\input{preamble}

\title{1 - 10 - KVADRATUR}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle
Hvis du sitter på en øde øy og trenger å finne arealet under 
en kurve til høy presisjon med penn og papir,
kan du bruke riemannsummer,
men det finnes bedre teknikker.
Dette kalles \textbf{kvadratur}:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration}

La oss si at vi ønsker å finne en approksimasjon til 
\[
\int_a^b f(x)\; dx.
\]
Lagranges interpolasjonspolynom 
\[
f(x) \approx p(x) = \sum_{k=0}^nf_{k}l_{k}(x)
\]
gir en enkel strategi 
for numerisk integrasjon.
Vi deler $[a,b]$ i et eller annet
gitter med $a=x_0$ og $b=x_n$, 
og skriver
\[
\int_a^b f(x)\; dx \approx \int_a^b p(x)\; dx =  \int_a^b \sum_{k=0}^n f(x_k)  l_k(x)\; dx = \sum_{k=0}^n f(x_k)  \int_a^b l_k(x)\; dx
\]
Integralene 
\[
w_k=\int_a^b l_k(x)\; dx
\]
kalles \textbf{vektene} og er trivielle å beregne siden $l_k$ er polynomer.
Formelen
\[
\int_a^b f(x)\; dx \approx \sum_{k=0}^n w_k f(x_k)  
\]
kalles en \textbf{kvadraturregel}.

\begin{oppgave}{1}
Hvis du tar $n=1$ i formelen over,
får du en metode du allerede kan.
Hvilken?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/img20210601_15285318}
\end{center}

For $n=1$ får man trapesregelen
\[
\int_a^b f(x)\; dx \approx \frac{b-a}{2}\left(f(a)+f(b)\right)
\]
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoidal_rule}\\
Det finnes mange mange kvadraturregler,
og vi har i bunn og grunn bare en ting å variere på,
nemlig gitteret. 
For høyere presisjon kan vi skru opp $n$ 
og variere på hvordan gitterpunktene er fordelt på $[a,b]$.
Når gitteret er ekvidistant:
\[
x_k=a+kb/n \hspace{20mm} 0\leq k\leq n
\]
kalles det \textbf{Newton-Cotes-kvadratur}:\\[3mm]
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Newton–Cotes_formulas}\\[3mm]
Dersom gitteret er nullpunktene til chebyshevpolynomene, 
får du \textbf{clenshawcurtiskvadratur}:\\[3mm]
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Clenshaw–Curtis_quadrature}\\[3mm]
og dersom det er nullpunktene til legendrepolynomene, 
får du \textbf{gausskvadratur}:\\[3mm]
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_quadrature}\\[3mm]
Newton-Cotes for $n=2$ er for eksempel en klassiker og kalles Simpsons metode:
\[
\int_a^b f(x)\; dx \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{b+a}{2}\right)+f(b)\right)
\]
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule}\\

\begin{oppgave}{2}
Finn en integrasjonsrutine og beregn 
\[
\int_0^1 e^{-x^2/2}\; dx
\]
til høyest mulig presisjon. 
Alt er lov. 
Fordelen med å gjøre det i et ordentlig språk som C++, 
FORTRAN eller RUST,
er at for-løkker går kjapt. 
RUST har til og med innebygget funksjonalitet for parallellisering. 
(Premie til den som klarer maskinpresisjon på kortest mulig kjøretid.)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{3}
Lag en animasjon av løsningen til varmelikningsproblemet med initialkrav $u(x,0)=e^{-\frac{1}{x(\pi-x)}}$.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/img20210601_15221299}
\end{center}


%\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Weight_function}




\end{document}
