<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\input{preamble}

\title{1 - 2 - FUNKSJONER}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


Funksjoner er overalt.
Det er essensielt Ã¥ forstÃ¥ hva en funksjon er.
PÃ¥ skolen har du lÃ¦rt mye om funksjoner fra $\mathbb R$ til $\mathbb R$,
og jeg kommer til Ã¥ anta at stoffet i IMFs oppfriskningskurs er kjent:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/oppfrisk/2023/start}

\begin{oppgave}{1}
FÃ¥ tak i \say{Adams: Calculus} (en gammel en gÃ¥r bra, jeg bruker stort sett syvende utgave) og les kapittel P og sjekk at du har kontroll.
SlÃ¥ heretter opp i denne dersom du er usikker pÃ¥ noe.  
\end{oppgave}

Det finnes mange typer funksjoner enn de du lÃ¦rte om pÃ¥ skolen. 
En funksjon 
\[
f:\; A\to B
\]
er en regel som tilordner ett og bare ett element i 
mengden $B$ til hvert element i $A$.
Mengden $A$ kalles \textbf{domenet} eller \textbf{definisjonsmengden} til $f$, 
og $B$ kalles \textbf{kodomenet}.
De verdiene som kommer ut av $f$ nÃ¥r man stapper inn hele $A$ i $f$, 
kalles \textbf{bildet} eller \textbf{verdimengden} til $f$ og skrives $f(A)$.
Bildet er inneholdt i kodomenet $B$. 
Det er ikke alltid sÃ¥ lett Ã¥ vite nÃ¸yaktig hva bildet til en funksjon er, 
og det hadde vÃ¦rt litt slitsomt Ã¥ ikke kunne snakke om en funksjon uten Ã¥ kjenne bildet,
og derfor gjÃ¸r vi det enkelt, 
og opererer med kodomene istedet.

\begin{oppgave}{2}
Tegn en skisse av funksjonene $f:\mathbb R \to \mathbb R$ gitt ved
\[
f(x)=e^x
\]
og 
$g:(0,\infty) \to \mathbb R$ gitt ved
\[
g(x)=\ln x
\]
for hÃ¥nd. 
Hva er bildene til $f$ og $g$?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/M1005166}
\end{center}

Det du putter inn i en funksjon 
kalles \textbf{den uavhengige variabelen},
mens det du fÃ¥r ut kalles \textbf{den avhengige variabelen}.
Man tenker at man stÃ¥r nogenlunde fritt til Ã¥ spesifisere den uavhengige variabelen,
og sÃ¥ er den avhengige variabelen gitt av regelen $f$. 
Mange kvantitative modeller er uttrykt som funksjoner. 
For eksempel er Shockleys diodelov gitt ved
\[
i(v)=i_0\left(e^{v/v_0}-1\right)
\]
der $i$ er strÃ¸mmen gjennom en ideell diode som funksjon av spenningen $v$ over den.
Parameteren $i_0$ kalles \textit{reversstrÃ¸mmen} 
(dette er maksimal tillatt strÃ¸m i sperreretningen) 
mens $v_0$ kalles \textit{den termiske spenningen}.
Et annet eksempel er definisjonen pÃ¥ $pH$:
\[
pH\left(\left[\ce{H3O+}\right]\right)=-\log \left[\ce{H3O+}\right]
\]
Her er konsentrasjonen  $[\ce{H3O+}]$ av oksoniumioner (i mol/L)  den uavhengige variabelen
og $pH$ den avhengige variabelen.
Som du ser er det viktig Ã¥ ikke bli forvirret av notasjon,
og det er viktig at du venner deg til at den uavhengie eller avhengige variabelen kan hete alt mellom himmel og jord;
$x$ eller $v$ eller  $[\ce{H3O+}]$ eller noe helt annet.


\begin{oppgave}{3}
Apropos logaritmer og pH og slikt. Hva er forskjellen pÃ¥ $\ln$ og $\log$? \\
(Det beste er Ã¥ huske definisjonen pÃ¥ begge to og bare skrive dem opp. 
Richard Feynman hadde en teknikk der han satt seg ned for Ã¥ forklare konseptet til en tolvÃ¥ring;
om han klarte dette var visst lakmustesten pÃ¥ om han hadde forstÃ¥tt det selv. 
Programmerere har gjerne en badeand pÃ¥ pulten som de forklarer alt til for Ã¥ sortere tankene.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rubber_duck_debugging}})
\end{oppgave}

Funksjoner fra $\mathbb R$ til $\mathbb R$ er blant de aller viktigste,
og det er hensiktsmessig Ã¥ huske de vanligste grafene siden de dukker opp overalt i anvendelser.
I lengden blir det litt klÃ¸nete Ã¥ si \say{la $f:(0,\infty) \to \mathbb R$ vÃ¦re gitt ved $f(x)=\ln x$} hver eneste gang
vi skal prate om logaritmefunksjonen,
sÃ¥ derfor slurver vi ofte og sier bare $\ln x$ istedet,
og sÃ¥ er det underforstÃ¥tt at definisjonsmengden er $(0,\infty)$.

\begin{oppgave}{4}
Skisser funksjonene $x$, $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $x^{1/3}$, $1/x$, $\sqrt{1-x^2}$ og $|x|$,
og gi forslag til fornuftige definisjonsmengder.
(Du finner fasit pÃ¥ side 27 i Adams.)
\end{oppgave}



Det er noen grunnleggende knep som er verdt Ã¥ huske. 
La $f(x)$ vÃ¦re en funksjon, og $a$, $b$, $c$  og $d$ konstanter.
Dersom du bytter ut den uavhengige variabelen $x$ med $x-a$,
flyttes hele funksjonen $a$ knepp bortover i koordinatsystemet,
mens $f(x)+b$ er flyttet $b$ knepp i hÃ¸yderetningen.
Funksjonen $f(cx)$ er strukket i lengderetningen,
mens $df(x)$ er strukket i hÃ¸yderetningen.
Dersom $c=-1$ blir funksjonen speilet om $y$-aksen,
mens $d=-1$ speiler om $x$-aksen.

\begin{oppgave}{5}
Skisser funksjonene $x-1$, $(x+2)^2$, $x^3-1$, $1+\sqrt{4x-1}$, $1-x^{1/3}$, $2-1/x$, $1-\sqrt{1-x^2}$ og $1+|x+1|$,
ved Ã¥ bruke disse knepene samt forrige oppgave.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.12]{../figurer/img20210415_17422544}
\end{center}

Forresten. 
Du mÃ¥ plotte i Python. 
Dette kommer du til Ã¥ gjÃ¸re mye. 
Programmering er nyttig, 
matematikken vi gjÃ¸r i dette semesteret
induserer fine programmeringsoppgaver.
Glem Geogebra.

\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-2}}[7mm]

\begin{oppgave}{6}
Dobbeltsjekk i python at du har gjort oppgave 6 riktig.
SÃ¸k opp \say{plot exponential function python} eller noe liknende for Ã¥ finne ut hvordan.
\end{oppgave}

Punktene som passer i likningen $y=f(x)$ kalles \textbf{grafen} til $f$. 
Dersom du bytter plass pÃ¥ $x$ og $y$ slik at du fÃ¥r likningen $x=f(y)$,
speiles hele greia om linjen $x=y$.

\begin{oppgave}{7}
Skisser kurven gitt av likningen $x=y\sin y$
for hÃ¥nd og dobbeltsjekk i python.
\end{oppgave}

Dette leder til noe som kalles 
\textbf{den inverse funksjonen}.

\begin{oppgave}{8}
Les kapittel 3.1 i Adams for Ã¥ finne ut hva dette er.
\end{oppgave}

I grove trekk finner man det inverse funksjonsuttrykket ved Ã¥ lÃ¸se likningen $y=f(x)$ for $x$. 

\begin{oppgave}{9}
Finn $f^{-1}$ dersom $f:\mathbb R \to \mathbb{R}$ er gitt ved
$
f(x)=e^x.
$
\end{oppgave}

Men vi kan stÃ¸te pÃ¥ noen problemer.

\begin{oppgave}{10}
Finnes den inverse funksjonen til 
$f:\mathbb R \to \mathbb{R}$ er gitt ved
\[
f(x)=x^2+2x+2?
\]
Hva skjer nÃ¥r du prÃ¸ver Ã¥ finne den? Tegn opp. 
\end{oppgave}



Problemet med oppgaven over er at $x^2+2x+2$ ikke er \textbf{injektiv}.
En funksjon 
$
f:\; A\to B
$
er injektiv dersom $f(x)=f(y)$ impliserer at $x=y$. 
For funksjoner fra $\mathbb R$ til $\mathbb R$ kan man si at
grafen til en injektiv funksjon krysser hver 
vannrette linje i $xy$-planet maksimalt en gang.


\begin{oppgave}{11}
Hvilke av funksjonene i oppgave 4 er injektive dersom definisjonsmengden er $\mathbb R$? 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
Funksjonen $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ gitt ved
\[
f(x)=2x^2+2x+2
\]
er injektiv. Finn og skisser den inverse funksjonen.\\
(Hint: sett $2x^2+2x+2=y$ og lÃ¸s for $x$ med $abc$-formelen.)
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{13}
Funksjonen $f:A \to \mathbb{R}$ gitt ved
\[
f(x)=\sin x
\]
er injektiv om du velger $A$ med litt omhu. 
Gi et eksempel pÃ¥ en $A$ som duger.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.33]{../figurer/img20210519_18503552}
\end{center}

La oss nÃ¥ komplisere funksjonstypen noe.
En funksjon kan fint ha flere avhengige og uavhengige variable.
Vi definerer

\begin{minipage}{70mm}
$\mathbb{R}^n$: alle vektorer
\[
\mathbf x=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
\]
der $x_k$-ene er reelle tall,

\end{minipage}
\begin{minipage}{20mm}
    og
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
$\mathbb{C}^n$: 
alle vektorer
\[
\mathbf z=
\begin{pmatrix}
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_n
\end{pmatrix}
\]
der $z_k$-ene er komplekse tall.
\end{minipage}

Hvorfor vi skriver disse vektorene pÃ¥ hÃ¸ykant
og ikke liggende som du er vant til,
kommer vi tilbake til.
Vi skal etterhvert skrive vektorer bÃ¥de pÃ¥ hÃ¸ykant og lavkant.

Her er et eksempel pÃ¥ en funksjon av flere variable.
La $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ vÃ¦re gitt ved
\[
f\left(x_1,x_2\right) = 2x_1 + 3x_2.
\]
Her er det tre variable Ã¥ holde styr pÃ¥,
to inn ($x_1$ og $x_2$) og en ut ($f(x_1,x_2)$).
Av og til skriver vi $f\left( \mathbf{x} \right)$ eller $f(x,y)$,
det kommer litt an pÃ¥ hva som er mest praktisk der og da.


\begin{oppgave}{14}
Hva slags geometrisk objekt tror du grafen til $f$ er? Er $f$ injektiv? Invers? \\
(Hint: Hva slags geometrisk ting beskriver likningen $2x_1+3x_2-x_3=0$?\\
Dette lÃ¦rte du pÃ¥ skolen, men de kalte det nok $2x+3y-z=0$ istedet.)
\end{oppgave}

\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-2}}[7mm]

\begin{oppgave}{15}
	La oss ta en litt mer komplisert en. Plott $f(x,y) =  x + y - \ln|x| - \ln|y|$ i python.\footnote{\url{https://matplotlib.org/stable/gallery/mplot3d/surface3d.html}}
\end{oppgave}

Punktene som passer i likningen
\[
	C = f(x,y)
\]
kalles en \textbf{nivÃ¥kurve} til $f$ siden $f$ er konstant lik $C$ pÃ¥ den.
Du kan tenke pÃ¥ kurvene som \textit{ekvidistansjelinjene pÃ¥ et orienteringskart},
der $f$ angir terrengets hÃ¸yde over havet,
og $(x_1,x_2)$.

\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-2}}[7mm]

\begin{oppgave}{16}
Matplotlib har funksjonalitet for Ã¥ plotte nivÃ¥kurver.\footnote{\url{https://matplotlib.org/stable/gallery/images_contours_and_fields/contour_demo.html}}
PrÃ¸v begge funksjonene over.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.15]{../figurer/img1365}
\end{center}

Punktene som passer i en likning slik som $C = x + y - \ln|x| - \ln|y|$,
kalles en \textbf{algebraisk kurve}.\footnote{Punktene som passer i likningen $y=f(x)$,
    altsÃ¥ grafen til $f$, er ogsÃ¥ en algebraisk kurve.}
Det finnes en annen mÃ¥te Ã¥ representere slike kurver pÃ¥,
nemlig ved funksjoner fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}^2$.
Dette kalles en \textbf{vektorvaluert funksjon},
siden den avhengige variabelen er en vektor.
Som vi skal se senere,
er det ikke sÃ¥ godt Ã¥ finne en slik funksjon for $C = x + y - \ln|x| - \ln|y|$.
La oss ta en enklere en.

\begin{oppgave}{17}
Skisser funksjonen $x: \left[ 0,3\pi/2 \right] \to \mathbb{R}^2$ gitt ved
    \[
        \mathbf{x}(t) =
        \begin{pmatrix}
            x_1(t)\\
            x_2(t)
        \end{pmatrix}
        =
        \begin{pmatrix}
            \cos t \\
            \sin t
        \end{pmatrix}
    \]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{18}
Hva med $y: \left[ 0,\pi \right] \to \mathbb{R}^2$ gitt ved
    \[
        \mathbf{y}(t) =
        \begin{pmatrix}
            y_1(t)\\
            y_2(t)
        \end{pmatrix}
        =
        \begin{pmatrix}
            2\cos t \\
            \sin t
        \end{pmatrix}
        ?
    \]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
Enn $z: \left[ -1,1 \right] \to \mathbb{R}^2$ gitt ved
    \[
        \mathbf{z}(t) =
        \begin{pmatrix}
            z_1(t)\\
            z_2(t)
        \end{pmatrix}
        =
        \begin{pmatrix}
            t^3 \\
            t^2
        \end{pmatrix}
        ?
    \]
\end{oppgave}

En funksjon med flere variable ut kan ogsÃ¥ ha flere variable inn.
La $F: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ vÃ¦re gitt ved
\[
    \mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right)
    =
    \begin{pmatrix}
        f_1\left( \mathbf{x} \right) \\
        f_2\left( \mathbf{x} \right)
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
        2x_1 + 3x_2 \\
        4x_1 + 5x_2
    \end{pmatrix}
\]



\begin{oppgave}{20}
    Er denne funksjonen injektiv?
    Invers?
\end{oppgave}

En funksjon fra $\mathbb{R}^2 $ til $ \mathbb{R}^2$
kalles et \textbf{vektorfelt},
og du kan visualisere dem som vannstrÃ¸m sett ovenfra,
for eksempel i en fjord.
Den avhengige variabelen er GPS-koordinaten,
og den uavhengige variabelen er vannstrÃ¸mmens retning og fart.
En klassiker er
\[
    \mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right)
    =
    \begin{pmatrix}
        F_1\left( \mathbf{x} \right) \\
        F_2\left( \mathbf{x} \right)
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
        x(1-y) \\
        y(x-1)
    \end{pmatrix}
\]

\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-2}}[7mm]

\begin{oppgave}{21}
Pythonfunksjonen for denne typen plot heter "quiver". NÃ¥ kan du google selv.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{22}
Her er plot av ymse greier fra oppgavene over. Hva er hva?
\end{oppgave}

\begin{minipage}{55mm}
\includegraphics[scale=1]{../figurer/lotkavolterra-1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
    \includegraphics[scale=1]{../figurer/lotkavolterra-2}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
    \includegraphics[scale=.25]{../figurer/lotkavolterra-3}
\end{minipage}


\clearpage


La oss ta litt klassisk derivasjon.
For funksjoner fra $\mathbb R$ til $\mathbb R$ defineres \textbf{stigningstallet}
som
\[
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\]
dersom grenseverdien eksisterer;
i sÃ¥ fall er $f$ \textbf{deriverbar} i $x$.
Ã… definere grenseverdi ordentlig er ganske teknisk,
sÃ¥ det venter vi litt med.
\textbf{Tangentlinjen} til $f$ i $x$ er $p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ gitt ved
\[
    p(s) = f(x) + f'(x)(s-x)
\]
og tallet $f'(x)$ er \textit{opp delt pÃ¥ bort} pÃ¥ denne linjen.

\begin{center}
    \includegraphics[scale=.2]{../figurer/tangent}
\end{center}

\begin{oppgave}{23}
Bruk definisjonen over til Ã¥ vise at $x^2$ har derivert $2x$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{24}
Bruk definisjonen over til Ã¥ vise at $x^n$ har derivert $nx^{n-1}$ dersom $n$ er et naturlig tall.\\
(Her mÃ¥ du kunne noen triks om hvordan man ganger ut $(x+h)^n$.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{25}
Det finnes en snedig formel for den deriverte til $f^{-1}$. Utled at
\[
\frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
\]
dersom $f^{-1}$ eksisterer, $f$ er deriverbar og $f'(f^{-1}(x))\neq 0$.\\[2mm]
(Hint: Deriver likningen $f\left( f^{-1}(x) \right) = x$)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1018563}
\end{center}

Dersom $f$ har flere uavhengige variable,
kan vi finne stigningen med hensyn pÃ¥ alle disse.
Det kalles partiellderivert,
og er definert slik:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_k}=
\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots, x_k+h,\cdots, x_n)-f(x_1,x_2,\cdots, x_k,\cdots, x_n)}{h}
\]
Dette ser helt forferdelig ut,
men er lett Ã¥ utfÃ¸re i praksis.
La igjen $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ vÃ¦re gitt ved
\[
f(\mathbf{x}) = 2x_1 + 3x_2.
\]
For Ã¥ finne den partiellderiverte med hensyn pÃ¥ $x_1$ later du som om $x_2$ er konstant,
og deriverer som vanlig med hensyn pÃ¥ $x_1$:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_1}=
2
\]
Likeledes for $x_2$:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_2}=
3
\]

ForhÃ¥pentligvis klarte du Ã¥ resonnere deg frem til at
grafen til $f$ er et plan med normalvektor
\[
    \begin{pmatrix}
        2 \\
        3 \\
        -1
    \end{pmatrix}
\]
og vi ser at de partiellderiverte er stigningstallet til
$f$ i koordinatretningene $x_1$ og $x_2$.

\begin{oppgave}{26}
    Finn de partiellderiverte til $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ gitt ved
\[
f(\mathbf{x}) = 2x_1 + 3x_2 + x_1 x_2.
\]
    og plott $f$ i et eller annet verktÃ¸y.
\end{oppgave}

\begin{minipage}{95mm}
Det er vanlig Ã¥ tenke pÃ¥ en funksjon fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}^2$ som
trajektorien til en flue som spaserer rundt pÃ¥ arket.
Vi bruker $\mathbf{x}$ (=posisjon) for den uavhengige variabelen
og $t$ (=tid) for den uavhengige variabelen,
samt en spesiell notasjon for den tidsderiverte,
oppfunnet av Isaac Newton:
\[
\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{x}'(t) =\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{x}(t+h)-\mathbf{x}(t)}{h}
\]
Den deriverte $\dot{\mathbf{x}}(t)$ gir tangenten til kurven ved tiden $t$.

\begin{oppgave}{27}
Finn tangentene til kurvene i oppgave 17-19 over.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.07]{../figurer/img20210415_17300375}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{oppgave}{28}
Om $f^{-1}=f$,
kalles det \say{selv-invers}.
Kan du finne noen slike? Hvordan ser det ut geometrisk?
\end{oppgave}


\clearpage


\begin{comment}
\section*{HVA SKAL DU MED DETTE?}

Her kommer litt om hva du trenger ukens stoff til akkurat nÃ¥.

\subsection*{DEN IDEELLE GASSLOV}

Den ideel-le gasslov gir opphav til forskjellige funskjoner.
Du kan tenke pÃ¥ den ideelle gasslov enten som en empirisk lov
som sakte men sikkert ble oppdaget pÃ¥ 1600-tallet og utover via
Boyles lov,
Charles lov,
Avogadros lov og Guy-Lussacs lov,
eller som en utledet regel i statistisk mekanikk.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_gas_law}}
Den sier at i en ideell gass fÃ¸lger trykket $p$, temperaturen $T$
og volumet $V$ formelen
\[
\frac{pV}{T}=nR=Nk,
\]
der vi har med oss
\begin{itemize}
\item[$k$:] Boltzmanns konstant\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant}}

\item[$R$:] Den ideelle gasskonstant\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gas_constant}}


\item[$N$:] Antall gassmolekyler

\item[$n$:] Antall mol gassmolekyler \\
(husk at $N=N_An$, der $N_A=6.02214076\cdot 10^{23}$/mol er Avogadros konstant)
\end{itemize}

Hvis man liker bedre statistisk mekanikk,
kan man skrive
\[
\frac{3}{2} \frac{pV}{N}=\frac{3}{2} k T=\frac{1}{2}m v^2
\]
der $v$ er forventningsverdien til den $\chi$-fordelte\footnote{leses \say{kji}} 
partikkelhastigheten.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwellâ€“Boltzmann_distribution}}
PÃ¥ folkemunne sier vi at $v$ er gjennomsnittshastigheten til gassmolekylene,
men dette er ikke helt presist.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_theory_of_gases}}

\begin{oppgave}{1}
Skisser (nÃ¸yaktig!) trykk som en funksjon av temperatur ved konstant volum,
og temperatur som funksjon av trykk ved konstant volum.\\
(Husk inverse funksjoner!)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Gjenta for trykk og volum ved konstant temperatur.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Gjenta for temperatur og volum ved konstant trykk.
\end{oppgave}


\subsection*{SHOCKLEYS DIODELOV}

I en krets er en diode markert ved symbolet

\begin{circuitikz}
\draw (0,0) to [D] (2,0);
\end{circuitikz}

Shockleys diodelov er en enkel modell som beskriver oppfÃ¸rselen til dioden. 
Den sier at
\[
i(v)=I_0\left(e^{\frac{v}{v_0}}-1\right)
\]
der $i$ spenningen over dioden som funksjon av strÃ¸mmen gjennom den. 
ReversstrÃ¸mmen $i_0$ er den maksimale strÃ¸mmen dioden tÃ¥ler i sperreretning fÃ¸r den ryker.
Den termiske spenningen $v_0$ er gitt ved
\[
v_0=\frac{kT}{nq}
\] 
der 
\begin{itemize}
\item[$k$] er Boltzmanns konstant:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant}
\item[$T$] er temperaturen i Kelvin: \\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Kelvin}
\item[$q$] er elektronladningen:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_charge}\\
og
\item[$n$] er en diodespesifikk idealitetsfaktor:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Diode}
\end{itemize}

\begin{oppgave}{1}
Lag et plott av $i$ mot $v$.  
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Finn $v(i)$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Dersom du kobler to identiske dioder i parallell slik:\\ 
\begin{circuitikz}
\draw (0,.3) to [D] (2,.3);
\draw (2,1.7) to [D] (0,1.7);
\draw (0,.3) to (0,1.7);
\draw (2,1.7) to (2,.3);
\draw (-1,1) to (0,1);
\draw (2,1) to (3,1);
\end{circuitikz}

blir forholdet mellom strÃ¸m og spenning gitt ved
\[
i(v)=I_0\left(e^{\frac{v}{v_0}}-e^{-\frac{v}{v_0}}\right)
=2I_0\sinh\left( \frac{v}{v_0} \right)
\]
Forklar.
\end{oppgave}

Hvis du gÃ¥r MTKJ og tilfeldigvis leser dette, 
kan jeg avslÃ¸re at denne parallellkoblingen av dioder dukker 
opp pÃ¥ anoden i en eller annen elektrokjemisk celle.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Butlerâ€“Volmer_equation}}
\end{comment}


\clearpage

\section*{LÃ˜SNINGSFORSLAG}

    \begin{oppgave}{3}
        Vi definerer $\log x$ som det tallet slik at
        \[
            10^{\log x} = x
        \]
        og $\ln x$ som det tallet slik at
        \[
            e^{\log x} = x.
        \]
        Dette er i bunn og grunn det eneste du trenger Ã¥ huske,
        resten er lett Ã¥ utlede fra regnereglene for eksponensialfunksjonen.
        For eksempel er
        \[
            \log xy = \log x + \log y
        \]
        siden
        \[
            10^{\log xy} = xy
        \]
        og
        \[
            10^{\log x + \log y} = 10^{\log x}10^{\log y}=xy.
        \]

    \end{oppgave}

    \begin{oppgave}{6}
        Jeg har en liten kodesnutt i en mappe som heter python/plotte/generisk som ser slik ut:
        \begin{lstlisting}
            import numpy as np
            import matplotlib.pyplot as plt

            x=np.linspace(0,np.pi,500)
            y=np.sin(x)

            plt.plot(x,y)
            plt.savefig('plotte.png')
        \end{lstlisting}
        Akkurat denne plotter sinusfunksjonen pÃ¥ intervallet $[0,\pi]$ og lagrer den i en fil.
        Skal jeg plotte noe annet,
        modifiserer jeg bare denne kodesnutten litt.
        Dette er en litt bedre strategi enn wolframalpha og geogebra dersom
        du ikke er vant til Ã¥ programmere,
        for du blir vant til Ã¥ ha en IDE stÃ¥ende oppe pÃ¥ laptopen din.
        Det kommer du med stor sannsynglighet til Ã¥ ha resten av livet ditt,
        med mindre du skal jobbe i HR-avdelingen eller som direktÃ¸r og waine og daine viktige folk i dress.
        VSCode er et greit valg.
        Om du er skikkelig barsk,
        kjÃ¸rer du koden i terminal.
        Husk Ã¥ google nÃ¥r du stÃ¥r fast,
        og ikke mist gnisten av at du ikke husker syntaks.
        En god IDE hjelper deg med slikt.
        Jeg skriver for eksempel dette her i PyCharm.
        Er du skikkelig barsk bruker du VIM.

        Hvis du bare kopierer koden over inn i IDEen din kan det tenkes den ikke kjÃ¸rer,
        for det kan vÃ¦re du fÃ¥r med noen tegn som ikke er synlige pÃ¥ skjermen din eller liknende.
        Det er bedre at du vet
        Se ellers her:\\
        \url{https://missing.csail.mit.edu/}
    \end{oppgave}

\clearpage

\begin{oppgave}{7}
Bytter du om $x$ og $y$ i forrige kodesnutt, fÃ¥r du denne figuren:
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{../figurer/xsinx}
\end{center}
\end{oppgave}

\clearpage

\begin{oppgave}{10}
    La oss sette
    \[
        y=x^2 + 2x +2
    \]
    og lÃ¸se for $x$ med $abs$-formelen:
    \[
        x = \frac{-2\pm \sqrt {4 - 4(2-y)}}{2} = -1\pm \sqrt {y-1)}.
    \]
    To funksjonsuttrykk! JÃ¸ye meg.
    PÃ¥ attenhundretallet ville de kanskje sagt at den inverse funksjonen hadde to funksjonsverdier,
    men dette er ikke lov nÃ¥.
    Den korrekte oppfÃ¸rselen er nÃ¥ Ã¥ si at funksjonen vi vil invertere er $f: [-1,\infty]$ gitt ved
    \[
        f(x)=x^2 + 2x + 2
    \]
    som har invers $f^{-1}:[1,\infty]$ gitt ved
    \[
        f^{-1}(x) = -1 + \sqrt{x-1}
    \]
    eller eventuelt invertere
    $g: [-\infty,-1]$ gitt ved
    \[
        g(x)=x^2 + 2x + 2
    \]
    som har invers $g^{-1}:[1,\infty]$ gitt ved
    \[
        g^{-1}(x) = -1 - \sqrt{x-1}
    \]
    Her er et plot av $f$:
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{../figurer/invers}
\end{center}
\end{oppgave}

\clearpage





\begin{oppgave}{14}
    Alle punktene som passer i likningen $2x+3y-z=0$ ligger pÃ¥ et plan gjennom origo ($x=y=z=0$ passer i likningen)
    med normalvektor $(2,3,-1)$.
    Dette lÃ¦rte du pÃ¥ skolen.
    Konklusjonen er at funksjonen
    \[
        z=f(x,y)=2x+3
    \]
    eller
    \[
        z = f\left( x_1,x_2 \right) = 2x_1 + 3x_2
    \]
    om du vil (venn deg til begge!) bÃ¸r visualiseres (ihvertfall i begynnelsen) som dette planet.
    Tenk at $x_1$ og $x_2$ er gps-koordinatene,
    og sÃ¥ angir $f$ hÃ¸yden over havet.
    \end{oppgave}


\begin{oppgave}{15}
    Figuren under ble produsert med fÃ¸lgende kode,
    modifiserte litt fra matplotlib.org:
    \begin{lstlisting}

        import matplotlib.pyplot as plt
        from matplotlib import cm
        import numpy as np
        plt.style.use('_mpl-gallery')

        x = np.arange(0.001, 10, 0.1)
        y = np.arange(0.001, 10, 0.1)
        X, Y = np.meshgrid(x, y)
        Z = X + Y - np.log(X)-np.log(Y)

        fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={"projection": "3d"})
        ax.plot_surface(X, Y, Z, vmin=Z.min() * 2, cmap=cm.Blues)

        ax.set(xticklabels=[],yticklabels=[],zticklabels=[])

        plt.savefig("lotkavolterra-1")

    \end{lstlisting}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=1.5]{../figurer/lotkavolterra-1}
\end{center}

    \end{oppgave}


\begin{comment}
\section*{UKENS NEVRO}

Litt stress hjelper deg til Ã¥ huske bedre, 
mens mye stress, spesielt over lang tid, 
Ã¸delegger arbeidsminnet ditt. 
Dette gjelder ikke bare hukommelse,
men ogsÃ¥ annen kognitiv funksjon. 
Her er en figur fra \say{Behave - The Biology of Humans at Our Best and Worst} av Robert Sapolsky:

\begin{center}
\includegraphics[scale=.17]{../figurer/stress}
\end{center}

Som student pÃ¥ NTH kommer du til Ã¥ oppleve stress,
og det er viktig Ã¥ lÃ¦re stresshÃ¥ndtering. 

\begin{itemize}
\item Steg Ã©n er Ã¥ puste med nesen.
Det finnes ikke sÃ¥ mye forskning pÃ¥ dette, 
for det er ingen farmasÃ¸ytiske selskap som tjener penger pÃ¥ at folk puster med nesen. 
Men jeg tror jeg setter penger pÃ¥ det allikevel. 
Du fÃ¥r visst mindre hull i tennene og.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Mouth_breathing}}. 

\item Steg to er Ã¥ komme seg av telefonskjermen. Dopaminet ditt bÃ¸r du spare til den belÃ¸nningen du opplever nÃ¥r du mestrer noe vanskelig.
Dette er ogsÃ¥ vanskelig Ã¥ finne forskning pÃ¥,
for ingen selskaper tjener penger pÃ¥ Ã¥ fÃ¥ folk av telefonen.
(De tjener derimot bra med penger pÃ¥ Ã¥ fÃ¥ folk \textit{pÃ¥} telefonen.)
Men jeg tror jeg setter penger pÃ¥ denne og.\footnote{\url{https://www.potsdam.edu/studentlife/wellness/counseling-center/what-does-screen-time-do-my-brain}}

\item Kom deg ut.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Exercise}}

\end{itemize}

\end{comment}
\clearpage

\section*{GAMLE EKSAMENSOPPGAVER MED LÃ˜SNING}

\begin{oppgave}{1}
La $f: [0,2]\to [0,30]$ vÃ¦re gitt ved
\[
f(x)=x^4+x^3+x^2+x.
\]
GjÃ¸r rede for at $f$ har en invers funksjon $g$, og finn $g'(4)$.\\[5mm]
\textbf{LÃ¸sning:}
    Vi ser at
\[
f'(x)=4x^3+3x^2+2x+1&gt;0
\]
for $x \in [0,2]$. 
Derfor er $f$ monotont stigende,
fÃ¸lgende injektiv,
og den inverse funksjonen eksisterer.
Vi ser relativt raskt at $f(1)=4$,
slik at $g(4)=1$,
og beregner
\[
g'(4)=\frac{1}{f'(g(4))}=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{10}.
\]
    \end{oppgave}
\end{document}
</pre></body></html>