
\input{preamble}

\title{1 - 13 - EKSAMENSTRENING}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle



\section*{1 - TALL}


\begin{oppgave}{1}
Vis at $\sqrt{2}$ ikke kan skrives som en brøk $m/n$ der $m$ og $n$ er hele tall.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Forklar hva et komplekst tall er,
tegn wesselplanet, 
utled regneregelen 
\[
\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i
\]
og vis at $z$ og $iz$ står vinkelrett på hverandre i det komplekse planet.
\end{oppgave}



\section*{2 - FUNKSJONER}


\begin{oppgave}{1}
Skriv opp definisjonen på den deriverte og bruk den til å vise at $x^n$ har derivert $nx^{n-1}$ dersom $n$ er et naturlig tall.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
Skriv opp definisjonen på invers funksjon og vis at 
\[
\frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
\]
dersom $f^{-1}$ eksisterer, $f$ er deriverbar og $f'(f^{-1}(x))\neq 0$.
Tegn en figur som illustrerer denne derivasjonsregelen,
og vis at 
\[
\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}.
\]
\end{oppgave}



\section*{3 - LIKNINGER}

\begin{oppgave}{1}
Gjør rede for Newtons metode, 
og forklar hvorfor iterasjonen blir
\[
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Forklar hva fikspunktiterasjonen er,
og bruk sekantsetningen 
til å vise at for fikspunktiterasjonen finnes det,
dersom $g$ er deriverbar, en $s$ mellom $x_n$ og $r=g(r)$ slik at 
\[
x_{n+1}-r=g'(s)(x_n-r).
\]
\end{oppgave}

\section*{4 - DIFFERENSIALLIKNINGER}

\begin{oppgave}{1}
Newtons avkjølingsproblem er gitt ved
\[
\dot{T}(t)+\alpha \left(T(t)-T_K\right)=0 \qquad T(0)=T_0,
\]
der $T$ er temperaturen i en ting som avkjøles eller varmes opp av omgivelsene,
$T_K$ er temperaturen til omgivelsene,
og $T_0$ er temperaturen i tingen ved eksperimentets start.
Vis at løsningen er
\[
T(t) = T_K + (T_0-T_K)e^{- \alpha t}.
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
Løsningene til den homogene likningen
\[
\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0
\]
utgjør for alle kombinasjoner av $b$ og $c$ et todimensjonalt vektorrom,
men løsningsformelen ser litt forskjellig ut alt etter verdien på $\sqrt{b^2-4c}$.
Gjør rede for de tre tilfellene.
\end{oppgave}

\section*{5 - DIFFERENSIALLIKNINGSSYSTEMER}

\begin{oppgave}{1}
Forklar hvorden Eulers eksplisitte metode fungerer,
og skriv opp metodens rekursjonslikning for lotkavolterraproblemet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Utled pendellikningen
\[
\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin \theta=0,
\]
der $\theta$ er vinkelutslaget,
$l$ er pendelens lengde og $g$ er tyngdeakselerasjonen.
Forklar hva et førsteintegral er,
og utled at
\[
m\frac{1}{2}\left( l \dot \theta  \right)^2-mgl \cos \theta=C
\]
for pendellikningen.
\end{oppgave}

\section*{6 - LIKNINGSSYSTEMER}

\begin{oppgave}{1}
Skriv opp formelen for $3\times 3$-determinant. 
Forklar hva den regner ut,
og hvordan du kan bruke svaret til å avgjøre 
hvorvidt et lineært likningssystem med tre likninger og tre ukjente har entydig løsning.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Skriv opp definisjonen på lineær uavhengighet og vis at dersom
\[
 \mathbf{w}=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_n\mathbf{v}_n
 \]
 og
$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n$ er lineært uavhengige, så
er $c_1, c_2, \cdots, c_n$ entydig bestemt.
\end{oppgave}



\begin{comment}



\begin{oppgave}{3}
Skriv en kode som løser likningen $x=\cos x$ med fikspunkiterasjonen eller Newtons metode.
\end{oppgave}








\begin{oppgave}{2}
La
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 7
\end{pmatrix}
\]
og 
\[
\mathbf y=
\begin{pmatrix}
4 \\
5 \\
3 
\end{pmatrix}.
\]
Regn ut $A^{-1}$ og bruk denne til å løse likningssystemet
\[
A\mathbf x = \mathbf y.
\]
\end{oppgave}



\section*{8 - VEKTORROM}


\begin{oppgave}{2}
Et punkt har koodinatene $(4,5,3)$ i standardbasisen for $\mathbb R^3$. 
Finn koordinatene til dette punktet i basisen
\[
\left\{ 
\begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
4
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4 \\
5 \\
7
\end{pmatrix}
\right\}.
\]
\end{oppgave}

\section*{9 - LINEÆROPERATORER}

\begin{oppgave}{1}
Gjør rede for at dersom vi ønsker å finne egenverdiene til matrisen $A$, 
må vi løse likningen
\[
\det (A-\lambda I)=0.
 \] 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Skriv opp definisjonen på lineæroperator,
og forklar at matrise-vektorproduktet er en lineæroperator. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{1}
Skriv om 
\[
\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0
\]
til et førsteordens system av differensiallikninger.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Finn alle løsninger til systemet
\begin{align*}
\dot z_1=& z_1 + 2z_2 + 2z_3\\
\dot z_2=& 2z_1 + 6z_2 + 2z_3 \\
\dot z_3=& 2z_1 + 2z_2 + 6z_3
\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Skriv en pythonkode som løser Lotka-Volterra-systemet
\begin{align*}
\dot{x}&=ax-bxy \qquad x(0)=x_0 \\
\dot{y}&=-cy+dxy \qquad y(0)=y_0
\end{align*}
med Eulers eksplisitte metode.
\end{oppgave}



\section*{11 - TAYLORS TEOREM}

\begin{oppgave}{1}
Utled Taylors teorem for $n=1$ fra analysens fundamentalteorem.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Vis at dersom $f''$ eksisterer og $f'(r)\neq 0$,
gjelder feilestimatet 
\[
r-x_{n+1}= - \frac{f''(s)}{2f'(x_n)}(r-x_n)^2
\]
for Newtons metode. 
\end{oppgave}

\section*{12 - INTEGRALET}

\begin{oppgave}{1}
Sannsynligheten for at en standardnormalfordelt stokastisk 
variabel $Z$ havner mellom $a$ og $b$ i et forsøk, 
er arealet 
\[
P(a<Z<b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-x^2/2}\; dx.
\]
Skriv en pythonkode som regner ut dette arealet ved trapesmetoden.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Skriv en pythonkode som regner ut omkretsen 
av en ellipse med halvakser 1 og 2 ved trapesmetoden.
\end{oppgave}



\section*{STUDIEPROGRAMSPESIFIKKE OPPGAVER}

Poenget med disse emnene er jo at du skal skjønne hva matematikken kan brukes til,
og derfor blir det en oppgave som er fagfeltspesifikk.
I en slik oppgave kan du velge selv hva du vil gjøre. 
Jeg antar det beste er å velge en oppgave som passer studieprogrammet ditt.
Det etterstrebes lik vanskelighetsgrad på oppgavene,
og det vil komme LF, 
slik at vi ikke trenger å bruke forelesningstid på dem.

\begin{oppgave}{1}
Velg en av oppgavene under:
\begin{itemize}
\item[MTELSYS, MTTK:] Skriv opp aksiomene for boolsk algebra og vis at $x+x=x$.
\item[MTTK, MTKJ:] Skriv opp aksiomene for gruppe og vis at identitets- og inverselementene er entydige.
\end{itemize}
\end{oppgave}


\end{comment}
%\begin{oppgave}{1}
%Velg en av oppgavene under:
%\begin{itemize}
%\item[MTELSYS, MTTK:] Finn strømmene
%\item[MTKJ:] Balanser reaksjonslikningen
%\end{itemize}
%\end{oppgave}

%\begin{oppgave}{1}
%Velg en av oppgavene under:
%\begin{itemize}
%\item[MTELSYS:] Bruk Kirchhoffs spenningslov til å finne de lovlige spenningene i en lukket sløyfe med en spole, en kondensator og en motstand.
%\item[MTTK:] PID
%\item[MTTK:] Radioaktiv nedbrytning. 
%\end{itemize}
%\end{oppgave}

\end{document}
