\input{preamble}

\title{1 - 5 -  DIFFERENSIALLIKNINGSSYSTEMER}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle
% husk å lage avkjølingsmodell med varierende temp på omgivelser:
%https://physoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1113/expphysiol.2005.030551
%husk å ta massevirkningsloven på en bedre måte

%husk pendel- og pendelklokke, io og lyshastigheten, samt oppdagelsen av neptun og mallory og irvine og vulcan
% husk å ende opp med matriseeksponensial som springbrett videre

%husk gian-carlo rota og plane autonomous systems og termodynamikk
%hubbles lov
%husk hamiltonske systemer for å kunne forstå kvante siden
% husk shannonentropi vs sapolsky overraskelse ca 51:00 her https://www.youtube.com/watch?v=P388gUPSq_I&t=4s
% husk histioren med de nye filnavnene til negativscan og dato og sapolskys hukommelseseksperiment
% hsuk U-Pb-datering

Differensiallikninger har i noen tilfeller enorm prediktiv kraft.
Hvis du skal sende en rakett til månen,
må du løse en haug med differensiallikninger bygget på Newtons gravitasjonslov.
Men realistisk modellering er fryktelig komplisert -
noen av de enkle modellene vi studerer her passer greit til måledata (for eksempel RC-kretsen),
mens noen er håpløst inadekvate (for eksempel atmosfæretrykkmodellen).
Vi må allikevel gjennom dem,
for det er umulig å forstå kompliserte modeller uten å først forstå enklere modeller.

I denne økten skal vi se på modeller som er mer kompliserte,
der penn og papir ikke lenger er det nyttigste redskapet.
Numeriske metoder overtar.
La oss varme opp med en modell som er mulig å finne ut av med penn og papir,
men der differensiallikningen er mye vanskeligere å løse enn de vi så på i forrige uke.
Du husker forhåpentligvis E. Coli-modellen fra forrige uke:
\[
	\dot x = ax \hspace{10mm} x(0) = x_0 \hspace{10mm} a > 0
\]
som har entydig løsning $x(t) = x_{0}e^{at}$.
Denne modellen spår eksponensiell vekst for all fremtid.
Men som David Attenborough i 2013 uttalte under et foredrag i The Royal Geographical Society:

\say{Anyone who thinks that you can have infinite growth in a finite environment is either a madman or an economist.}
\footnote{Sitatets opprinnelse er noe usikker. Det var nok ikke han som fant det på.}

Dyr som formerer seg kan sjelden fortsette med det uten å før
eller siden oppleve noen som helst form for begrensning i veksten.
De må jo ha mat.
Maurkolonier og sjimpanseflokker dreper hverandre. \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gombe_Chimpanzee_War}}
Den enkleste utvidelsen for å inkorporere dette i modellen vi startet med,
er å erstatte $a$ med en positiv funksjon  som har et nullpunkt i den
bestanden $x$ som maksimalt kan opprettholdes på området.
Hvis vi gjør det enkelt og sier at denne funksjonen skal være en rett linje,
får vi det \textbf{logistiske problemet}\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function}}
\[
\dot{x}=a\left( 1-x/k \right)x \hspace{10mm} x(0) = x_0 \hspace{10mm} a >0,\; k > 0
\]
der $k$ er en konstant som kalles \textbf{bærekapasiteten}.
Hvis du ser nøye på likningen,
vil du nok se at når $x$ stiger mot $k$,
vil vekstraten synke mot null,
slik at dyrene formerer seg saktere og saktere.
Denne likningen kan løses,
men det er ikke trivielt,
se ukens nøtter:
\[
x(t)=\frac{kx_0e^{at}}{k-x_0+x_0e^{at}}.
\]


\begin{oppgave}{1}
	Sjekk at det er riktig, og plott i python for forskjellige $a$, $k$ og $x_0$. Hva er likevektsløsningene?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.14]{../figurer/L1018612-Pano}
\end{center}

\clearpage

Snøskoharen (Lepus americanus) er en liten nordamerikansk hareart
som er kjent for sine voldsomme bestandssvingninger.
Bestandssvingningene forekommer med en periode på omtrent ti år,
og skyldes en kombinasjon av faktorer,
slik som at den formerer seg fort og at den kanadiske gaupen (Lynx canadensis)
nesten ikke spiser noe annet enn snøskohare dersom den har tilgang på dem.\footnote{\url{https://www.enr.gov.nt.ca/en/services/lynx/lynx-snowshoe-hare-cycle}}

Dette var et av de første biologiske systemene som ble forsøkt modellert av matematikere.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Lotka–Volterra_equations}}
Utledningen av likningene går omtrent som følger.
La $x$ være harebestanden og $y$ gaupebestanden.
Ved fravær av gaupe vil harene formere seg eksponensielt,
slik at
\[
\dot x=ax
\]
der $a>0$.
Dersom det finnes gaupe,
spiser disse harer og dette fører til en nedgang i harebestanden.
Hvis vi antar at predasjonen er proporsjonal med \textit{både} harebestanden $x$ og gaupebestanden $y$,
og at predasjon er den eneste av harenes dødsårsaker som ikke er tatt høyde for i $a$,
får vi mekanismen
\[
\dot x=ax-bxy
\]
der $b>0$.
Det første leddet på høyresiden beskriver hvordan harene formerer seg,
og det andre leddet beskriver predasjonen.
Økning i antall harer er differansen mellom disse to.

Gaupen oppfører seg på alle måter stikk motsatt i denne modellen.
Hvis du antar at gaupene kun spiser hare,
kan du ved fravær av hare trygt anta at gaupene dør ut med en rate som er proporsjonal med bestanden:
\[
\dot y=-cy
\]
og dersom det er hare,
fører dette til økning i gaupebestanden som er proporsjonal med både harebestanden og gaupebestanden:
\[
\dot y=-cy+dxy
\]
Alt i alt får vi differensiallikningssystemet
\begin{align*}
\dot{x}&=\hspace{3mm}ax-bxy  \\
\dot{y}&=-cy+dxy
\end{align*}
der $a$, $b$, $c$ og $d>0$.
Lotkavolterrasystemet kan ikke \textit{løses} i ordets rette forstand,
det vil si at vi klarer ikke finne et par med funksjoner $x(t),y(t)$
som passer i likningssystemet.
Det at systemet ikke kan løses,
betyr ikke at alt håp er ute;
det finnes massevis av andre teknikker for å hale informasjon ut av systemet.

\begin{center}
\includegraphics[scale=.45]{../figurer/img1737}
\end{center}

Det første vi kan gjøre er å dele likningene på hverandre,
%	\frac{\dot x}{\dot y} = \frac{ax-bxy}{-cy+dxy}
sortere litt
	%\left( d-\frac{c}{x}  \right) \dot x = \left( \frac{a}{y}-b \right) \dot y
og integrere med hensyn på $t$.
Hvis du gjør dette riktig, 
får du at en eventuell løsning må ligge på den kjente og kjære kurven
\[
	dx +by - c\ln|x| - a\ln|y| = C
\]
der $C$ er vilkårlig konstant.


\begin{oppgave}{2}
	Prøv.
\end{oppgave}

Størrelsen $f(x,y) = dx +by - c\ln|x| - a\ln|y|$ kalles i dette tilfellet et \textbf{førsteintegral},
og må altså være konstant på en løsningstrajektorie $x(t),y(t)$.
Et uttrykk på formen $f(x,y)=C$ er ikke fullt så nyttig som et par med funksjoner $x(t),y(t)$,
men ikke så langt unna.
Du klarer å hente ut den samme informasjonen,
men det er litt mer jobb.

\begin{oppgave}{3}
	Gå nå tilbake til økt 2 og se på alle figurene på side 5.
	og prøv å få en kvalitativ ide om hvordan løsningstrajektoriene ser ut.
	Lotkavolterrasystemet har to likevektsløsninger. Finn dem.
\end{oppgave}

Førsteintegralet i lotkavolterrasystemet er ikke så enkelt å tolke.
Nå skal vi se på en annen modell der førsteintegralet er kjent og kjært.
En pendel som henger fra taket og dingler uten friksjon eller luftmotstand,
tilfredsstiller
\[
\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin \theta=0,
\]
der $\theta$ er vinkelutslaget med loddlinjen,
$l$ er pendelens lengde og $g$ er tyngdeakselerasjonen.

\begin{oppgave}{4}
Tegn opp og utled likningen fra Newtons andre lov.
\end{oppgave}


Førsteintegralet kan i dette tilfellet utledes ved å gange likningen med $ml^2 \dot \theta$ og integrere:
\[
m\frac{1}{2}\left( l \dot \theta  \right)^2-mgl \cos \theta=C,
\]

\begin{oppgave}{5}
Gjør dette og tolk førsteintegralet fysisk. \\
(Hint: Du har lært dette i fysikktimene på gymnaset.)
\end{oppgave}

Hvis du, som jeg, syntes det var litt mystisk å få slengt Newtons lover i trynet
og så bare få vite at energien var konservert uten noe mer forklaring,
har du nå grunnen.
Energikonservering følger av Newtons lover,
og oppgave 5 er et eksempel på hvordan.

\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/pendel}
\end{center}

\clearpage

Akkurat som for lotkavolterrasystemet,
er det håpløst å hente ut $\theta(t)$ fra pendellikningen.
Men nå skal vi se på enda en teknikk.
Det heter linearisering,
og fysikere elsker det.

\begin{oppgave}{6}
	Vis geometrisk at
	\[
		\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1.
	\]
	(Hvis det er for vanskelig,
	finner du utledningen i kap. 2.5 i Adams.)
\end{oppgave}

Av dette kan vi slutte at dersom pendelens vinkelutslag er lite,
er $\theta \approx \sin \theta$,
slik at vi får \textbf{den lineariserte pendellikningen}
\[
\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\theta=0.
\]

\begin{oppgave}{7}
	Denne har du løst før.
	Sett i gang.
\end{oppgave}

Både den logistiske modellen og lotkavolterramodellen er tilnærmet ubrukelige til prediksjon.
Det vi prøver å ta med oss fra dem er noen grunnleggende ideer som i kan ha en viss verdi.
For eksempel vil E. Coli formere seg omtrent eksponensielt så lenge det er god plass i petriskålen.
Veksten avtar etterhvert som skålen blir full,
og den logistiske kurven ser kvalitativt riktig ut.
Det er det samme med Lotka-Volterra.

Det er bare det at  \say{det at det ser kvalitativt riktig ut} ikke er godt nok for prediksjon.
For prediksjon må man som regel ha en ide om mekanismen som er presis og ikke vag.
Men den lineariserte pendellikningen gir oss faktisk en modell som er grei nok,
ihvertfall så lenge vinkelutslaget er lite.
I realfagsbygget finner du Norges lengste foucaultpendel.\footnote{https://www.ntnu.no/fysikk/foucault}

\begin{oppgave}{8}
	Finn ut hvor lang den er.\\
	(Hint: Mål perioden så nøyaktig du kan,
	og sammenlikne med den lineariserte pendellikningens analytiske løsning.
	Institutt for fysikk har visst målt tyngdeakselerasjonen i kjelleren på
	realfagsbygget temmelig nøyaktig til $9.8214675$ meter per sekund per sekund. )
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1020606}
\end{center}

\clearpage


Et plot av $y$ mot $x$ der $x$ og $y$ er løsningene til et differensiallikningssystem,
kalles et \textbf{faseplott}.
Men det kan også være interessant å plotte funksjonene $x(t)$ og $y(t)$ mot $t$ i samme figur.
Nå skal vi se på \textit{industristandarden} for å takle slikt,
nemlig \textbf{numeriske differensiallikningsløsere}.
La oss bruke Lotka-Volterra med $a=b=c=d=1$ som eksempel:
\begin{align*}
\dot{x}&=x(1-y)  \\
\dot{y}&=y(x-1)
\end{align*}
Jeg har prøvd å forklare ideen bak numeriske differensiallikningsløsere
hundrevis av ganger siden jeg var student,
og det går dårligere og dårligere for hver gang jeg prøver.
Men ideen er i bunn og grunn enkel:
Hvis du antar at populasjonene står i punktet $(x,y)$,
kan du \textit{anslå størrelsen på dem litt senere} ved å bruke
differensiallikningene og din forståelse av tangenten (se oppgave 27 i økten om funksjoner).
Høyresiden av likningen forteller deg jo hvilken retning $(\dot x,\dot y)$ løsningen er på vei.
Her er en kode som regner ut numerisk løsning ved Eulers eksplisitte metode.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_method}}

\begin{lstlisting}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

T=20
N=2000
h=T/N

t=np.linspace(0,T,N+1)
x=np.zeros(N+1)
y=np.zeros(N+1)

x[0]=2
y[0]=2

for n in range(N):
    x[n+1]=x[n]+h*x[n]*(1-y[n])
    y[n+1]=y[n]+h*y[n]*(x[n]-1)

plt.plot(t,x)
plt.plot(t,y)
plt.savefig('lotkavolterra-tid.png')

plt.figure()
plt.plot(x,y)
plt.savefig('lotkavolterra-fase.png')
\end{lstlisting}

\begin{oppgave}{9}
	Finn ut hva koden gjør og hva Eulers eksplisitte metode er.\\
	(Antagelig er dette første gang du får en kode slengt i trynet med
	beskjed av en autoritetsperson om å finne ut hvordan den virker.
	Jeg vedder en månedslønn på at det ikke er siste.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.09]{../figurer/L1009172-Pano}
\end{center}

Eulers eksplisitte metode fungerer omtrent som følger.
Man deler intervallet $[0,T]$ på $t$-aksen inn i små biter med lengde $h=T/N$.
Delingspunktene kalles \textbf{tidssteg},
og er gitt ved
\[
	t_n = nh \hspace{20mm} 0 \leq n \leq N.
\]
Mengden med disse $N+1$ punktene kalles \textbf{gitteret},
og for hver $t_n$ definerer vi en tilnærming:
\[
	x_n \approx x\left( t_n \right)
	\hspace{20mm}
	y_n \approx y\left( t_n \right)
\]
Disse beregnes rekursivt ved å ta tilnærmingen på forrige tidssteg,
beregne tangenten direkte fra differensiallikningen der,
og legge til $h$ ganger denne tangenten:
\begin{align*}
x_{n+1}&=x_n+hx_n\left( 1-y_n \right) \\
y_{n+1}&=y_n+hy_n\left( x_{n}-1 \right)
\end{align*}
Koden på siden over produserer disse to figurene (den til høyre kalles et \textbf{faseplott}):\\[3mm]
\begin{minipage}{80mm}
\includegraphics[scale=.5]{../figurer/lotkavolterra-ekspl-tid}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\includegraphics[scale=.5]{../figurer/lotkavolterra-ekspl-fase}
\end{minipage}

Den til venstre er $x$ og $y$ mot $t$ mens den til høyre er $x$ mot $y$.
Disse to figurene illustrerer to veldig viktige poenger.
For det første er denne løsningen ikke kvalitativt korrekt,
og for det andre er dette lett å se fra den ene figuren,
men ikke fra den andre.

\begin{oppgave}{10}
	Finn ut hva som er feil og forklar hvilken figur man ser det fra.\\
	(Hint: Sammenlikne med nivåkurvene til $f(x,y) = x + y - \ln |x| - \ln |y|$.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1002425}
\end{center}

\clearpage

Det finnes hundrevis av numeriske metoder for å løse ordinære differensiallikninger.
\textbf{Symplektisk Euler} ser nesten ut som Eulers eksplisitte metode:
\begin{align*}
x_{n+1}&=x_n+hx_n\left( 1-y_n \right) \\
y_{n+1}&=y_n+hy_n\left( x_{n+1}-1 \right)
\end{align*}
Men gir helt andre figurer:

\begin{minipage}{80mm}
\includegraphics[scale=.5]{../figurer/lotkavolterra-sympl-tid}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\includegraphics[scale=.5]{../figurer/lotkavolterra-sympl-fase}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{11}
Løs Lotka-Volterra med symplektisk Euler og sammenlikne med Eulers eksplisitte metode.\\
Legg inn en evaluering av $f(x_n,y_n) = x_n + y_n - \ln |x_n| - \ln |y_n|$ i løkken,
	og plott denne som funksjon av $t$.
\end{oppgave}

Hvis du har en andreordens differensiallikning,
kan den skrives om til et første ordens system,
og så er det bare å kjøre de samme numeriske metodene.
La oss vise med pendelen.
Vi lager oss bare noen nye variable der $\dot \theta$ er en egen variabel.
Det vanligste er å bruke $p = \theta$ og $q = \dot \theta$,
slik at systemet blir
\begin{align*}
	\dot p &= q\\
	\dot q &= -\frac{g}{l} \sin p
\end{align*}

\begin{oppgave}{12}
Løs numerisk med eksplisitt og symplektisk Euler.
	Akkurat som for lotkavolterra,
	kan du evaluere den totale energien i hvert tidssteg.
\end{oppgave}

En annen klassiker fra elektroteknikken er van del Pols likning:
\[
\ddot{x}+\mu(x^2-1)\dot x + x=0
\]
Denne ble oppdaget av Balthasar van der Pol i forbindelse med radiorør, 
men modellerer også fint sprekker mellom kontinentalplater og nevronavfyring. 

\begin{oppgave}{13}
Løs van der Pol numerisk med $\mu=2$, 
og plot $x$ mot $\dot{x}$.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.18]{../figurer/L1018638-Pano-2}
\end{center}

\begin{comment}

\section*{UKENS KJEMI}

Det er en ting matematiske modeller trenger, 
og dette kravet har de til felles med andre ting,  
for eksempel software og orienteringskart,
nemlig \textit{korrekt balanse mellom lesbarhet og detaljnivå}.
Dersom et orienteringskart har for mange detaljer,
blir det umulig å lese,
og har det for få, 
gir det ikke korrekt beskrivelse av terrenget. 
Software som er skrevet for ytelse heller enn lesbarhet kan fort
bli uforståelig for alle andre enn det store geniet som har skrevet koden,
og da kan den bli ubrukelig når det geniet dør eller skifter jobb eller glemmer hva det har gjort.

Lotkavolterramodellen er lesbar.
Begge likningene i lotkavolterra har ett ledd som beskriver veksten ved fravær av den andre arten,
og ett ledd som beskriver hvordan arten påvirkes av samspillet med den andre arten.
Jeg introduserte den logistiske modellen ved å si at du tok modellen for eksponensiell vekst,
og bytte ut proporsjonalitetsfaktoren med en monotont synkende funksjon som har et nullpunkt i bærekapasiteten,
men du kan også skrive differensiallikningen slik:
\[
\dot{x}= a\left( x - x^2/k \right)
\]
sammenlikne med lotkavolterra og observere at det kvadratiske leddet kan representere kannibalisme.
Kannibalisme er ikke uvanlig i naturen.\footnote{\url{https://www.youtube.com/watch?v=7wKu13wmHog}}

Når man først har vendt seg til denne tenkemåten,
nemlig at endring i en eller annen størrelse kan være proporsjonal ikke bare med konsentrasjonen av størrelsen,
men også produktet av konsentrasjonen med seg selv eller andre konsentrasjoner,
er det en lavthengende frukt å forstå \textbf{kinetikk},
nemlig modellering av kjemisk reaksjonshastighet.
La oss si at du har en kjemisk reaksjon som tar speciene $A$ og $B$ produserer $C$.
Produktet $\left[ \ce A \right] \left[ \ce B \right]$  forteller noe om sannsynligheten for
at disse to molekylene tilfeldigvis møter på hverandre i suppen,
og massevirkningsloven\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_mass_action}} sier
at dersom reaksjonen kun går den ene veien,
tilfredsstiller konsentrasjonene $\left[ \ce A \right]$, $\left[ \ce B \right]$ og $\left[ \ce C \right]$ differensiallikningen
\[
	\frac{d}{dt} \left[ \ce C \right] = k \left[ \ce A \right] \left[ \ce B \right]
\]
der $k$ er en konstant som avhenger av sannsynligheten for at $\ce A$ og $\ce B$
faktisk kombinerer til $\ce C$ når de møtes.\footnote{Radioaktiv nedbrytning er det enkleste eksemplet: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Uranium–lead_dating}}
Dette avhenger av temperatur og farten til molekylene og masse annet,
og siden vi tar en av $\ce A$ og en av $\ce B$ for å produsere en av $\ce C$,
er
\[
	\frac{d}{dt} \left[ \ce A \right] = \frac{d}{dt} \left[ \ce B \right] = \frac{d}{dt} \left[ \ce C \right].
\]
Dersom reaksjonen kan gå begge veier,
tilfredsstiller konsentrasjonene differensiallikningen
\[
	\frac{d}{dt} \left[ \ce C \right] = k_+ \left[ \ce A \right] \left[ \ce B \right] - k_- \left[ \ce C \right].
\]


\begin{oppgave}{1}
	Jeg er ikke noen ekspert på dette,
	men du kan nok estimere $k_+/k_-$ ved å blande suppe,
	vente til likevekt er oppnådd og så måle konsentrasjonene.
	Du vet jo hvor mye av $\ce A$ og $\ce B$ du putta oppi ved $t=0$.
	Forklar.
\end{oppgave}


\clearpage

En av de mest kjente kjemiske reaksjonsdifferensiallikningene
kalles Michaelis-Menten-systemet.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Michaelis–Menten_kinetics}}
Det er en modell for et enzymkatalysert reaksjon som visstnok skjer i levende celler:
\[
	\ce{ S + E <=> C -> E} + \text{noen uinteressante produkter}
\]
Reaksjonsratene er $k_1$ og $k_{-1}$ for den første reaksjonen,
og $k_2$ for den andre.
I virkeligheten går den andre reaksjonen begge veier,
men man sørger visst for å ta de uinterssante produktene ut av suppen når man tester dette i lab,
så ikke alt skal bli så komplisert.
På skolen lærte du at en katalysator er noe som påvirker en kjemisk reaksjon uten å bli brukt opp.
Dette forvirret alltid meg,
men man må huske på at dette betyr at det er snakk om flere reaksjoner som skjer samtidig,
og at katalysatoren blir brukt i en reaksjon og produsert i en annen.

\begin{oppgave}{2}
La $s = \left[ \ce S \right]$, $e = \left[ \ce E \right]$ og $c = \left[ \ce{C} \right]$,
og vis at differensiallikningsystemet blir
\begin{align*}
	\dot s & = -k_1 se + k_{-1}c \\
	\dot e & = -k_1 se + \left( k_{-1} + k_{2} \right)c \\
	\dot c & = \hspace{3mm} k_1 se - \left( k_{-1} + k_{2} \right)c
\end{align*}
\end{oppgave}
Vi kan forenkle litt.
Summen av to av konsentrasjonene må være konstant.

\begin{oppgave}{3}
	Hvilke? \\
	(Hint: Tenk logisk eller herje litt med likningene.)
\end{oppgave}

%e_0 - c = e

Dersom du bruker relasjonen du fant over,
bør det være mulig å koke alt ned til
\begin{align*}
	\dot s & = -k_1 s\left( e_0 - c \right) + k_{-1}c \\
	\dot c & = \hspace{3mm} k_1 s\left( e_0 - c \right) - \left( k_{-1} + k_{2} \right)c
\end{align*}
med initialverdier $e(0) = e_0$ og $c(0) = 0$.
Det er nå vanlig å anta at produksjonen av $c$ går veldig fort unna og raskt går i likevekt,
slik at $\dot c = 0$.
I så fall blir den andre likningen en algebraisk likning.

\begin{oppgave}{4}
	Vis videre at
\[
	\dot s = - \frac{k_2 e_0s}{s+K_m}
	\hspace{10mm}
	\text{der}
	\hspace{10mm}
	K_m = \frac{k_{-1}+k_2}{k_1}.
\]
\end{oppgave}

Konstanten $K_m$ kalles \textit{michaelismentenkonstanten}.
Likningen for $s$ kan ikke løses i ordinær forstand,
men du kan herje litt,
integrere,
og få
\[
	s + K_m \ln s + k_2e_0t= C 
\]

\begin{oppgave}{5}
Prøv.
\end{oppgave}



Se også oppgave 2.5 her: \\
\url{https://folk.ntnu.no/vegargje/Mattepilot_MTKJ/martaoppgaver.pdf}

\clearpage

\section*{UKENS ELEKTROTEKNIKK}

Av og til er det enkelt å sette systemer av differensiallikninger for kretser.
Finn differensiallikninger og alle mulige strømmer i kretsene under. 

\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{1}
\begin{minipage}{5cm}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to (0,1);
		\draw  (0,3) to [L=$L_1$]  (2,3) to [R=$R$] (2,1) to  (0,1); 
		\draw  (2,3) to [L=$L_2$]  (4,3) to (4,1) to  (2,1); 
	\end{circuitikz}
\end{minipage}
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{2}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to (0,1);
		\draw  (0,3) to [L=$L_1$]  (2,3) to [R=$R_1$] (2,1) to  (0,1); 
		\draw  (2,3) to [L=$L_2$]  (4,3) to [R=$R_2$]  (4,1) to  (2,1); 
		\draw  (4,3) to [L=$L_3$]  (6,3) to (6,1) to  (4,1); 
	\end{circuitikz}
\end{center}
\end{minipage}
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{3}
\begin{minipage}{5cm}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to (0,1);
		\draw  (0,3) to [C=$C_1$]  (3,3) to [R=$R$] (3,1) to  (0,1); 
		\draw  (3,3) to [C=$C_2$]  (6,3) to (6,1) to  (3,1); 
	\end{circuitikz}
\end{minipage}
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{4}
\begin{minipage}{5cm}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to (0,1);
		\draw  (0,3) to [C=$C$]  (3,3) to [R=$R$] (3,1) to  (0,1); 
		\draw  (3,3) to [L=$L$]  (6,3) to (6,1) to  (3,1); 
	\end{circuitikz}
\end{minipage}
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{5}
\begin{minipage}{5cm}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v(t)$] (0,1);
		\draw (0,3) to [D ] (2,3) to [C] (4,3) to [cute inductor=$L$] (6,3) to [R] (6,1) to (0,1);
	\end{circuitikz}
\end{minipage}
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1003548}
\end{center}

\clearpage

\section*{UKENS REGULERING}

Idag er det slik at stort sett alle anvendelser som involverer
differensiallikninger også involverer numerisk løsning av differensiallikninger.
Det finnes haugevis av numeriske metoder for differensiallikninger,
og i Simulink kan du i skrivende stund velge mellom
en ganske lang liste av disse.
Forskjellige numeriske metoder for differensiallikninger
fungerer forskjellig, og av og til må man vite noe om virkemåten
for å velge riktig.







Et stivt legeme som roterer, 
tilfredsstiller eulerlikningene
\begin{align*}
I_1\dot\omega_1=(I_3-I_2)\omega_2\omega_3\\
I_2\dot\omega_2=(I_1-I_3)\omega_1\omega_3\\
I_3\dot\omega_3=(I_2-I_1)\omega_2\omega_1\\
\end{align*}
der $\omega_k$
er vinkelhastigheten rundt $k$-aksen i koordinatsystemet,
og $I_k$ er rotasjonstregheten rundt denne aksen:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem}

Løs numerisk med $I_1 < I_2 < I_3$.


\end{comment}

\section*{UKENS NØTTER}

I gamle dager pleide barn å lære å løse separable differensiallikninger med penn og papir. 
Dette er en standardteknikk,
men kan være ganske knotete.
Se kapittel 5.4 i Arnes bok.

\begin{oppgave}{1}
Utled løsningen
\[
x(t)=\frac{kx_0e^{at}}{k-x_0+x_0e^{at}}
\]
til det logistiske problemet.
\end{oppgave}


Det finnes ellers massevis av forskjellige numeriske metoder for å løse differensiallikninger.
La 
\begin{align*}
\dot x&=f(x,y) \\
\dot y&=g(x,y) \\
\end{align*}
Da er 
Eulers implisitte metode gitt ved
\begin{align*}
x_{n+1}&=x_n+hf\left(x_{n},y_{n} \right) \\
y_{n+1}&=y_n+hg\left(x_{n},y_{n} \right)
\end{align*}
og symplektisk Euler gitt ved
Eulers implisitte metode:
\begin{align*}
x_{n+1}&=x_n+hf\left(x_{n},y_{n} \right) \\
y_{n+1}&=y_n+hg\left(x_{n+1},y_{n} \right)
\end{align*}
Her er et par andre.
For eksempel 
Eulers implisitte metode
\begin{align*}
x_{n+1}&=x_n+hf\left(x_{n+1},y_{n+1} \right) \\
y_{n+1}&=y_n+hg\left(x_{n+1},y_{n+1} \right)
\end{align*}
trapesmetoden
\begin{align*}
x_{n+1}&=x_n+h\left(\frac{f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})}{2} \right) \\
y_{n+1}&=y_n+h\left(\frac{g(x_n,y_n)+g(x_{n+1},y_{n+1})}{2} \right)
\end{align*}
og midpunktmetoden
\begin{align*}
x_{n+1}&=x_n+hf\left(\frac{x_n + x_{n+1}}{2},\frac{y_n + y_{n+1}}{2} \right) \\
y_{n+1}&=x_n+hg\left(\frac{x_n + x_{n+1}}{2},\frac{y_n + y_{n+1}}{2} \right) \\
\end{align*}

\begin{oppgave}{2}
Prøv disse og. 
Du må nesten finne ut hvordan flervariable numeriske likningsløsere funker, 
se kapittel 9.18 i Arnes bok. 
\end{oppgave}

Det går også an å kjøre disse metodene (unntatt symplektisk Euler) på førsteordens differensiallikninger.
(Altså ikke systemer av differensiallikninger.)

\begin{oppgave}{3}
Prøv metodene over på den logistiske likningen,
og sammenlikne med analytisk løsning. 
\end{oppgave}


\clearpage

\section*{LØSNINGSFORSLAG}

\begin{oppgave}{1}
Det enkleste er å derivere uttrykket og sjekke at det passer i likningen.
Hvis du vil vite hvordan man faktisk regner ut løsningen dersom man ikke vet hva den er,
kan du lete opp informasjon om at den logistiske likningen er \textit{separabel}.
Dette betyr at vi kan få alle $x$-ene på den ene siden:
\[
a = \frac{\dot{x}}{\left( 1-x/k \right)x }
\]
delbrøksoppspalte høyreesiden:
\[
\frac{\dot{x}}{\left( 1-x/k \right)x } = \frac{k\dot{x}}{\left( k-x \right)x } = \dot{x}\left(\frac{1}{ x } + \frac{1}{\left( k-x \right) } \right)
\]
og så integrere med kjerneregelen:
\[
 at + C = \ln |x| - \ln |k-x| = \ln \left|\frac{x}{k-x}\right|
\]
Eksponering gir
\[
e^{ at } e^{C} =  \left|\frac{x}{k-x}\right|.
\]
og hvis vi løser opp absoluttverditegnet på høyresiden,
får vi 
\[
\begin{cases}
\frac{x}{k-x}=-e^{ at } e^{C}  & x<0 \\
\frac{x}{k-x}=\hspace{3mm}e^{ at } e^{C}  & 0<x<k \\
\frac{x}{k-x}=-e^{ at } e^{C}  & k<x \\
\end{cases}
\]
Nå gjelder det å være litt smart så vi ikke får masse unødvendig regning. 
La oss allerede nå bruke at $x(0)=x_0$. 
Vi får 
\[
\begin{cases}
\frac{x_0}{k-x_0}=- e^{C}  & x_0<0 \\
\frac{x_0}{k-x_0}=\hspace{3mm} e^{C}  & 0<x_0<k \\
\frac{x_0}{k-x_0}=- e^{C}  & k<x_0 \\
\end{cases}
\]
slik at vi kan slå alt sammen tilbake til
\[
\frac{x}{k-x}=\frac{x_0}{k-x_0}e^{ at } 
\]
som løst for $x$ gir
\[
x(t)=\frac{kx_0e^{at}}{k-x_0+x_0e^{at}}.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Dette blir på en måte litt i samme gata som oppgaven  over,
men man bare kommer ikke helt i mål.
Vi deler likningene på hverandre og får
\[
\frac{\dot{x}}{\dot{y}} =\frac{ ax-bxy }{ -cy+dxy} = \frac{ x(a-by) }{ y(dx-c)} 
\]
eller 
\[
\dot{x}\left(d- \frac{c}{x}\right) = \dot{y}\left( \frac{ a }{ y}-b \right)
\]
som integreres til 
\[
	dx - c\ln|x| =  a\ln|y| - by + C.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
I økten om funksjoner plottet vi nivåkurvene til 
\[
f(x,y) =	dx + by - c\ln|x| -  a\ln|y| - by 
\]
altså kurver på formen
\[
dx + by - c\ln|x| -  a\ln|y| - by = C.
\]
Dette var selvfølgelig for å bruke dem i denne oppgaven,
og her har vi et plot av henholdsvis $f$ og
nivåkurvene til $f$:

\begin{minipage}{55mm}
\includegraphics[scale=1]{../figurer/lotkavolterra-1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
    \includegraphics[scale=1]{../figurer/lotkavolterra-2}
\end{minipage}

De to likevektsløsningene er $x=y=0$ (som betyr ingen levende dyr) og $x=c/d$, $y=a/b$ 
som er det punktet der bestandene balanserer hverandre perfekt. 
\end{oppgave}

\begin{minipage}{120mm}
\begin{oppgave}{4}
Newtons andre lov er $F=ma$. 
Kraften er $-mg\sin \theta$ og akselerasjonen er $a=l\ddot \theta$,
slik at Newtons andre lov blir
\[
-mg \sin \theta = ml\ddot \theta
\]
eller
\[
 l\ddot \theta + g \sin \theta = 0
\]
om du vil.
Merk at massen til pendelen ikke har noe å si. 
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/pendel-2}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{oppgave}{5}
Hvis vi ganger opp med $ml\dot \theta$,
får vi 
\[
ml^2\dot \theta \ddot \theta + mgl\dot \theta  \sin \theta = 0
\]
som integreres til (husk kjerneregelen!)
\[
\frac{1}{2}m\left( l\dot \theta \right)^2 - mgl  \cos \theta = C
\]
som vi kjenner igjen som summen av kinetisk og potensiell energi (pendelens opphengspunkt er satt som nullnivå).
I fysikkboken på videregående skole (ihvertfall i den fysikkboken vi brukte) var Newtons lover og konservering av totalenergi presentert som uavhengige konsepter.
Men det er altså slik at den algebraiske likningen som forteller at energien er konservert, 
er en slags  \say{løsning} av Newtons andre lov, 
som er en differensiallikning. 
Kunnskap om differensiallikninger er følgelig essensielt for å forstå grunnleggende fysikk. 

Hvis du synes det er uvant å integrere ledd som $\dot \theta \ddot \theta$ med kjerneregelen,
kan du prøve å derivere $\left(\dot \theta\right)^2$ og $\cos \theta$ og se hva du får. 
(Husk at $\theta$ er en funksjon av $t$, altså $\theta(t)$!)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{6}
Her gjelder det å kjenne til følgende figur. 
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/sinxpaax}
\end{center}
Alle barn i barnehagen ser at det grønne arealet er minst,
det røde størst, 
og det fiolette mellom dem.
Det grønne arealet er 
\[
V_1 = \frac{\cos \theta \sin \theta}{2},
\]
det fiolette
\[
V_2 = \frac{\theta}{2}
\]
og det røde 
\[
V_3 = \frac{\tan \theta}{2} = \frac{\sin \theta}{2\cos \theta }.
\]
Fra ulikheten $V_1\leq V_2 \leq V_3$
får vi 
\[
\cos \theta \sin \theta \leq \theta \leq \frac{\sin \theta}{\cos \theta }.
\]
Hvis vi antar at $\theta > 0$,
og deler på $\sin \theta$,
får vi 
\[
\cos \theta  \leq \frac{\theta}{\sin \theta} \leq \frac{1}{\cos \theta }
\]
og snur vi denne på hodet, 
får vi 
\[
\frac{1}{\cos \theta }  \geq \frac{\sin \theta}{\theta} \geq \cos \theta.
\]
Siden 
\[
\lim_{\theta \to 0} \cos \theta = 1
\]
går de ytterste uttrykkene begge mot 1,
og da skjønner alle barn i barnehagen at også 
\[
\lim_{h\to 0}
\frac{\sin \theta}{\theta} =1.
\] 
Den formelle regelen jeg har brukt kalles \say{skviseregelen}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Squeeze_theorem}}
Dersom $\theta <0$ blir argumentet helt likt, 
vi må bare tenke at arealene er negative og gjøre samme beregning. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
Det karakteristiske polynomet er 
\[
\lambda^2 + \frac{g}{l} = 0
\]
som gir 
\[
\lambda = \pm i\sqrt{\frac{g}{l}}
\]
og 
\[
\theta(t) = c_1 \cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right) + c_2 \sin \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right).
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
En hel runde av pendelens gang får vi når innmaten i de trigonometriske funksjonene over går fra for eksempel $0$ til $2\pi$.
Med andre ord kan tiden $T$ pendelen bruker på en periode kan hentes ut fra likningen 
\[
T\sqrt{\frac{g}{l}} = 2\pi.
\]
Du kan måle perioden til foucaults pendel ganske nøyaktig ved å filme en 
haug med perioder med telefonen din og telle dem og så 
bruke dette estimatet til å gå din vei og komme tilbake mange perioder senere
(hvor mange avhenger av hvor bra estimat du sitter på) 
og filme et nytt tidspunkt og så videre. 
Jeg holdt på med dette en høst, 
og kom vel til at perioden var sånn ca. $10.075$ sekunder,
som gir en periode på om lag 25 meter og 25 centimeter. 
(Jeg skrev aldri ned usikkerheten, 
fy og fy.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
Løsningstrajektoriene skal jo ligge på kurvene 
\[
dx + by - c\ln|x| -  a\ln|y| - by = C
\]
men vi ser tydelig fra figuren til høyre at eksplisitt Euler
ikke klarer dette.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Her er kode: \\
\url{folk.ntnu.no/mortano/lotkavolterra/}\\
for å få et plott av $f$ evaluert på den numeriske løsningstrajektorien. 
I mappen finner du også rustkode om du liker det.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
Se her: \\
\url{folk.ntnu.no/mortano/pendelen/}
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1019943}
\end{center}


\end{document}
