[
V=\pi \int_{-r}^{r}r^2-x^2\; dx = \frac{4\pi r^3}{3}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{20-1}
    Hvis vi antar at tyngdeakselerasjonen i Pirbadet er konstant og den samme som i kjelleren pÃ¥ Realfagsbygget,
    er kraften $mg$,
    der $m$ er din masse.
    Ã… integrere en konstant klarer alle barn i barnehagen;
    det er bare Ã¥ gange konstanten med lengden av integrasjonsintervallet.
    Du kan altsÃ¥ finne arbeidet ved $mgh$ der $m$ er din masse og $h$ er fem meter.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{20-2}
    La oss fÃ¸rst beregne
    \[
        Gm_1m_2\int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{r^2}\; dr  =  -Gm_1m_2\frac{1}{r}  \biggr \rvert_{r_1}^{r_2}
        =Gm_1m_2\left( \frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}   \right)
    \]
    Jorden ikke formet som en kule.
    Den er i bunn og grunn mer pÃ¦reformet,
    og bredest noe sÃ¸r for ekvator.
    Mt. Everest er ikke det punktet pÃ¥ overflaten som er lengst fra sentrum; dette punktet sitter i Andesfjellene et sted.
    Jeg kjenner ikke herr Eustace,
    men la oss for enkelhets skyld anta at han og drakten veier 100 kg.
    og at jorden $5.972 \cdot 10^{24}$ kg tung perfekt kule med radius $6.371 \cdot 10^6$ meter.
    Setter vi inn disse tallene,
    samt $r_1 =6.371\cdot 10^6$ og $r_2 = 6.413\cdot 10^6$ og $G= 6.674 \cdot 10^{-11}$,
    fÃ¥r vi en joulekake pÃ¥ sÃ¥nn ca $4.097 \cdot 10^6$ Joule.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{20-3}
    Tar vi $mgh$ med $m=100$ kg,
    $g=9.821$ kg meter per sekund per sekund og $h=4.2\cdot 10^4$ km,
    fÃ¥r vi en joulekake pÃ¥ sÃ¥nn ca $4.120 \cdot 10^6$ Joule.
    Den relative feilen defineres av Encyclopedia Brittanica som
    \say{feil delt pÃ¥ sann verdi}.
    Vi har jo strengt tatt ikke den sanne verdien,
    men om vi tar oppgave 20-2 som fasit,
    fÃ¥r vi
    \[
        \text{relativ feil} = \left| \frac{4.097 \cdot 10^6-4.120 \cdot 10^6}{4.097 \cdot 10^6} \right| = \left| \frac{4.097-4.120}{4.097} \right| \approx 0.005.
    \]
    Ikke rare greiene, altsÃ¥.

\end{oppgave}

    \begin{comment}
    \begin{align*}
        \int_a^b \left( x-a \right) \left( x-\frac{a+b}{2} \right)  \; dx =&amp; \frac{1}{2}\left( x-a \right)^2\left( x-\frac{a+b}{2} \right)  \biggr \rvert_a^b - \frac{1}{2}\int_a^b \left( x-a \right)^2\\[2mm]
        =&amp;\frac{1}{2}\left( b-\frac{a+b}{2} \right)(a-b)^2-\frac{1}{6}\left( b-a \right)^3 \\[2mm]
        =&amp;\frac{1}{4}(b-a)^3-\frac{1}{6}\left( b-a \right)^3 = \frac{1}{12}(b-a)^3
    \end{align*}
    \end{comment}


\begin{oppgave}{21}
    Her gjelder det Ã¥ huske at trykk mÃ¥les i newton per kvadratmeter,
    sÃ¥ nÃ¥r du ganger trykk med et lite voluminkrement (som mÃ¥les i kubikkmeter),
    fÃ¥r du arbeidet trykket gjÃ¸r nÃ¥r volumet Ã¸kes bittelitt.
    Hvis trykket endres etterhvert som volumet endres,
    mÃ¥ vi selvfÃ¸lgelig integrere for Ã¥ finne arbeidet:
    \[
\int_{V_1}^{V_2} p\left(T,V\right) dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{NTk}{V} dV = NTk\left(\log V_2  - \log V_1\right) = NTk\log \left(\frac{V_2}{ V_1}\right)
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{22}
    La oss fÃ¸rst sette opp en differensiallikning for spenningen over kondensatoren.
    Vi setter pÃ¥ en jord:
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=.5]{../figurer/rc-krets-4}
    \end{center}
    slik at Kirchhoffs spenningslov gir
    \[
        RC\dot x(t) + x(t) = g(t).
    \]
    Her mÃ¥ vi nesten anta at spenningskilden er konstant for
    Ã¥ fÃ¥ et problem som er hÃ¥ndterbart i fÃ¸rste semester.
    La oss si at spenningskilden har den konstante verdien $V$,
    slik at lÃ¸sningen blir
    \[
        x(t) = V + (x(0)-V)e^{-t/RC}.
    \]
    NÃ¥r $t\to \infty$,
    vil $x \to V$,
    og slik ser vi at etter lang tid vil spenningen over kondensatoren stabilisere seg pÃ¥ $V$.
    Vi kan nÃ¥ koble sammen kretsen uten spenningskilde og la kondensatorene lade seg ut.
    Hvis strÃ¸mmen er $i(t)$,
    gir Kirchoffs spenningslov nok en gang
    slik at
    \[
        Ri(t) + \frac{1}{C} \int_0^t i(s)\;ds= 0.
    \]
    Siden spenningen idet vi kobler igang er $V$,
    gir denne likningen at
    \[
        i(0) = V/R,
    \]
    men ellers er likningen
    litt uhÃ¥ndterbar.
    La oss derivere, og fÃ¥
    \[
        Ri'(t) + \frac{1}{C} i(t)= 0
    \]
    som gir
    \[
        i(t) = i(0)e^{-t/RC} = \frac{V}{R}e^{-t/RC}.
    \]
    StrÃ¸mmen begynner altsÃ¥
    pÃ¥ $V/R$ og dÃ¸r gradvis ut.
    For Ã¥ finne total ladning som har passer kondensatoren,
    beregner vi integralet
    \[
        \int_0^{\infty} i(t)\; dt = \frac{V}{R} \int_0^{\infty} e^{-t/RC}\; dt = -CVe^{-t/RC}\biggr \rvert_0^{\infty} = CV.
    \]
\end{oppgave}

\begin{minipage}{55mm}
    \begin{oppgave}{23}
                $\displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{x} \; dx = \left( \ln|x| \right)_1^\infty = \infty$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
    \begin{oppgave}{24}
        $\displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \; dx = \left( -\frac{1}{x} \right)_1^\infty = 1$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
    \begin{oppgave}{25}
        $\displaystyle         \int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} \; dx = \left( 2\sqrt {x}  \right)_1^\infty = \infty$
    \end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{minipage}{55mm}
    \begin{oppgave}{26}
                $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x} \; dx = \left( \ln|x| \right)_0^1 = \infty$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
    \begin{oppgave}{27}
        $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^2} \; dx = \left( -\frac{1}{x} \right)_0^1 = \infty$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
    \begin{oppgave}{28}
        $\displaystyle         \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \; dx = \left( 2\sqrt {x}  \right)_0^1 = 2$
    \end{oppgave}
\end{minipage}

    \begin{oppgave}{29}
        Her er det bare Ã¥ gange svaret i oppgave 24 med $\pi$.
    \end{oppgave}


    \begin{oppgave}{30}
        Vi beregner
        \[
            \int_0^1 \sqrt {1+\left( \frac{3}{2}\sqrt{x} \right)^2}\; dx =
            \int_0^1 \sqrt {1+\frac{9}{4}x}\; dx =
            \frac{8}{27} \left( \left( \frac{13}{4} \right)^{3/2} -1 \right)
        \]
    \end{oppgave}

    \begin{oppgave}{30}
        Vi beregner
        \[
            \int_0^1 \sqrt {1+\left( \frac{3}{2}\sqrt{x} \right)^2}\; dx =
            \int_0^1 \sqrt {1+\frac{9}{4}x}\; dx =
            \frac{8}{27} \left( \left( \frac{13}{4} \right)^{3/2} -1 \right)
        \]
    \end{oppgave}

    \begin{oppgave}{31-32}
        Du finner koder her:\\
            \url{https://folk.ntnu.no/mortano/python/kvadratur/buelengde/}
    \end{oppgave}

    \begin{oppgave}{33}
        Overflatearealet til Gabriels trompet blir
        \[
            2\pi \int_0^{\infty} \frac{1}{x}\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}\; dx
        \]
        Dette integralet er ikke sÃ¥ lett Ã¥ beregne,
        men vi trenger ikke det,
        for alle barn i barnehagen skjÃ¸nner at siden $\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}} \geq 1$,
        mÃ¥
        \[
            \int_1^{\infty} \frac{1}{x}\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}\; dx \geq \int_1^{\infty} \frac{1}{x}\; dx = \infty.
        \]
        Bruker du Gabriels trompet som malingsspann,
        rommer det $\pi$ maling,
        men om du vil male den pÃ¥ utsiden,
        finnes det altsÃ¥ ikke nok maling i verden.
    \end{oppgave}

\begin{oppgave}{34}
$
\hspace{3mm}\displaystyle    \int_{0}^1\int_0^3 x + 2y \dee x \dee y = \int_{0}^1 \left( \frac{1}{2}x^2 + 2yx \right)_{x=0}^{x=3}   \dee y =
    \int_{0}^1 \frac{9}{2} + 6y   \dee y =   \frac{9}{2} + 3 = \frac{15}{2}
$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{35}
$
\hspace{3mm}\displaystyle    \int_{0}^3\int_0^1 x + 2y \dee x \dee y = \int_{0}^3 \left( \frac{1}{2}x^2 + 2yx \right)_{x=0}^{x=1}   \dee y =
    \int_{0}^3 \frac{1}{2} + 2y   \dee y =   \frac{3}{2} + 9 = \frac{21}{2}
$
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{36}
$
\hspace{3mm}\displaystyle  \int_{0}^1\int_0^1 2+\frac{xy}{10} \dee x \dee y =
\int_{0}^1 \left( 2x+\frac{x^2y}{20} \right)_{x=0}^{x=1}  \dee y =
\int_{0}^1  2+\frac{y}{20} \dee y = 2 + \frac{1}{40} = \frac{81}{40}
$
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1005154}
\end{center}

\clearpage

\section*{GAMLE EKSAMENSOPPGAVER MED LÃ˜SNING}

\begin{oppgave}{1}
AvgjÃ¸r om integralet
\[
\int_0^1 \frac{\cos x}{x}\; dx
\]
konvergerer eller divergerer.

 \textbf{LÃ¸sning:}
    Siden $\cos x \geq \cos 1 &gt; 0$,
og integranden er positiv pÃ¥ $[0,1]$,
    kan vi skrive
\[
\int_0^1 \frac{\cos x}{x}\; dx \geq \int_0^1 \frac{\cos 1}{x}\; dx \geq \cos \left( 1 \right) \int_0^1 \frac{1}{x}\; dx = \infty.
\]
    Integralet divergerer.
    \end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
Finn et tredjeordens polynom som gÃ¥r gjennom punktene $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,3)$ og $(3,5)$.
Skisser polynomet og punktene. 

 \textbf{LÃ¸sning:}
Et tredjeordens polynom er et polynom pÃ¥ formen
\[
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d
\]
der $a\neq 0$. 
Dersom polynomet skal gjennom punktene $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,3)$ og $(3,5)$, 
har vi fire likninger\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{align*}
1&amp;=p(0)=d \\
2&amp;=p(1)=a+b+c+d \\
3&amp;=p(2)=8a+4b+2c+d \\
5&amp;=p(3)=27a+9b+3c+d 
\end{align*}
\end{minipage}
eller 
\begin{minipage}{7cm}
\vspace{1cm}
\[
\begin{amatrix}{4}
0&amp;0&amp;0&amp;1&amp;1 \\
1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;2\\
8&amp;4&amp;2&amp;1&amp;3\\
27&amp;9&amp;3&amp;1&amp;5
\end{amatrix}
\]
\end{minipage}

om du foretrekker det.

Siden den fÃ¸rste likningen sier at $d=1$,
kan vi umiddelbart forenkle til 
\[
\begin{amatrix}{3}
1&amp;1&amp;1&amp;1\\
8&amp;4&amp;2&amp;2\\
27&amp;9&amp;3&amp;4
\end{amatrix}
\]
og gausseliminere
\[
\begin{amatrix}{3}
1&amp;1&amp;1&amp;1\\
8&amp;4&amp;2&amp;2\\
27&amp;9&amp;3&amp;4
\end{amatrix}
\sim
\begin{amatrix}{3}
1&amp;1&amp;1&amp;1\\
0&amp;4&amp;6&amp;6\\
0&amp;18&amp;24&amp;23
\end{amatrix}
\sim
\begin{amatrix}{3}
1&amp;1&amp;1&amp;1\\
0&amp;4&amp;6&amp;6\\
0&amp;0&amp;6&amp;8
\end{amatrix}
\]
slik at $c=\frac{4}{3}$, $b=-\frac{1}{2}$ og $a=\frac{1}{6}$.
Polynomet blir 
\[
p(x)= \frac{1}{6} x^3 -\frac{1}{2}x^2+\frac{4}{3}x+1
\]
Her er plot:

\includegraphics[scale=.17]{../figurer/interpolasjon-2}

Det gÃ¥r ogsÃ¥ helt fint Ã¥ bruke lagrangepolynomer,
og skrive opp interpolanten pÃ¥ direkten:
\begin{align*}
p(x)=&amp; 1 \cdot \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)} \\
    +&amp; 2 \cdot \frac{(x-0)(x-2)(x-3)}{(1-0)(1-2)(1-3)} \\
    +&amp; 3 \cdot \frac{(x-0)(x-1)(x-3)}{(2-0)(2-1)(2-3)} \\
    +&amp; 5 \cdot \frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)}
\end{align*}
    Det blir seff det samme,
    som du kan sjekke om du orker.
\end{oppgave}

  \begin{oppgave}{3}
  Siv har en kuleformet vanntank med radius $R$.  PÃ¥ toppen av tanken
  er det et lite hull.  Siv Ã¸nsker Ã¥ finne ut hvor mye vann det er
  igjen i vanntanken ved Ã¥ mÃ¥le avstanden $L$ fra hullet ned til
  vannoverflaten.

  Finn et eksplisitt uttrykk for vannvolumet $V(L)$ for
  $0\leq L \leq 2R$.

\textbf{LÃ¸sning:}
Dette er en klassiker i  TMA4100,
og du finner Selveste Seips lÃ¸sningsforslag her:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100/eksamen/lf_tma4100_2014h.pdf}

\end{oppgave}


\end{document}
</pre></body></html>