\input{preamble}

\title{1 - 1 - TALL}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%primtall

\maketitle
%husk litt om telling pga mikrotilstander i termo

På Gløshaugen og andre steder opererer vi stort sett med seks \textbf{tallmengder}:
\[
\mathbb N\subset \mathbb Z\subset \mathbb Q\subset \mathbb R\subset \mathbb C\subset \mathbb H
\]
Den innerste tallmengden, $\mathbb N$, 
kalles \textbf{naturlige tall}, 
og det er disse du bruker når du teller:
\[
\mathbb N=\left\{1, 2, 3, 4...\right\}
\]
De første sikre arkeologiske tegn på menneskelig bruk 
av tall er fra Mesopotamia og oppsto omtrent 3400 BC.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_ancient_numeral_systems}}
Havørnen kan telle til tre,\footnote{\url{https://www.uib.no/ka/50862/levde-med-ørn}}
og det finnes visst en papegøye som kan telle til seks.\footnote{\url{https://link.springer.com/article/10.1007/s10071-006-0034-7}}
Derfor er det kanskje ikke helt riktig å si at tall i seg selv er en menneskelig oppfinnelse. 

Men mennesket har funnet opp noen tall som ikke dyrene har bruk for. 
Det er for eksempel ikke nødvendig for en bavian eller en sjimpanse å vite hvordan 
man trekker tre fiken fra fem eller deler tre fiken på fem individer,
for de lever i voldelige mannsdominerte hierarkier, 
og den som er høyest i hierarkiet spiser alltid opp alle fiknene om han er sulten. 
Men vi trenger slikt. 
Den neste tallmengden, $\mathbb Z$, kalles \textbf{hele tall}. 
Disse består av de naturlige tallene samt de negative heltallene og null:
\[
\mathbb Z=\left\{0,1,-1, 2, -2...\right\}
\]
De negative tallene ble oppfunnet av en kineser omtrent 200 AD, 
selv om vi i vesten liker å si at de ble oppfunnet av Rene Descartes på 1600-tallet.
Null er en litt eldre oppfinnelse, 
her snakker vi Egypt nesten to tusen år Kristus,
men ovennevnte papegøye har visst en slags ide om hva null er,
så jeg vet ikke helt. 
Den egyptiske hieroglyfen for null, nfr, betyr noe sånt som vakker. 
Mayaindianerne oppdaget også null, 
men det var mye senere, 
omtrent år null. 

Den neste, de \textbf{rasjonale tallene} $\mathbb Q$, 
er alle brøker 
\[
\mathbb Q=\left\{\frac{a}{b}\hspace{5mm} \text{der}\hspace{5mm} a,b \in \mathbb Z,\; b\neq 0  \right\}
\]
De positive rasjonale tallene har antageligvis vært i bruk lengre enn de negative hele tallene,
men det er ikke så godt å vite. 
Det er ikke utenkelig at noen mennesker hadde en ide om hvordan man skulle dele tre epler likt på fem personer lenge før skriftspråk oppsto, 
men de første sikre skriftlige kilder er fra noen hundre år før Kristus.
Euklids Elementer fra omtrent 300 BC er kanskje den mest kjente.
De rasjonale tallene har noen problemer - 
slett ikke alle tall kan skrives som en brøk!
Dette har vært kjent i India siden omtrent 700 BC,
og på lunsjrommet vårt fortelles røverhistorien at Hippasos ble 
kastet på havet av Pytagoras da han oppdaget dette.
(Dette var visst pinlig for Pytagoras, 
som hele livet hadde påstått at alle tall kunne skrives som en brøk.)

\begin{oppgave}{1}
Vis at  $\sqrt{2}$ ikke kan skrives som en brøk. 
\end{oppgave}

\clearpage

Det er noe litt uforløst over å ha et tallsystem der det ikke finnes noe tall for diagonalen 
i et kvadrat med sidekant 1,
så derfor har vi funnet opp tallet 
\[
\sqrt{2}\approx 1.4142\dots,
\]
og en svær haug med liknende problemer har ledet oss til å finne opp \textbf{reelle tallene} $\mathbb R$. 
Det er ikke så lett å forklare hva disse er.
Richard Dedekind var selv veldig spesifikk på at han skrev 
ned den første presise definisjonen den 24. november 1858,
men Georg Cantor var først ute med å publisere en alternativ definisjon i 1871. 
De reelle tallene kan defineres på mange måter,
men det enkleste er kanskje slik:
\[
\mathbb R= \left\{ \text{alle regler for å dele de rasjonale tallene i to}\right\}
\]
For eksempel identifiserer vi $\sqrt[3]{2}$ med mengden av alle rasjonale tall $p$ slik at $p^3<2$.


Et grundig studium av de reelle tall er mest interessant for matematikere,
og Isaac Newton fant ut av differensialregning lenge før noen skjønte hva de reelle tallene var for noe.
Hvis du skjønner at ikke alt kan skrives som en brøk, 
har du kommet lenger enn Pytagoras.
\footnote{Antagelig er røverhistorien over ikke sann. 
Historikerne vet lite om Pytagoras.}
Det er viktigere å skjønne de \textbf{komplekse tallene} $\mathbb C$. 
Moderne teknologi er utenkelig uten komplekse tall. 
Den første som begynte å fikle med dette, 
var Girolamo Cardano i 1545, 
i forbindelse med løsninger av polynomlikninger.
Cardano løste en tredjegradslikning,
men man kan introdusere komplekse tall ved å studere noe enklere.
Likningen 
\[
x+2=0
\]
har ingen positiv løsning,
og derfor har vi funnet opp $-2$.
Likningen 
\[
3x-2=0
\]
har ingen heltallig løsning,
og derfor har vi funnet opp $\frac{2}{3}$.
Likningen 
\[
x^2-2=0
\]
har ingen rasjonal løsning,
og derfor har vi funnet opp $\sqrt{2}$.
Likeledes har ikke likningen 
\[
x^2+1=0
\]
noen reell løsning, 
så vi kan like gjerne finne opp et tall til. 
Det kalles den imaginære enheten, 
skrives $i$, 
og kjennetegnes ved at 
\[
i^2=-1.
\]

\begin{oppgave}{2}
Hva må du gange med seg selv for å få -4?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.13]{../figurer/L1007073-Pano}
\end{center}

Hvis man skal skrive opp definisjonen av de komplekse tallene, 
kan det være lurt å ta følgende oppgave først. 
Husk $abc$-formelen for løsning av andregradslikninger.

\begin{oppgave}{3}
Finn alle løsninger av likningen
$x^2+2x+2=0$,
bruk $i$ til å skrive opp svaret på en fornuftig måte,
og faktoriser polynomet
$
p(x)=x^2+2x+2.
$
\end{oppgave}

Oppgavene over inspirerer oss til å definere komplekse tall på kartesisk form:
\[
\mathbb C = \left\{z=a+bi\hspace{3mm} \hspace{3mm} \text{der}\hspace{3mm} a,b \in \mathbb R \right\}
\]
\begin{minipage}{95mm}
De reelle tallene $a$ og $b$ 
kalles \textbf{realdelen} og {\textbf{imaginærdelen}} til $z$,
og skrives $\text{Re}(z)$ og $\text{Im}(z)$. 
Et komplekst tall likner på mange måter en vektor i $\mathbb R^2$. 
Vi kan tenke at realdelen $a$ og imaginærdelen $b$ er komponenter i en vektor,
og avmerke $z$ i \textbf{det komplekse planet}.
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[->] (-4,0) -- (7,0);
\draw[->] (0,-1) -- (0,4);
\node[anchor=east] at (9.8,0) {\footnotesize $\text{Re}(z)$};
\node[anchor=south] at (0,3.8) {\footnotesize $\text{Im}(z)$};
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
\foreach \y in {-1,1,2,3}
\draw (5pt,\y) -- (-5pt,\y);
\filldraw (2,3) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$z=2+3i$};
%\filldraw (2,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$\overline z=2-3i$};
%\filldraw (4,5) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$w=4+5i$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

Regneregler for komplekse tall følger regnereglene for reelle tall, 
men du må huske at $i^2=-1$.
La $z=a+bi$ og $w=c+di$.
Vi har\\
\begin{minipage}{80mm}
\begin{align*}
z+w\hspace{1mm}&=\hspace{1mm}a+c+(b+d)i \\[4pt]
z-w\hspace{1mm}&=\hspace{1mm}a-c+(b-d)i \\[4pt]
z\cdot w\hspace{1mm}&=\hspace{1mm}ac-bd+(bc+ad)i\\[4pt]
\frac{z}{w}\hspace{1mm}&=\hspace{1mm}\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\vspace{2mm}
\[
i^k=
\begin{cases}
\hspace{4mm}1 & k = 0,4,8\dots \\[3mm]
\hspace{4mm}i & k = 1,5,9\dots \\[3mm]
\hspace{1mm}-1 & k = 2,6,10\dots \\[3mm]
\hspace{1mm}-i & k = 3,7,11\dots 
\end{cases}
\]
\end{minipage}

Merk at komplekse tall legges sammen komponentvis akkurat som vektorer i $\mathbb R^2$.
Multiplikasjon og divisjon har ingen tilsvarende operasjoner i $\mathbb R^2$ i 'vanlig bruk'.

\begin{oppgave}{4}
La $z=2+3i$ og $w=4+5i$. 
Regn ut $z+w$, $z-w$, $z\cdot w$, $z/w$,
$z^2$ og $z^3$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Utled regnereglene.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.22]{../figurer/L1007147-Pano}
\end{center}

Den siste regneregelen over var kanskje ikke helt triviell.
Når vi deler et komplekst tall på $z=a+bi$, 
ganger vi oppe og nede med \textbf{$z$ konjugert}:
\[
\overline z =a-bi
\]
Merk at $z\overline z=a^2+b^2$ er et reelt tall. 


\begin{minipage}{20mm}
\begin{oppgave}{6}
Vis at:
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{130mm}
\vspace{-4mm}
\begin{align*}
\overline{z+w}&=\overline{z} + \overline{w} \hspace{17mm} 
\overline{z\cdot w}=\overline{z} \cdot \overline{w} \hspace{13mm} 
z+\overline{z}=2a  \\[1mm]
\overline{z-w}&=\overline{z} - \overline{w} \hspace{18mm} 
\overline{z/ w}=\overline{z} / \overline{w} \hspace{14mm} 
z-\overline{z}=2bi  
\end{align*}
\end{minipage}
\vspace{-1mm}

\begin{minipage}{80mm}
Avstanden $r$ fra det komplekse tallet ${z=a+bi}$ til origo, 
og vinkelen $\theta$ med den reelle aksen,
kalles det komplekse tallet $z$ sine  \textbf{polare koordinater}.
Foorhåpentligvis er du enig i at 
\begin{align*}
a= r\cos \theta \\
b= r\sin \theta 
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[->] (-5,0) -- (8,0);
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,6);
\node[anchor=west] at (9,0) {\footnotesize $\text{Re}(z)$};
\node[anchor=south] at (0,6) {\footnotesize $\text{Im}(z)$};
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7}
\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5}
\draw (5pt,\y) -- (-5pt,\y);
\filldraw (4,5) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$z=a+bi$};
%\filldraw (0,1) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{e}_2$};
%\filldraw (-1,-2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{u}$};
%\filldraw (3,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{v}$};
%\filldraw (1,4) circle [radius=3pt] node[anchor=south] {$A \V{e}_1$};
%\filldraw (3,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{e}_2$};
%\filldraw (-7,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$A \V{u}$};
%\filldraw (9,6) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{v}$};
\draw[-] (0,0) to (4,5);
\node[anchor=south] at (2,3) {\footnotesize $r$};
\draw (3,0) arc (0:51:3);
\node[anchor=south] at (3.3,1.1) {\footnotesize $\theta$};
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (0,1) to[bend right=30] (3,-3);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (-1,-2) to[bend right=20] (-7,2);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (3,2) to[bend left=20] (9,6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

 Vi skriver ellers
 \[|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline z}\]
 for avstanden fra $z$ til origo. 
 Dette tallet kalles gjerne \textbf{absoluttverdi} eller \textbf{modulus} til $z$. 
 Vinkelen 
 $\theta= \arg z$
 kalles \textbf{vinkelen} eller \textbf{argumentet} til $z$. 
Geometrien til de komplekse tallene er litt annerledes enn du kanskje er vant til.

\begin{minipage}{40mm}
\begin{oppgave}{7}
Vis at $\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{\overline z}{|z|^2}$.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{120mm}
\begin{oppgave}{8}
Velg et komplekst tall $z$ og
tegn $z$, $iz$, $-z$ og $-iz$. Hva ser du?
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{9}
La $z = 1 + \sqrt{3}i$.
Regn ut $z/|z|$ og
tegn $\left(z/|z|\right)^k $ for alle $k \in \mathbb Z$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
La $\displaystyle z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ og $w=1+i$.
Tegn $z^kw $ for alle $k \in \mathbb Z$.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1007153}
\end{center}

Hvis du lurer på hvorfor du må lære om komplekse tall, 
så er det korte svaret at den imaginære enheten er 
fysisk sett akkurat like uunværlig som kvadratroten av to,
du må bare kunne litt mer avansert fysikk før dette blir klart.\footnote{\url{https://www.scientificamerican.com/article/quantum-physics-falls-apart-without-imaginary-numbers/}}
Dere som går MTKJ og MTELSYS skal alle lære kvantefysikk, 
og de første kvantedatamaskinene er allerede bygget,\footnote{\url{https://www.scientificamerican.com/article/googles-quantum-computer-achieves-chemistry-milestone/}}
så dette kan bli nyttig kunnskap for en fremtidig ingeniør.

For dere som går MTTK og skal styre satelitter og slikt,
er antagelig \textbf{kvaternionene} $\mathbb H$
vel så viktige;
man bruker dem til å holde styr på et legemes orientering i rommet.
De ble oppdaget av 
W. D. Hamilton i 1843,
og er en utvidelse av de komplekse tallene.
Utvidelsen består i at man legger til to nye imaginære enheter $j$ og $k$, 
definert av relasjonene
\[
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = −1.
\]
Hamilton fikk den sentrale aha-opplevelsen på tur over en steinbro midt i Dublin,
og skrapte likningen umiddelbart inn i rekkverket på broen med en brevåpner han hadde i lommen. 
Inksripsjonen er dessverre vekk. 
Et kvaternion ser slik ut
\[
z=z_0 + z_1i + z_2j + z_3k.
\]
der $z_0$, $z_1$, $z_2$ og $z_3$ er reelle tall. 
Realdelen $z_0$ kalles \textbf{skalardelen},
mens imaginærdelen $z_1i + z_2j + z_3k$ kalles \textbf{vektordelen}.


\begin{oppgave}{11}
Utled regnereglene
\[
ij=-ji=k \hspace{10mm}
jk=-kj=i \hspace{10mm}
ki=-ik=j \hspace{10mm}
\]
Likner dette på noe du har lært på gymnaset?\\
(Hint: du bør ha kryssproduktet og høyrehåndsregelen i bakhodet.)
\end{oppgave}

Som du kan se er multiplikasjon mellom kvaternioner er ikke \textbf{kommutativt}.
Dette er litt awkward i begynnelsen;
hvis du ikke har vært med i abelkonkurransen eller noe, 
er antagelig alt du har sett til nå i livet vært kommutativt.\footnote{
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_property}
}
Det er viktig å venne seg til at enkelte ting ikke er kommutativt, 
for kommutering ligger i bånn for Heisenbergs usikkerhetsprinsipp.\footnote{
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle}
}

\begin{oppgave}{12}
Regn ut 
\[
zw=
(z_0 + z_1i + z_2j + z_3k)
(w_0 + w_1i + w_2j + w_3k)
\]
og 
\[
wz=
(w_0 + w_1i + w_2j + w_3k)
(z_0 + z_1i + z_2j + z_3k)
\]
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1007196}
\end{center}

Vi konjugerer kvaternioner akkurat som vi konjugerer komplekse tall:
\[
\overline z = z^* = 
z_0 - z_1i - z_2j - z_3k
\]

\begin{oppgave}{13}
Akkurat $z$ og $\overline z$ kommuterer faktisk med hensyn på multiplikasjon. 
Regn ut $z\overline z$ og $\overline z z$.
\end{oppgave}

Dette kan brukes til å definere absoluttverdi $\sqrt{\overline{z}z}$,
samt finne invers. 

\begin{oppgave}{14}
La 
\[
z=z_0 + z_1i + z_2j + z_3k
\hspace{10mm}
\text{og }
\hspace{10mm}
z^{-1}=\frac{1}{|z|^2}(z_0 - z_1i - z_2j - z_3k)
\]
Vis at $zz^{-1}=z^{-1}z=1$.
\end{oppgave}




Jeg foretrekker vanligvis å begynne indeksering fra en og ikke null,
men akkurat for kvaternioner er det en fordel å begynne på null.
\footnote{
Det er et mysterium hvorfor 
alle programmeringsspråk insisterer på å 
indeksere fra 0 istedet for 1. 
Hvis du har en vektor med tre elementer, 
er det mer naturlig å kalle dem 
$x[1]$, $x[2]$ og $x[3]$
enn 
$x[0]$, $x[1]$ og $x[2]$,
og skriver du for i in range(n) i python 
må du huske på at denne går fra 0 til n-1,
ikke fra 1 til n:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Off-by-one_error}
}
Grunnen er at man i anvendelser ofte er interessert 
i å tenke på imaginærdelen som et punkt i $\mathbb R^3$.
Regnereglene for de imaginære enhetene $i$, $j$ og $k$ 
illustrerer nemlig hvorfor vi i gamle dager skrev
\[
\mathbf i = 
\begin{pmatrix}
1 \\
0\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{10mm}
\mathbf j = 
\begin{pmatrix}
0 \\
1\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{10mm}
\mathbf k = 
\begin{pmatrix}
0 \\
0\\
1
\end{pmatrix}
\hspace{10mm}
\]
for standardbasisen i $\mathbb R^3$, 
og 
\[
\mathbf z
=
z_1 \mathbf i+ 
z_2 \mathbf j+ 
z_3 \mathbf k
\]
for vektorer i $\mathbb R^3$.
Denne notasjonen er nå gått av moten,
og det er i bunn og grunn synd, 
for hvis man skriver alt slik,
kan man bruke høyrehåndsregelen til å 
huske formelen for kryssprodukt. 

\begin{oppgave}{15}
La 
\[
z=
z_1i + z_2j + z_3k
\]
og 
\[
w=
w_1i + w_2j + w_3k
\]
og regn ut $\overline z w$ og se om det ser kjent ut. 
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1007194}
\end{center}

\begin{comment}
En tekst i  matematikk inneholder en serie utsagn. 
Disse kan man sortere i utsagn som kan være enten riktige eller gale, 
og utsagn som ikke kan være enten riktige eller gale. 
Sistnevnte kalles \textbf{definisjoner}:


\textit{Et rasjonalt tall er et tall $q=\frac{a}{b}$ der $a$ og $b\neq 0$ er hele tall.}

Alle mennesker står fritt til å definere hva de mener med rasjonale tall,
og derfor kan dette utsagnet hverken være riktig eller galt. 
Hvis du prøver deg på en alternativ definisjon 
som går på tverke med konvensjonen i resten av verden,
vil nok mange hevde at definisjonen din er feil, 
men den er strengt tatt bare mot strømmen.
Utsagn som kan være enten riktige eller gale
kalles \textbf{teoremer}:

\textit{Det finnes ikke noe rasjonalt tall $p$ slik at $p^2=2$.}

Slike påstander må utledes,
og dette kan være overraskende vanskelig.
Utsagnet over er sant, 
men ikke innlysende.
For eksempel er det ingen som vet om påstanden

\textit{Det finnes uendelig mange tvillingprimpar,  
slik som 11 og 13 eller 29 og 31.}

er sann eller ikke.
Av og til er det så vanskelig å utlede nyttige 
faktaopplysninger at vi må la det være.
Utsagnet 

\textit{Alle hele tall kan faktoriseres i primtall på en entydig måte.} \footnote{Det er derfor vi definerer at 1 ikke er et primtall, 
for ellers hadde dette teoremet blitt mer klønete å skrive opp.
}

ble ikke bevist korrekt før på 1800-tallet, 
og det er altfor vanskelig for oss,
mens utsagnet 

\textit{Det finnes uendelig mange primtall.}

er akkurat innafor det en interessert sivingstudent kan tenke ut på egenhånd,
eller ihvertfall skjønne noe av om vedkommende får forklart ideen.
Studiet av primtall er både fascinerende og nyttig. 
Moderne kryptografi er for eksempel utenkelig uten primtall.
\footnote{\url{https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-15453-0_9}}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1007208}
\end{center}

Dette er innafor å hoppe over vanskelige beviser i et matematikkurs for sivilingeniører,
men ikke i et matematikkurs for matematikkstudenter. 
Et stringent studium av matematikk begynner gjerne 
med litt mengdelære. 
En \textbf{mengde} er en samling med ting, kalt \textbf{elementer}. 
I grunnleggende matematikk er elementene gjerne tall, 
mens i sannsynlighetsregning er elementene utfall. 
I studier av symmetri, 
kan elementene være forskjellige måter å orientere et legeme på i rommet.
Vi kan også ha en punktmengde i planet eller i rommet, 
en sirkelskive eller et kuleskall,
eller noe helt annet.

For eksempel er
\vspace{-2mm}
\[
A=\{1,2,3,4,5\}
\]
en mengde med fem elementer, og 
\vspace{-2mm}
\[
B=\{1,3,5, \pi\}
\]
en mengde med fire elementer,
og primtallene en mengde med uendelig mange elementer.
\footnote{Dette ble bevist av Euklid omtrent 300 BC.}
Vi skriver 
\[
\pi \in B
\]
for å uttrykke at $\pi$ er et 
av elementene i $B$.
To vanlige operasjoner på mengder, 
er {union}:
\[
\cup
\]
og {snitt}:
\[
\cap
\] 
Unionen mellom $A$ og $B$ er 
er en mengde som inneholder alle elementer som er med i  
enten $A$ eller i $B$ eller i begge:
\[
A\cup B=\{1,2,3,4,5,\pi\}
\]
Snitt er en mengde som inneholder de elementene som er i både $A$ og i $B$:
\[
A\cap B=\{1,3,5\}
\]
Dersom alle elementer i en mengde $A$ er inneholdt i en større mengde $B$, 
skriver vi
\[
A \subset B,
\]
som er er det samme som at 
\[
A \cap B=A.
\]
Dersom det hersker litt usikkerhet om hvorvidt  $A \subset B$ eller $A=B$
skriver vi 
\[
A \subseteq B.
\]
Vi skriver 
\[
A-B
\]
for mengden av alle elementer som er i $A$, men ikke i $B$, 
og  
\[
\overline{A}  
\]
(leses \text{\say{ikke $A$}}) for alle elementer som ikke er i $A$. 
En mengde uten elementer kalles \say{den tomme mengden},
og ser slik ut:
\[
\emptyset
\]
Denne er praktisk å ha, 
for nå kan vi skrive 
$
A\cap B = \emptyset
$
for å uttrykke at $A$ og $B$ ikke har noen felles elementer,
og
$
A\neq \emptyset
$
for å uttrykke at det finnes noen elementer i $A$.


I dette kurset spiller ikke mengder en kjempesentral rolle, 
men for eksempel sannsynlighetsregning blir veldig mye enklere
dersom man forstår grunnleggende mengdelære.
Et utfall er noe som kan skje, 
og en hendelse er en mengde av utfall.
Mengden av alle utfall kalles utfallsrommet.





Tallmengdene over er eksempler på noe som kalles  
en \textbf{algebraiske strukturer}. 
En algebraisk struktur er en mengde med elementer og en eller 
flere binære regneregler for å kombinere dem. 
Så og si alle regneregler du er vant til, er binære; 
de kombinerer to elementer til et nytt element. 
De klassiske eksemplene er addisjon og multiplikasjon. 
Vi sier at en mengde er lukket under en regneregel dersom 
alle kombinasjoner av elementer også er med i mengden.
For eksempel er mengden 
\[
A=\{1,2,3,4,5\}
\]
ikke lukket under addisjon, 
siden 
\[
3+4=7 \notin A.
\]
Alle rasjonale tall er for eksempel lukket under addisjon, 
siden summen av to rasjonale tall er et rasjonalt tall.
Hvis vanlig regning var alt en ingeniør trengte,
hadde livet vært greit. 
Men grunnen til at det er lurt å vite hva en algebraisk struktur er, 
er at de brukes til å lage teoretiske modeller for tings oppførsel.
Her er noen eksempler:

\begin{itemize}
\item \textbf{Kropper} brukes til å modellere helt vanlig regning. Moderne elektroteknikk hadde vært temmelig knotete uten komplekse tall. 
\item \textbf{Grupper} brukes til å modellere romlige symmetrier. Dette er viktig i analyse av molekyler og molekylgitre. For ikke å snakke om tapetmønstre. De brukes også til å holde styr på rotasjoner i rom. Dette er viktig i reguleringsteknikk. 
\item \textbf{Boolsk algebra} brukes til å modellere oppførselen til datamaskinen din. Dette er viktig i digitallogikk og teoretisk informatikk. 
\item \textbf{Vektorrom} brukes til å holde styr på løsningene til lineære differensiallikninger. 
\item \textbf{Indreproduktrom} brukes i geometri, til å modellere frekvensinnholdet i signaler, og atomer og molekylers kvantemekaniske tilstander. 
\end{itemize}


For alle algebraiske strukturer setter vi opp  \textbf{aksiomer}. 
Et aksiom er et element i en smørbrødliste i en definisjon. 
Du kan tenke på det som en slags liten definisjon inni en annen definisjon. 
Når en matematiker sier at han eller hun forstår et eller annet, 
betyr det noe sånt som at vedkommende skjønner omtrent hvordan dette er utledet fra et sett med aksiomer.
Nå tar vi en rask gjennomgang av strukturene i listen over.

\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{../figurer/img920}
\end{center}

En \textbf{kropp}\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)}} 
er en algebraisk struktur med to {operasjoner}, 
addisjon ($+$) og  og mutliplikasjon ($\cdot$):\\
Det er vanlig å sløyfe gangetegnet, 
og skrive
$
x\cdot y= xy.
$
Følgende aksiomer skal være tilfredsstilt for addisjon:


%\begin{tcolorbox}[title=Addisjon,colback=blue!10]
\begin{center}
\begin{itemize}
\item[1] Addisjonen er {assositativ}: \hspace{.4cm} $(x+y)+z=x+(y+z)$ \\[.3cm]
\item[2] Addisjonen er {kommutativ}: \hspace{.2cm} $x+y=y+x$ \\[.3cm]
\item[3] {Additiv identitet}: \hspace{1.8cm} Det finnes et element 0 slik at $x+0=x$\\[.3cm]
\item[4] {Additiv invers}: \hspace{2.2cm} For hver $x$ finnes $y$ slik at $x+y=0$\\[.3cm]
\end{itemize}
\end{center}
%\end{tcolorbox}


Det additive inverselement til $x$ skrives $-x$,
og 0 er sin egen additive invers. 
Følgende aksiomer skal være tilfredsstilt for multiplikasjon:

%\begin{tcolorbox}[title=Multiplikasjon,colback=blue!10]
\begin{center}
\begin{itemize}
\item[5] Mutliplikasjonen er {assositativ}: \hspace{.5cm}$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ \\[.3cm]
\item[6] Multiplikasjonen er {kommutativ}: \hspace{.3cm}$x\cdot y=y\cdot x$.\\[.3cm]
\item[7] {Multiplikativ identitet}: \hspace{1.9cm}Det finnes et elelement 1 slik at  $1\cdot x=x$.\\[.3cm]
\item[8] {Multiplikativ invers}:\hspace{2.3cm} For hver $x\neq 0$ finnes $y$ slik at $x\cdot y=1$.\\[.3cm]
\end{itemize}
\end{center}
%\end{tcolorbox}


Det multiplikative inverselement til $x$ skrives 
$
1/x 
$
eller 
$
\frac{1}{x}.
$
Til slutt er det et aksiom for rekkefølgen på regneoperasjonene:

\begin{center}
%\begin{tcolorbox}[title=Det distributive aksiomet,colback=blue!10]
\begin{itemize}
\item[9] Multiplikasjon er distributivt over addisjon:  \\[3pt] $(x+y)\cdot z= x\cdot z+y\cdot z$.
\end{itemize}
%\end{tcolorbox}
\end{center}

Aksiomene over mange av regnereglene du lærte på barneskolen, 
for eksempel $3 \cdot 5=5\cdot 3$ og slikt.
Matematikere har skjønt at dersom man definerer kropp med aksiomene over,
følger andre regneregler som konsekvenser av disse. 
For eksempel er 
\[
0\cdot x=0
\qquad
\text{og} 
\qquad
(-1)\cdot (-1)=1
\] 
og så videre.
Vi sier at en kropp er \textbf{ordnet} dersom den er en \textbf{ordnet mengde}.
Dette betyr at 
%\begin{tcolorbox}[title=Ordnet mengde,colback=blue!10]
finnes en relasjon $<$ slik at 
\begin{itemize}
\item[1]  kun en av 
$
x < y, \hspace{3mm} x=y, \hspace{3mm} y < x
$
er sann for et gitt par $x,y$
\item[2] dersom $x < y$ og $y < z$ er  $x < z$ for alle $x,y,z$
\end{itemize}
%\end{tcolorbox}

Tallmengdene $\mathbb Q$, $\mathbb R$ og $\mathbb C$ er alle kropper,
men bare $\mathbb Q$ og $\mathbb R$ er ordnede;
det finnes massevis av komplekse tall som er \say{like store}.
Den siste egenskapen kalles \textbf{transitivitet},
og selv bavianer har god peling på dette.\footnote{\url{https://academic.oup.com/beheco/article/24/2/511/250731}}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.26]{../figurer/L1007168}
\end{center}


\textbf{Boolsk algebra} er oppkalt etter George Boole.
Dette er en algebraisk struktur med minst to elementer, 
og to operasjoner, $+$ og $\cdot$.

%\begin{tcolorbox}[title=Aksiomer for $+$,colback=blue!10]
\begin{center}
\begin{itemize}
\item[1] $x+ y=y+ x$.
\item[2] Det finnes et elelement 0 slik at  $0+ x=x$.
\item[3] For hver $x$ finnes $y$ slik at $x+ y=1$.
\item[4] $x\cdot y=y\cdot x$.
\item[5] Det finnes et elelement 1 slik at  $1\cdot x=x$.
\item[6] For hver $x$ finnes $y$ slik at $x\cdot y=0$.
\item[7] $x \cdot ( y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.\\[.3cm]
\item[8] $x +y\cdot z=(x+y)\cdot(x+z)$.\\[.3cm]
\end{itemize}
\end{center}
%\end{tcolorbox}

Som du ser er dette helt annerledes enn kropp. 
Vi har \textbf{komplement} (aksiom 3 og 6) istedet for invers, 
og assosiatitivitet er ikke med fordi det kan utledes av de andre aksiomene.
Distributivitet kommer i to varianter, 
ikke bare i én som vi er vant til fra kropp. 
Regnereglene blir nå helt annerledes,
for eksempel er $x+x=x$ og at $xx=x$.

Alt dette blir selvfølgelig mindfuck i begynnelsen, 
men dette er en nyttig modell av digitallogikk,
og alt blir lettere å forstå om man sier \say{og} for $\cdot$ og \say{eller} for $+$.
Du kan tenke på $x$ som et utsagn som er enten sant eller usant.
Uttrykket 
\[
x+x=x
\]
betyr bare at \say{$x$ og $x$ har den samme sannhetsverdien som $x$} eller noe slikt.

\begin{center}
\includegraphics[scale=.45]{../figurer/img912}
\end{center}

En annen algebraisk struktur kalles \textbf{gruppe}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)}}
Denne har bare én binær operasjon, 
og er en av de mest fundamentale algebraiske strukturene.
Den binære operasjonen $\cdot$ skal være assosiativ,
gruppen $G$ må inneholde
%\begin{tcolorbox}[colback=blue!10,title=En gruppe må inneholde]
En gruppe må inneholde
\begin{itemize}
\item[1] et identitetselement e slik at $g\cdot e=e\cdot g=g$ for alle $g \in G$. 
\item[2] et inverselement for alle $g \in G$, altså et element $g^{-1}$ slik  $g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=e$ 
\end{itemize}
%\end{tcolorbox}
Det var alt. 
Grupper brukes til å modellere symmetri. 
Det for eksempel kun mulig å konstruere syv frisemønstre,\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Frieze_group}}
og sytten tapetmønstre. \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group}}
Krystallstrukturer kommer i trettito varianter, 
og disse er veldig viktige i faststoffysikk og kjemi og så videre.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_system}}
Tolvtonesystemet vi bruker i vestlig musikk er en gruppe som heter $\mathbb Z_{12}$.\footnote{\url{https://www.jstor.org/stable/25164658}}


De to siste algebaiske strukturen vi skal smake på er vektorrom og indreproduktrom,
men disse er pensum i år, 
så det kommer, bare å glede seg. 

\begin{center}
\includegraphics[scale=.45]{../figurer/img913}
\end{center}

\clearpage

\end{comment}

\section*{FLERE OPPGAVER}

\begin{oppgave}{16}
Vis at $|z|^2=|z^2|$. Er $|z|^3=|z^3|$?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{17}
Richard Feynman kalte formelen 
\[
e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta 
\]
for \say{vår juvel}. 
Denne kan du utlede ved å derivere funksjonen
\[
f\left(\theta\right) = \frac{\cos \theta + i\sin \theta }{e^{i\theta}}
\]
og så se hva som skjer når $\theta = 0$. \\
(Derivasjonsreglene du kjenner fra gymnaset også funker når det står en $i$ her og der.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{18}
Likningen 
\[
z^n = w
\]
der $w$ er et spesifisert tall har alltid $n$ distinkte løsninger dersom du kan komplekse tall. 
Finn alle løsninger til 
\[
z^5 = 1+i.
\]
(Hint: Bruk Eulers formel. 
Du har lov til å bruke vanlige regneregler for potenser. 
Se også oppgave 9 og 10 over for inspirasjon.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
Mer generelt gjelder at alle polynomlikninger har en løsning dersom du kan komplekse tall. 
Løs likningen 
\[
x^2 + x + 1 = 0
\]
og faktoriser polynomet
\[
p(x) = x^2 + x + 1.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{20}
Enn
$
p(x) = x^3 + x^2 + x - 3?
$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{21}
Dersom $p$ er et polynom og $p(z)=0$,
sier vi at $z$ er en rot for polynomet. 
Vis at dersom et polynom har reelle koeffisienter, 
kommer røttene i komplekskonjugerte par.
\end{oppgave}

\begin{comment}
\begin{oppgave}{22}
I python skriver man \say{1j} for den imaginære enheten $i$. 
Skriv en kode som regner ut alle løsninger av oppgave 18 over og plotter dem i det komplekse planet.
\end{oppgave}
\end{comment}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.38]{../figurer/L1001032}
\end{center}

\clearpage

\section*{LØSNINGSFORSLAG}

\begin{oppgave}{1}
Det finnes ingen hele tall slik at 
\[
\sqrt{2}=\frac{m}{n}.
\]
Dette kan vi bevise som følger. 
Anta at det finnes hele tall $m$ og $n$ slik at likningen over holder.
Vi kan anta at $m$ og $n$ ikke har noen felles faktorer, 
for hvis de hadde hatt det, 
kunne vi bare forkortet brøken til de ikke lenger hadde det. 
Vi ganger nå hele likningen med $n$,
og kvadrerer, slik at vi får
\[
2n^2=m^2.
\]
Av denne likningen ser vi at $m^2$ må være et partall. 
Men dersom $m^2$ skal være et partall, 
må jo $m$ være et partall, 
og dette betyr at $m^2$ må være delelig med fire. 
Dette betyr at $m^2/2$ er et partall, 
og hvis vi skriver
\[
n^2=\frac{m^2}{2},
\]
ser vi at $n^2$ er et partall, 
på da må $n$ være et partall. 
Men nå har vi oppnådd en selvmotsigelse. 
Vi vet jo at det må være mulig å velge $m$ og $n$ uten felles faktorer, 
og nå viser det seg at 2 må være en felles faktor allikevel.
Med andre ord er det noe som er galt her. 
Det som er galt, 
er antagelsen om at man i det hele tatt kan skrive
\[
\sqrt{2}=\frac{m}{n}
\]
for hele tall $m$ og $n$.

Eksemplet over illustrerer at dersom du har et kvadrat med sidekant 1, 
finnes det ikke noe rasjonalt tall som beskriver diagonalens lengde. 
Majoriteten av alle mennesker på jorden trenger matematikk først og fremst som et redskap for presis kvantifisering av verden rundt oss,
så dette er rett og slett ikke bra nok. 
Eksemplet over har vært kjent for menneskeheten i flere tusen år. 
Det er lett å utvide argumentet til å vise at for eksempel $\sqrt[3]{2}$
også ikke kan skrives som en brøk. 
De aller fleste tall kan faktisk ikke skrives som en brøk.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set}}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Lett! $\left(2i\right)^2 = 2i \cdot 2i = 4\cdot i^2 = -4$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Løser vi likningen
\[
x^2+2x+2=0
\]
gir annengradsformelen 
\[
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=-1\pm i,
\]
slik at
\[
x^2+2x+2=\left(x+1+i\right)\left(x+1-i\right)
\]
(Gang ut og sjekk at det stemmer.)
\end{oppgave}

\begin{minipage}{75mm}
\begin{oppgave}{4}
Vi beregner
\begin{align*}
z+w&=2+4+(3+5)i=6+8i \\[5mm]
z-w&=2-4+(3-5)i=-2-2i \\[5mm]
z\cdot w&=(2+3i)\cdot(4+5i)\\&=2\cdot 4+3\cdot 4i+2\cdot 5i+3\cdot 5 i^2\\&=8-15+(12+10)i\\&=-7+22i.\\[5mm]
\frac{z}{w}&=\frac{2+3i}{4+5i}=\frac{2+3i}{4+5i}\cdot\frac{4-5i}{4-5i}\\&=\frac{8+15+(12-10)i}{16+25}\\&=\frac{22}{41}+\frac{2}{41}i. 
\end{align*}
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{5}
Vi ganger sammen komplekse tall slik:
\begin{align*}
z\cdot w&=(a+bi)(c+di)\\
&= ac+bci+adi+bdi^2\\ 
&=ac-bd+(bc+ad)i
\end{align*}
og deler dem slik:
\begin{align*}
\frac{z}{w}&=\frac{a+bi}{c+di}= \frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di}\\[4pt]
&=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2} 
\end{align*}
Utledning av formlene for addisjon og subtraksjon er trivielle.
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{comment}
\end{comment}

\clearpage

\section*{GAMLE EKSAMENSOPPGAVER MED LØSNINGSFORSLAG}

\begin{comment}
\begin{oppgave}{1}
Vis at $\sqrt{2}$ ikke kan skrives som en brøk.

\textbf{Løsning:}
La oss anta at
\[
\sqrt{2}=\frac{m}{n}
\]
der $m$ og $n$ er heltall med ingen felles faktorer,
slik at brøken er maksimalt forkortet.
Vi ganger nå hele likningen med $n$,
og kvadrerer, slik at vi får
\[
2n^2=m^2.
\]
Av denne likningen ser vi at $m^2$ må være et partall.
Men dersom $m^2$ skal være et partall,
må jo $m$ være et partall,
og dette betyr at $m^2$ må være delelig med fire.
Dette betyr at $m^2/2$ er et partall,
og hvis vi skriver
\[
n^2=\frac{m^2}{2},
\]
ser vi at $n^2$ er et partall,
på da må $n$ være et partall.
Men nå har vi oppnådd en selvmotsigelse.
Vi vet jo at det må være mulig å velge $m$ og $n$ uten felles faktorer,
og nå viser det seg at 2 må være en felles faktor allikevel.
Med andre ord er det noe som er galt her.
Det som er galt,
er antagelsen om at man i det hele tatt kan skrive
\[
\sqrt{2}=\frac{m}{n}
\]
for hele tall $m$ og $n$.

\textbf{Kommentar:}
Det er en ganske komplisert jobb å definere de reelle tallene ordentlig.
At $\sqrt{2}$ ikke kan skrives som en brøk har vært kjent for menneskeheten i noen tusen år,
og det er interessant,
fordi det betyr at det ikke finnes noe rasjonalt tall som beskriver lengden til diagonalen i et kvadrat med sidekant 1.
\end{oppgave}
\end{comment}

\end{document}
