\documentclass[a4paper,norsk,11pt]{interaktiv}

% Importerte pakker
\usepackage{float}
\restylefloat{figure}
\usepackage{ifluatex}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[parfill]{parskip}    		% Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tcolorbox}
\newcommand{\V}[1]{\mathbf{#1}}

\ifluatex
  \usepackage{fontspec}
  \setmainfont{Calibri}
  \usepackage{unicode-math}
  \setmathfont{Cambria Math}
\else
  \usepackage[utf8]{inputenc}
\fi

\usepackage[european,americanvoltages]{circuitikz}

\usepackage{url}

% Underfigurer
\renewcommand{\thesubfigure}{(\arabic{subfigure})}

% Overskrift
\emnekode{TMA4101}
\emnenavn{Matematikk 1 for MTELSYS}
\title{Integralet I}

% Nye kommandoer
\newcommand{\dee}{\mathop{}\!{d}}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Etter fullendt R2 sitter man gjerne igjen med følgende ide:
\begin{tcolorbox}
INTEGRASJON = ANTIDERIVASJON
\end{tcolorbox}

\begin{center}
DET ER FEIL.
\end{center}

For å hamre dette gjennom, 
skal vi se på en funksjon som ikke er så lett å antiderivere.

\begin{oppgave}{1}
Arealet under grafen til  $f(x)=e^{-x^2}$ og mellom $x=0$ og $x=1$ skrives
\[
\int_0^1e^{-x^2}\; dx=0.7468241328...
\]
Finn dette arealet til ti desimalers presisjon på en eller annen måte uten wolframalpha.
(Dette kan du med det du har lært til nå gjøre på minst to helt forskjellige måter.)
\end{oppgave}

I mange situasjoner er det enten umulig eller urealistisk å antiderivere for å finne integralet. 
Funksjonen $e^{-x^2}$ har ingen antiderivert som lar seg skrive ned på en pen måte, 
og andre funksjoner har så kompliserte antideriverte at det ikke er vits i å prøve en gang:
\begin{figure}[H]
  \begin{center}
      \vspace*{-.2cm}
	\includegraphics[scale=.75]{integral}
   % \vspace*{-2.4cm}
	\end{center}
\end{figure}

Men det viktigste å skjønne når vi skal forstå integrasjon, 
er hva en riemannsum er. 
Disse brukes egentlig til å definere integralet, 
men kan også brukes til å finne en tilnærming til arealet under grafen.

\begin{oppgave}{2}
Les deg opp på hva en riemannsum er, 
og finn 
\[
\int_0^1 e^{-x^2}\; dx
\]
til ti desimalers presisjon ved hjelp av riemannsummer.
(Hvis du brukte riemannsummer i oppgave 1, 
kan du selvfølgelig bare gå videre.)
\end{oppgave}

Nå skal vi så smått begynne på integralet.  
Dette er litt teoretisk, 
men vi må gjennom det, 
for ellers blir det umulig å skjønne slike ting som 
\[
\oiint F\cdot N dS
\]
om et års tid.
Her kommer definisjonen. 
Se kap. 5 her: \\
\url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4101/2021h/notater/TMA4101-analyse.pdf} \\
eller kap. 5 i Adams for mer utfyllende informasjon.



\begin{tcolorbox}
En {partisjon} $P$ av intervallet $[a,b]$, 
er en endelig punktmengde som deler intervallet i mindre biter.
Delingspunktene kaller vi $x_i$, 
der $x_0=a<x_1<\cdots < x_{n-1}< x_n=b$.
La $f$ være en begrenset funksjon, 
og $P$ en partisjon av intervallet $[a,b]$.
La 
\[
m_i=\min_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)
\qquad \text{og} \quad
M_i=\max_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x).
\]
En {øvre og nedre riemannsum} er henholdsvis:
\[
U(P)=\sum_{n=1}^{n} (x_{i}-x_{i-1})M_i
\quad \text{og} \quad
L(P)=\sum_{n=1}^{n} (x_{i}-x_{i-1})m_i
\]
Dersom det for hver $\epsilon>0$
finnes en partisjon
$P$ av intervallet $[a,b]$
slik at 
\[
U(P)-L(P)<\epsilon,
\]
sier vi at $f$ er integrerbar.
\end{tcolorbox}

Integrerbarhet betyr egentlig bare at arealet under grafen er veldefinert. 
Hvorvidt funksjonen er lett eller vanskelig å antiderivere, 
er irrelevant. 
Funksjonen gitt ved $f(x)=e^{-x^2}$ er integrerbar selv om den ikke har noen antiderivert som er lett å skrive opp med penn og papir.
Et eksempel på en funksjon som faktisk ikke er integrerbar, 
er 
\[
f(x)=\begin{cases} 1 \quad \text{rasjonale}\; x \\ 0 \quad \text{irrasjonale}\; x \end{cases}
\]

Nå skal vi studere en annen funksjon som ikke er lett å antiderivere, 
men som er veldig viktig i elektroteknikk,
nemlig $\text{sinc}: \mathbb R \to \mathbb R$, 
som er gitt ved
\[
\text{sinc}(x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x} \quad &x\neq 0 \\ 1 \quad &x=0 \end{cases}
\]

\begin{oppgave}{3}
Ta 
\[
\sin{x}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\dots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} 
\]
som definisjonen på $\sin x$ og finn
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}.
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{4}
Forklar at $\text{sinc}$-funksjonen er 
er kontinuerlig.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Finn en tilnærming til 
\[
\int_0^\pi \text{sinc}(x)\;dx \approx 1.85193705196
\]
ved å bruke riemannsummer.
\end{oppgave}

En metode som er enda bedre, 
kalles trapesregelen, 
se eks 5.18 her: \\
\url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4101/2021h/notater/TMA4101-analyse.pdf}


\begin{oppgave}{6}
Finn en tilnærming til 
\[
\int_0^\pi \text{sinc}(x)\;dx 
\]
ved å bruke trapesregelen og sammenlikne med forrige oppgave.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
Her er en alternativ teknikk. 
Bruk rekken til $\sin x$ til å skrive 
\[
\int_0^\pi \text{sinc}(x)\;dx 
\]
som en alternerende rekke, 
og finn en tilnærming til integralet 
ved hjelp av denne.
Ta med mange nok ledd til at du oppnår maskinpresisjon,
og ikke bruk kalkulator eller liknende.
\end{oppgave}


\section*{Dagens moro}

Det er som sagt mulig å ta 
\[
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
\]
og
\[
\sin{x}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\dots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} 
\]
og
\[
\cos{x}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\dots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\]
som definisjonene på $e^x$, $\cos x$ og $\sin x$.
Man må da vise at disse rekkene har nøyaktig de egenskapene vi er vant med, 
for eksempel at 
\[
\frac{d}{d}e^x=e^x
\]
og at 
\[
\sin x = \sin(x+2\pi)
\]
og så videre. 
Det finnes noen fordeler med denne strategien.
For eksempel blir det trivielt å huske at
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots}{x}=\lim_{x\to 0}1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\dots=1
\]
Her kommer en annen fordel. 

\begin{oppgave}{8}
Gitt at 
\[
\sin{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} ,
\]
vis eller forklar at 
\[
i\sin{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!} ,
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
En liknende relasjon kan utledes for $\cos x$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
Prøv å legge sammen rekkene for $\cos x$ og $\sin x$. 
Ser du noe gøy?
\end{oppgave}

Hvis du ikke fikk det til oppgavene,
men er nysgjerrig allikevel, 
finner du alt her:\\
\url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4106/2021v/notater/01-komplekse-tall.pdf}


\section*{Dagens geometriske nøtt}

\begin{oppgave}{11}
Vis geometrisk at 
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1.
\]
Dette er nok noe vanskeligere enn med rekker. 
Du finner argumentet i eksempel 4.13 i notatene eller i kap 2.5 i Adams eller fra 1:34:40 i geometriforelesningen her \\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/oppfrisk/2020/forelesninger}.
\end{oppgave}


\section*{Dagens analytiske nøtt}

Vi sier at at en rekke er absolutt konvergent dersom $\sum |a_n|$ er konvergent.
Forholdstesten viser at rekken til $e^x$ er absolutt konvergent. 
Blant annet betyr dette at vi kan stokke om på rekkefølgen av leddene uten at det har noe å si for hva rekken konvergerer til. 
Følgende oppgave er nok i hardeste laget for de fleste, 
men artig allikevel.

\begin{oppgave}{12}
Ta
\[
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
\]
som definisjonen på $e^x$ og vis at 
\[
e^{x+y}=e^xe^y.
\]
(Hint: prøv å se hvordan leddet $x^ny^m$ ser ut på begge sider av likningen. Du er nødt til å kunne en del om binomialkoeffisienter: \\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient}\\
for å få det til.)
\end{oppgave}


Viggo Brun skal ha sagt:
\begin{tcolorbox}
Derivasjon er et håndverk, integrasjon er en kunst!
\end{tcolorbox}

Det han mente å si, 
var nok at derivasjon er ganske lett (det er bare å bruke noen regneregler),
mens antiderivasjon kan være ganske vanskelig. 
Et tilforlatelig funksjonsuttrykk kan være enten lett eller vanskelig eller fullstendig håpløst å antiderivere,
og det er ofte umulig å avgjøre hvilken av disse som er tilfellet før man har prøvd å antiderivere.
Kanskje er det til og med lett, 
men man kan ikke akkurat det trikset som må brukes, 
og derfor går det ikke.
 
Man kan bruke et liv på å trene på antiderivasjon.
Hvis jeg vil lage en integrasjonsoppgave på eksamen som ingen får til, 
er det bare å gi
\[
\int \frac{\log \cos x}{\sin 2x} \; dx
\]
og vips så er det ingen som får A.
Det kommer jeg selvfølgelig ikke til å gjøre.
Men vi må ha litt antiderivasjon, 
selv om dette kanskje er det minst viktige aspektet ved integrasjon. 
Nå tar vi noen oppgaver. 
Først noen arealklassikere som Arkimedes fant ut av allerede 250 BC.

\begin{oppgave}{1}
Finn arealet avgrenset av $y=x^2$, $y=0$ og $x=1$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Finn arealet avgrenset av $y=x^2$, $y=1$ og $x=0$.
\end{oppgave}

En annen klassiker på eksamen er de der man bare må skrive om integranden litt. 

\begin{oppgave}{3}
  Regn ut 
  \begin{equation*}
    \quad \int_0^{1} \sqrt{x^2+4x+4} \dee x 
  \end{equation*}
  (Hint: faktoriser polynomet.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
  Regn ut 
  \begin{equation*}
    \quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + \cos x} \dee x 
  \end{equation*}
  Hint: $\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta -1.$
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{5}
Funksjonene $y=\sin^2(x)$ og $y=1$ avgrenser et uendelig antall noe avrundede pizzastykker. Finn arealet av et av disse.   
Hint: $\cos(2\theta) = 1 - 2 \sin^2 \theta$. \\[-6pt]
\end{oppgave}


Et annet klassisk triks, 
er kjerneregelen. 
Den er egentlig bare kjerneregelen for derivasjon i retur. 
Siden 
\[
\frac{d}{dx}e^{-x^2}=-2xe^{-x^2},
\]
er det veldig lett å beregne
\[
\int-2xe^{-x^2}\; dx=e^{-x^2}+C
\]
Hvis integranden ser omtrent riktig ut i forhold til dette systemet, 
men har feil konstant, 
er det bare å gange og dele og herje litt:
\[
\int 3xe^{-x^2}\; dx=3\int xe^{-x^2}\; dx=-\frac{3}{2} \int -2xe^{-x^2}\; dx = -\frac{3}{2} e^{-x^2}+C
\]
Hvis integranden blir komplisert, 
kan det være lurt å utføre dette trikset som en variabelsubstitusjon,
men dette blir fort en uforståelig oppskrift 
(det var det ihvertfall for meg da jeg gikk på skolen) 
om man ikke skjønner at det er kjerneregelen som ligger i bånn for alt:
\[
\int 3xe^{-x^2}\; dx=-\frac{3}{2}\int e^{u}\; du=-\frac{3}{2} e^{u}+C = -\frac{3}{2} e^{-x^2}+C
\]



\begin{oppgave}{6}
  Regn ut
  \begin{equation*}
     \quad \int\frac{\sin\left( x \right)}{1+\cos\left( x
      \right)} \dee x.
  \end{equation*}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{7}
Finn arealet begrenset av $y=x/(x^2+16)$, $y=0$, $x=0$ og $x=2$. \\[-6pt]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{8}
Beregn 
\begin{equation*}
\int e^x \sqrt{1+e^x}\; dx.
\end{equation*}
\\[-6pt]\end{oppgave}

Du finner LF til de fem siste her:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100/2017h/anbefalt_38_lf.pdf}


\section*{Dagens moro}

En kondensator er noe sånt som to plater som står inntil hverandre i en krets. 
Symbolet ser slik ut:
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,0) to  [C=$C$]  (2,0); 
	\end{circuitikz}
\end{center}
Kretsen kan fylle på elektroner på den ene platen og tappe dem ut fra den andre platen, 
slik at det oppstår en spenning mellom platene.
Energi blir ladet opp,
og denne kan bli sluppet løs igjen senere;
det kommer an på kretsen. 
Vi skal se på det.

Spenningen over kondensatoren er proporsjonal med hvor mye ladning som er kjørt inn i den:
\[
v(t)=\frac{1}{C}\int_0^t i(s)\; ds
\]
Proporsjonalitetskonstanten $C$ måles i coloumb per volt,
og avhenger av kondensatoren. 

\begin{oppgave}{9}
Ved tiden $t=0$ er kondensatoren helt utladet,
og spenningen over den er null.
Finn spenningen over kondensatoren som funksjon av $t$ når $I(t)=\sin \omega t$. 
(Konstanten $\omega$ kalles gjerne frekvensen, 
og kan være hva som helst. Det blir mye $\sin \omega t$ de neste par årene.)
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,2)  to (6,2)  to [ C=$C$]  (6,0)  to  (0,0); 
		\draw  (0,0) to  [I=$I$]  (0,2); 
	\end{circuitikz}
\end{center}
\end{oppgave}

\section*{Dagens mattenøtt}

Du husker kanskje formelen for delvis integrasjon:
\[
\int fg'=fg-\int f'g
\]

\begin{oppgave}{10}
Finn 
\[
\int e^x\cos x \; dx
\]
med delvis integrasjon.
\end{oppgave}

Hvis du skjønte forrige økts nøtt, 
har du kanskje fått med deg at 
\[
\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.
\]
Denne kan forenkle mange ting, 
for eksempel oppgaven over.

\begin{oppgave}{11}
Finn det samme integralet som i oppgaven over
ved å bruke formelen for $\cos x$.
\end{oppgave}


\section*{Dagens elektronøtt}

En spole er en strømledning som er lagt i spiral.
Den har følgende kretssymbol:
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,0) to  [L=$L$]  (2,0); 
	\end{circuitikz}
\end{center}
Spolen fungerer sånn at når strømmen gjennom spolen endres, 
oppstår et magnetfelt som skaper en spenning som prøver å motvirke endringen i strømmen. 
Elementloven er:
\[
v(t)=L\frac{di}{dt}
\]
Dette er mer komplisert elementlov å forstå, 
og følger av Faradays lov
\[
\oint_{\partial D} \mathbf E \cdot ds = -\frac{d}{dt}\iint_D \mathbf B \cdot dS
\]
som er en av Maxwells fire berømte likninger.
Vi må vente til tredje semester med å se på disse, 
for det trengs flervariabel kalkulus 
(integrasjon og derivasjon i $n$ dimensjoner)
for å i det hele tatt skjønne hva likningene sier. 

Men man trenger ikke Maxwell for å skjønne hvordan spolen oppfører seg i en krets. 
Man må bare huske noe greier man lærte på videregående skole.

\begin{oppgave}{12}
Finn strømmen i kretsen.
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,2)  to (3,2)  to [ C=$C$]  (3,0)  to  (0,0); 
		\draw  (0,0) to  [L=$L$]  (0,2); 
	\end{circuitikz}
\end{center}
\end{oppgave}


Standardnormalfordelingen har sannsynlighetstetthetsfunksjon $f: \mathbb R \to \mathbb R$ gitt ved
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}.
\]
Denne skal du bli godt kjent med til våren i TMA4245.
Nå tar vi en liten forsmak. 

I en kontinuerlig sannsynlighetsmodell finner man sannsynligheter ved å integrere sannsynlighetstetthetsfunksjonen.
Sannsynligheten for at en standardnormalfordelt stokastisk variabel $Z$ havner mellom $a$ og $b$ i et forsøk, 
er: 
\[
P(a<Z<b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-x^2/2}\; dx
\]
Du kan lese mer om normalfordelingen i kap. 24.8 i Kreyszig eller i kap. 7.8 i Adams. 
I standardnormalfordelingen er $\mu=0$ og $\sigma=1$.

\begin{oppgave}{1}
Du vet at standardnormalfordelingsfunksjonen ikke har noen antiderivert som er lett å evaluere. 
Lag en pythonfunksjon som tar inn $a$ og $b$ og returnerer $P(a<Z<b)$ ved trapesregelen. 
\end{oppgave}

Hvis du lykkes med denne oppgaven, 
har du din egen rutine for å beregne sannsynligheter i standardnormalfordelingen. 
Gratulerer. 
Du kan bruke den neste semester.

\section*{Frivillige bonusoppgaver}

Trapesregelen gir jo bare en tilnærming til det faktiske arealet under grafen.
I neste semester skal vi se at dersom $f$ er to ganger kontinuerlig deriverbar, 
er feilen trapesregelen gjør alltid mindre enn 
\[
\max_{x\in [a,b]}f''(x) \frac{h^2(b-a)}{12}
\]
der $h$ er avstanden mellom gitterpunktene i partisjonen. 


\begin{oppgave}{2}
Bruk feilestimatet over til å implementere at koden din returnerer en øvre skranke for integrasjonsfeilen,
slik at brukeren av koden kan få tilbakemelding om hvor stor nøyaktighet han har fått. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Hvis du vil gjøre koden enda mere praktisk i bruk,
kan du modifisere den slik at brukeren (altså deg i TMA4245 til våren) kan spesifisere $\mu$ og $\sigma$ i tillegg til $a$ og $b$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
En gjennomsnittlig tørrfisk av lofotskrei veier visst $\mu=2.7$ kg: \\
\url{https://no.wikipedia.org/wiki/Lofotfiskets_historie} \\
La oss for enkelhets skyld anta at $\sigma=0.7$ kg. 
En elektroingeniør på fisketorget i Bergen plukker opp en tilfeldig tørrfisk. 
Finn sannsynligheten for at den veier mellom 2.7 og 3.4 kg. 
\end{oppgave}

\vspace{-.1cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.21]{L1001162}
\end{center}


\clearpage

\section*{Fasit}

\rotatebox[origin=c]{160}{
1:  $\frac{1}{3}$
\vspace{-9cm}
}


\rotatebox[origin=c]{160}{
2:  $\frac{2}{3}$
\vspace{-9cm}
}

\rotatebox[origin=c]{160}{
3:  $\frac{21}{4}$
\vspace{-9cm}
}

\rotatebox[origin=c]{160}{
9: $v(t)=\frac{1-\cos \omega t}{\omega}$. 
\vspace{-9cm}
}


\rotatebox[origin=c]{160}{
10: $\frac{e^x}{2}\left(\cos x+ \sin x\right)+C$
\vspace{-9cm}
}

\rotatebox[origin=c]{160}{
12: Bruk KVL og deriver hele likningen. Da får du $i''(t)+\frac{1}{LC}i(t)=0$. Denne løste du på skolen.
\vspace{-9cm}
}





\end{document}
