\documentclass[a4paper,norsk,11pt]{interaktiv}

% Importerte pakker
\usepackage{float}
\restylefloat{figure}
\usepackage{ifluatex}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[parfill]{parskip}    		% Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tcolorbox}
\newcommand{\V}[1]{\mathbf{#1}}

\ifluatex
  \usepackage{fontspec}
  \setmainfont{Calibri}
  \usepackage{unicode-math}
  \setmathfont{Cambria Math}
\else
  \usepackage[utf8]{inputenc}
\fi

\usepackage[european,americanvoltages]{circuitikz}

\usepackage{url}

% Underfigurer
\renewcommand{\thesubfigure}{(\arabic{subfigure})}

% Overskrift
\emnekode{TMA4101}
\emnenavn{Matematikk 1 for MTELSYS}
\title{Funksjoner på $\mathbb R$}

% Nye kommandoer
\newcommand{\dee}{\mathop{}\!{d}}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

\begin{tcolorbox}[title=Lesestoff]
\begin{itemize}
\item 4 herfra: \\ \url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4101/2021h/notater/TMA4101-analyse.pdf} 
\item Adams 1-2 
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

Den viktigste funsksjonen er antagelig
\[
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
\]
Nå er det viktig å forstå at en funksjon $f: A\to B$ er en regel som spesifiserer ett og bare ett element i verdimengden $B$ til hvert element i $A$. 
Vanligvis er det mulig å skrive opp selve regelen på mange forskjellige måter, 
og eksemplet over er bare ett av mange. 
Her er et av de sykeste. 
Funksjonen $f:\mathbb R \to \mathbb R$ gitt ved
\[
f(x)=\lim_{m\to \infty}\lim_{n\to \infty} \cos(m! \pi x)^{2n}
\]
kan faktisk også skrives
\[
f(x)=\begin{cases} 1 \quad \text{rasjonale}\; x \\ 0 \quad \text{irrasjonale}\; x \end{cases}
\]
Det er vanlig å klassifisere funksjoner i et regularitetshierarki. 
Dette blir en litt teknisk ert-ykt (A-stoff på eksamen),
men vi må nesten gjennom det.
Du har sett det meste på videregående skole, 
men vi skal gå et knepp lenger. 

\begin{tcolorbox}
En funksjon sies å ha grenseverdien $L$ i $x_0$ dersom det for hver $\epsilon >0$ finnes en $\delta>0$ slik at implikasjonen 
\[
0<|x-x_0| < \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x)-L| < \epsilon
\]
holder. Vi skriver i så fall 
\[
\lim_{x \to x_0} f(x)=L.
\]
\end{tcolorbox}


\begin{oppgave}{1}
Vis eller forklar at 
\[
\lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x} 
\]
ikke eksisterer.
(Sikkert lurt å plotte den.)
\end{oppgave}



En funksjon er kontinuerlig i et punkt dersom du kan tegne grafen gjennom punktet uten å løfte blyanten fra rutepapiret. 
For å gjøre dette presist, 
bruker vi grenseverdibegrepet. 


\begin{tcolorbox}
En funksjon sies å være {kontinuerlig} i $x_0$ dersom:\\
\begin{itemize}
\item $f(x_0)$ er definert
\item $\lim_{x\to x_0} f(x)$ eksisterer
\item $f(x_0)=\lim_{x\to x_0} f(x)$\\[3pt]
\end{itemize}
Vi sier $f$ er kontinuerlig på $(a,b)$ dersom $f$ er kontinuerlig for alle $x \in (a,b)$.
\end{tcolorbox}


\begin{oppgave}{2}
Vis eller forklar at funksjonen $f:\mathbb R \to \mathbb R$ gitt ved
\[
f(x)=\begin{cases} \sin\frac{1}{x} \quad  &x\neq 0 \\ 0 \quad &x =0  \end{cases}
\]
ikke er kontinuerlig. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Vis eller forklar at funksjonen $f:\mathbb R \to \mathbb R$ gitt ved
\[
g(x)=\begin{cases} x\sin\frac{1}{x} \quad  &x\neq 0 \\ 0 \quad &x =0  \end{cases}
\]
er kontinuerlig. (Nok en gang lurt å plotte.)
\end{oppgave}


Mengden av alle kontinuerlige funksjoner på $(a,b)$ skriver vi $\mathcal C(a,b)$.
Nå kan vi med noen få symboler oppsummere de foregående eksemplene: 

 \[
 g \in C(\mathbb R)
 \qquad \qquad
 f \notin C(\mathbb R)
\]

Vi bruker grenseverdier til å definere stigningstall.

\begin{tcolorbox}
Vi definerer den deriverte til $f$ i punktet $x$ som 
\[
f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\]
dersom grenseverdien eksisterer. 
Vi sier i så fall at $f$ er {deriverbar} i $x$.
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{4}
Vis at funksjonen $g$ over ikke er deriverbar. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Vis at funksjonen 
\[
h(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x} \quad  &x\neq 0 \\ 0 \quad &x =0  \end{cases}
\]
er deriverbar.
\end{oppgave}



Det er ikke så vanskelig å se at dersom en funksjon er derivererbar i $x$, 
er den også kontinuerlig i $x$. 
Det motsatte er ikke sant. 

\begin{oppgave}{6}
Vis at den deriverte til $h$ over ikke er en kontinuerlig funksjon.\\
(Hint: deriver $h$ og se hva som skjer når $x \to 0$.)
\end{oppgave}


Dersom den deriverte til en funksjon $f$ er kontinuerlig, 
sier vi at $f$ er kontinuerlig deriverbar. 
Mengden av alle kontinuerlig deriverbare funksjoner på $(a,b)$ skriver vi $\mathcal C^1(a,b)$.

\begin{oppgave}{7}
Vis at funksjonen 
\[
l(x)=\begin{cases} x^3\sin\frac{1}{x} \quad  &x\neq 0 \\ 0 \quad &x =0  \end{cases}
\]
er kontinuerlig deriverbar.
\end{oppgave}

Dette var litt om deriverbarhet.
Her er en artig fakta du lærte på skolen.
Dersom $f$ er deriverbar og du slår en sekant,
må det mellom punktene der du slo sekanten finnes en tangent som er parallell med sekanten din.

    \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
 \begin{tcolorbox}
Dersom $f$ er kontinuerlig på $[a,b]$ og deriverbar på $(a,b)$,
finnes $c \in (a,b)$ slik at 
\[
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\\[3pt]
\]
\end{tcolorbox}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{0.5\textwidth}
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
     % \draw[blue] (-2,0) circle (2cm) ;
   %   \draw[red] (0,-1) circle (1.5cm);

 \draw[thick] (0,.7) sin (7,4);
  \draw[thick] (7,4) sin (8,3);
 \node[above] at (7,3){$f$};

\draw[thick,red] (0,1.2) -- (7,4.1) node[right]{sekant};
\draw[thick,blue] (0,1.65) -- (7,4.55) node[right]{tangent};

   %   \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
\node[below] at (1.6,.7){$a$};
\node at (1.6,.98){$\circ$};

\node[below] at (4.4,.7){$c$};
\node at (4.4,.98){$\circ$};
 
 
\node[below] at (6.7,.7){$b$};
\node at (6.7,.98){$\circ$};

\node[left] at (0,1.87){$f(a)$};
\node at (0.005,1.87){$\circ$};


\node[left] at (0,4){$f(b)$};
\node at (0.005,4){$\circ$};

%\draw[-] (0,4) -- (8,4);

%\draw[-] (2.4,0) -- (2.4,5);
          \draw[->] (0,1) -- (8,1);
%                    \draw[->] (3.45,0) -- (3.45,4);
          \draw[->] (0,1) -- (0,4.5) ;
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
  \end{minipage}

Virker rimelig dette her.
Men nå skal vi gå litt lenger. 
Dersom den $n$-te deriverte til $f$ er kontinuerlig, 
sier vi at $f$ er $n$ ganger kontinuerlig deriverbar, 
og mengden av disse funksjonene skriver vi $\mathcal C^n(a,b)$.
For slike funksjoner gjelder en generalisering av sekantsetningen som kalles Taylors teorem.

\begin{tcolorbox}
La $f$ være en $n+1$ ganger kontinuerlig deriverbar funksjon på et åpent intervall som inneholder $a$ og $x$. 
Det finnes en $s$ mellom $a$ og $x$ slik at
\[
f(x)= 
f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+ \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n 
+ \frac{f^{n+1}(s)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}
\]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{8}
Skriv ned Taylors teorem for $n=0$.
\end{oppgave}

Polynomet
\[
f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+ \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n 
\]
kalles det $n$-te ordens taylorpolynomet til $f$ om $a$.
For å gjøre den neste oppgaven er det lurt å lære seg å plotte i Python.
Se her:\\
\url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4101/2021h//python/krasjkurs-python.pdf}

\begin{oppgave}{9}
Plott $\sin x$ og taylorpolynomer av forskjellige grad i samme plot. 
Eksperimenter med høy grad på polynomet. Du kan evt se her:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series}.\\
\end{oppgave}

Dersom $n=\infty$, sier vi at $f$ er glatt.
De fleste funksjoner du har jobbet med i skolen,
var glatte unntatt i noen få punkter. 
Du tenker kanskje at nå har vi makset helt opp regularitetsskalaen (regularitet=hvor mange deriverte er kontinuerlige?),
men det finnes et knepp til.

\begin{tcolorbox}
Dersom $f$ er glatt og 
\[
f(x)= f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+ \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots 
\]
sier vi at $f$ er analytisk. 
\end{tcolorbox}

Rekken 
\[
f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+ \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots 
\]
kalles Taylorrekken til $f$.

\begin{oppgave}{10}
Eksponensialfunksjonen $e^x$ er analytisk. Finn taylorrekken om $x=0$. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Gjenta for $\sin x$ og $\cos x$.
\end{oppgave}

Her er til slutt en oversikt:
\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=.19]{funksjoner}
\end{figure}

\section*{Dagens nøtt}

\begin{oppgave}{12}
Funksjonen 
\[
m(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{(x+1)(x-1)}}\quad  &|x|< 1 \\ 0 \quad & |x|\geq 0   \end{cases}
\]
er glatt, men ikke analytisk. 
Forklar.
\end{oppgave}



\section*{Fasit}
\rotatebox[origin=c]{160}{
1-7:  Disse står i kap. 4 her: \url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4101/2021h/notater/TMA4101-analyse.pdf}  \\
}
\vspace{-9cm}
\rotatebox[origin=c]{140}{
8:  Dette blir sekantsetningen!  \\
}
\vspace{-9cm}
\rotatebox[origin=c]{140}{
10-11:  Du får de samme rekken som vi har skrevet opp  \\
}
\vspace{-2cm}
\rotatebox[origin=c]{110}{
12:  Siden $e^{-t^2}$ kverker så og si alt annet når $t\to \infty$ er $\lim_{x \to 1} \frac{d^nf}{dx^n}=0$ for alle $n$.
Slår du taylorrekken i $x=2$, får du jo bare 0.\\
}


\end{document}
