\documentclass[a4paper,norsk,11pt]{interaktiv}

% Importerte pakker
\usepackage{float}
\restylefloat{figure}
\usepackage{ifluatex}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[parfill]{parskip}    		% Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tcolorbox}
\newcommand{\V}[1]{\mathbf{#1}}

\ifluatex
  \usepackage{fontspec}
  \setmainfont{Calibri}
  \usepackage{unicode-math}
  \setmathfont{Cambria Math}
\else
  \usepackage[utf8]{inputenc}
\fi

\usepackage[european,americanvoltages, americancurrents, americaninductors]{circuitikz}

\usepackage{url}

% Underfigurer
\renewcommand{\thesubfigure}{(\arabic{subfigure})}

% Overskrift
\emnekode{TMA4101}
\emnenavn{Matematikk 1 for MTELSYS}
\title{Integralet III}

% Nye kommandoer
\newcommand{\dee}{\mathop{}\!{d}}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Ketsjup kan brukes til alt. 
All mat blir bedre med ketsjup. 
Slik er det også med integralet.

\begin{tcolorbox}
Integralet kan brukes til alt. 
\end{tcolorbox}

Når man lærer om integralet første gang, 
er det hensiktsmessig å fokusere på areal, 
for dette er ikke verre enn at Arkimedes klarte å beregne kompliserte areal for over to tusen år siden. 
Man trenger bare barneskolegeometri (arealet av et rektangel) og en litt komplisert grenseverdiprosess, 
og vips så er man i mål. 
I figuren under er alt illustrert med fargekoder:
\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=.15]{riemannsum.jpg}
\end{figure}

Men integralets styrke består i at arealet til de små rektanglene i histogrammet ikke trenger å representere areal. 
For eksempel kan $h$ være et tidsintervall på $t$-aksen, 
og $f(t)$ angi strømstyrke som funksjon av tiden. 
I så fall blir $f(t)h$ litt ladning, 
og 
\[
\sum f(t)h \to \int_a^b f(t)\; dt
\]
blir total opplagret ladning på en kondensator eller noe slikt  mellom tidspunktene $t=a$ og $t=b$.

\begin{oppgave}{1}
Anta at kondensatoren er utladet ved $t=0$,
og at strømkilden er gitt ved $I(t)=\sin t$.
Finn ladningen på kondensatoren ved tiden $t=\pi$.
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,2)  to (6,2)  to [ C=$C$]  (6,0)  to  (0,0); 
		\draw  (0,0) to  [I=$I$]  (0,2); 
	\end{circuitikz}
\end{center}
\end{oppgave}

Men det stopper ikke der. 
Hvis du tar en titt på figuren under, 
vil du kanskje se at lengden av grafen til $f$ fra $(a,f(a))$ til $\left(b,f(b)\right)$ er 
    \[
    \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx
    \]
    
\begin{minipage}{8cm}
    \begin{tikzpicture}[thick]

      \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]

          \draw[->] (0,0) -- (6,0);% node[right]{$x$};
   %      \draw[->] (0,0) -- (0,4);% node[above]{$t$};

             \draw[|<->|] (1.7,1.5+.1*4) --
        node[midway,fill=white,font=\scriptsize]{$h\sqrt{1+(f'(x))^2}$} (3.7,1.5+.1*16);

\draw[blue, thick] (0,1) --  (2,1+.1*4) --  (4,1+.1*16) --  (6,1+.1*36)  ;
\draw[red, thick] (2,1+.1*4) --  (4,1+.1*4) --  (4,1+.1*16)  ;

%           \node[below] at (3,1.4){$h$};
%           \node[right] at (4.3,2){$f'(x)h$};
             \draw[|<->|] (4.5,1+.1*4) --
        node[midway,fill=white,font=\scriptsize]{$f'(x)h$} (4.5,1+.1*16);
             \draw[|<->|] (2,1) --
        node[midway,fill=white,font=\scriptsize]{$h$} (4,1);



           \node[below] at (2,0){$x$};
            \node[below] at (4,0){$x+h$};
%           \node[above] at (2,-.7){$b$};
   \draw plot[domain=0:6,samples=200] (\x,{1+.1*\x*\x)}); 
       \end{scope}
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=.17]{buelengde.jpg}
\end{figure}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{2}
Finn buelengden til $y=x^{3/2}$ fra $x=0$ til $x=1$.
\end{oppgave}

Likningen for en sirkel
\[
x^2+y^2=r^2
\]
 husker du forhåpentligvis fra skolen.
Vi antar selvfølgelig at $r>0$, 
og derfor kan likningen også skrives
\[
\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1
\]
En generalisering av denne er likningen for en ellipse:
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\]
Punktene som passer i denne likningen ligger på en ellipse sentrert i origo og med halvakser $a$ og $b$.

\begin{oppgave}{3}
Finn omkretsen av en ellipse med halvakser 1 og 2. 
(Begynn med å finne en funksjon $y=f(x)$ som beskriver øvre halvdel av ellipsen.
Integralet du ender opp med kan ikke beregnes analytisk, 
så du må nok til med riemannsummer eller taylorrekker.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Finn lengden av en periode av sinuskurven.
(Dette integralet kan heller ikke beregnes analytisk.)
\end{oppgave}




\section*{Dagens moro}

Du husker forhåpentligvis skalarproduktet mellom vektorer:
\[
\mathbf v \cdot \mathbf w=v_1w_1+v_2w_2+\cdots+v_nw_n
\]
Det heter skalarprodukt fordi du får ut et tall som forteller noe interessant om forholdet mellom vektorene $\mathbf x$ og $\mathbf y$.
Skalarproduktets viktigste egenskaper er
\begin{tcolorbox}
Det er symmetrisk:
\[
\V v \cdot \V w=\V w \cdot \V v,
\]
Det er lineært i andre argument (her er $a$ og $b$ er tall):
\begin{align*}
\V u \cdot (a\V v+b\V w )=a\V u \cdot \V v+b\V u\cdot  \V w
\end{align*}
Og positivt definitt:
\[
\V v \cdot \V v>0 \quad \text{dersom} \quad   \V v\neq \V 0.
\]
\end{tcolorbox}

Det går helt fint å sette opp disse egenskapene som aksiomer, 
og så gå på leting etter andre ting som oppfører seg likt. 
Den kanskje viktigste av disse tingene er produktet
\[
(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)\; dx
\]

Vi sier at $f$ og $g$ er ortogonale dersom $(f,g)=0$. \\
Du husker kanskje følgende figur:
\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=.15]{vinkelrett}
\end{figure}

Skal du få til oppgavene under, 
er det antagelig lurt å huske på at $\cos x= \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ og at  $\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$. 
Du får det også til med de trigonometriske formlene
\begin{align*}
\cos \left(x\pm y\right)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y \\
\sin \left(x\pm y\right)=\cos x \sin y \pm \sin x \cos y
\end{align*}
men dette er nesten alltid litt mer knotete.

 \begin{oppgave}{5}
Hvis at $\cos mx$ og $\cos nx$ er ortogonale på $[-\pi,\pi]$ dersom $n\neq m$. 
\end{oppgave}

 \begin{oppgave}{6}
Hvis at $\cos mx$ og $\cos nx$ er ortogonale på $[-\pi,\pi]$ dersom $n\neq m$.  
\end{oppgave}

 \begin{oppgave}{7}
Hvis at $\cos mx$ og $\sin nx$ er ortogonale på $[-\pi,\pi]$ for alle $n$ og $m$.  
\end{oppgave}



%\begin{tcolorbox}
%\[
%\mathbf v \cdot \mathbf  w  = 0 \quad  \Longleftrightarrow \quad \mathbf v \; \bot \; \mathbf w
%\]
%\end{tcolorbox}




\section*{Dagens mattenøtt}

På skolen lærte du å parametrisere rette linjer. 

 \begin{oppgave}{8}
Finn parameterfremstillingen for den rette linjen i $\mathbb R^2$ som går gjennom punktene $\mathbf x=(1,2)$ og $\mathbf y=(3,4)$. 
\end{oppgave}

Vi skal etterhvert begynne å smake på parametriserte kurver, 
eller funksjoner fra $\mathbb R^2$ til  $\mathbb R$ om du vil. 
En slik funksjon tegner en kurve i planet som har lov til å gå i alle mulige retninger, 
krysse seg selv, osv. 
Den er mye friere i oppførsel enn grafen til $y=f(x)$, 
og skrives
\[
\mathbf x(t)=
\begin{bmatrix}
x_1(t) \\
x_2(t) 
\end{bmatrix}
\]
Du fant en slik i forrige oppgave. 
Et annet eksempel er parametrisering for en sirkel med radius $r$
\[
\mathbf x(\theta)=
\begin{bmatrix}
r\cos  \theta\\
r\sin  \theta
\end{bmatrix}
\]
der $0\leq t \leq \theta$. 

 \begin{oppgave}{9}
 Finn en parametrisering for en ellipse med halvakser $a$ og $b$.
\end{oppgave}

 \begin{oppgave}{10}
Hvordan tror du at man finner tangentvektoren til en funksjon $\mathbb R^2 \to \mathbb R$?
Finn tangentvektoren til ellipsen.
\end{oppgave}

 \begin{oppgave}{11}
Hvordan tror du at man finner buelengden til en slik funksjon?
Finn omkretsen til ellipsen.
\end{oppgave}



\end{document}
