\input{../preambles/preamble}

\title{AUDITION FOR NYE STUDASSER}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


\begin{oppgave}{1}
Skriv opp aksiomene for komplekst indreprodukt $(\cdot,\cdot)$
og vis at dersom $\{\mathbf v_1, \mathbf v_2, \cdots, \mathbf v_n\}$ 
er en ortonormal vektormengde og
\[
\mathbf x = \sum_{k=1}^n c_k \mathbf v_k 
\]
er 
\[
(\mathbf x, \mathbf x)=\sum_{k=1}^n \left|c_k\right|^2.
\]
Forklar hvordan dette er en generalisering av pytagoras relasjon $c^2=a^2+b^2$ mellom sidekantene i en rettvinklet trekant.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Skriv opp aksiomene for komplekst indreprodukt $(\cdot,\cdot)$.
og vis at dersom $\{\mathbf v_1, \mathbf v_2, \cdots, \mathbf v_n\}$ er en ortogonal vektormengde
og 
\[
\mathbf x = \sum_{k=1}^n c_k \mathbf v_k 
\]
er 
\[
c_k=\frac{(\mathbf x,\mathbf v_k)}{(\mathbf v_k,\mathbf v_k)}.
\]
Forklar hvorfor fourierkoeffisientene $c_n$ til 
\[
x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{int}
\]
er 
\[
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x(t)e^{-int}\; dt.
\]
\end{oppgave}



\end{document}
