<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[a4paper,norsk,11pt]{interaktiv}

% Importerte pakker
\usepackage{float}
\restylefloat{figure}
\usepackage{ifluatex}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[parfill]{parskip}    		% Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tcolorbox}
\newcommand{\V}[1]{\mathbf{#1}}

\ifluatex
  \usepackage{fontspec}
  \setmainfont{Calibri}
  \usepackage{unicode-math}
  \setmathfont{Cambria Math}
\else
  \usepackage[utf8]{inputenc}
\fi

\usepackage[european,americanvoltages]{circuitikz}

\usepackage{url}

% Underfigurer
\renewcommand{\thesubfigure}{(\arabic{subfigure})}

% Overskrift
\emnekode{TMA4101}
\emnenavn{Matematikk 1 for MTELSYS}
\title{Rekker III}

% Nye kommandoer
\newcommand{\dee}{\mathop{}\!{d}}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

NÃ¥ skal vi begynne Ã¥ putte inn $x$-er i rekkene. 
Da fÃ¥r vi noe som kalles potensrekke:
\[
\sum_{n=1}^\infty a_n x^n
\]
Man kan ogsÃ¥ sentrere rekken i et annet punkt $x=c$:
\[
\sum_{n=1}^\infty a_n (x-c)^n
\]

\begin{tcolorbox}[title=Lesestoff]
\begin{itemize}
\item 3 herfra: \\ \url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4101/2021h/notater/TMA4101-analyse.pdf} 
\item Kreyszig 15.2-15.4
\item Adams 9.5-9.6
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


\begin{oppgave}{1}
Den aller viktigste potensrekken er 
\[
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
\]
Vis at denne konvergerer for alle $x$. 
(Enklest med forholdstesten.)
\end{oppgave}

To andre viktige rekker er 
\[
\sin{x}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\dots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} 
\]
og
\[
\cos{x}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\dots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\]

\begin{oppgave}{2}
Vis at rekkene over konvergerer for alle $x$. 
\end{oppgave}

Det finnes ogsÃ¥ rekker for andre funksjoner. 
Vi kjenner jo til
\[
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n
\]
som konvergerer for $|x|&lt;1$. 
Det er stort sett (med noen unntak) lov Ã¥ herje med rekker som man vil. 

\begin{oppgave}{3}
Finn en en rekkeutvikling for 
\[
\frac{1}{1+x}
\]
(Hint: substitusjon.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Hva med
\[
\frac{1}{1+x^2}?
\]
(Hint: ogsÃ¥ substitusjon.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Enn
\[
\arctan x?
\]
(Hint: integrer ledd for ledd.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
Eller
\[
\ln{(1-x)}?
\]
(Hint: integrer ledd for ledd.)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{7}
\[
\frac{1}{(1-x)^2}?
\]
(Hint: multipliser to rekker eller deriver ledd for ledd.)
\end{oppgave}

Ã… vise at alt dette er lov, 
er ganske vanskelig, 
og litt for hardt for oss. 
Men det gÃ¥r an Ã¥ finne konvergensomrÃ¥dene (altsÃ¥ de $x$ slik at rekken er konvergent)
 ved Ã¥ bruke konvergenstestene. 


\begin{oppgave}{8}
GjÃ¸r dette.
\end{oppgave}




\section*{Dagens moro}

\begin{oppgave}{9}
  Finn konvergensomrÃ¥de og sum for rekken
  \begin{equation*}
    \sum_{n = 0}^\infty x (1 - x^2)^n.
  \end{equation*}
  Er summen en kontinuerlig funksjon?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
Sinc-funksjonen
  \begin{equation*}
f(x)=\frac{\sin x}{x}.
  \end{equation*}
  er veldig viktig i signalbehandling. 
  Finn en potensrekke som passer.
  Hva tror du $\lim_{x\to 0}f(x)$ er?
\end{oppgave}


\section*{Dagens nÃ¸tt}

\begin{oppgave}{11}
  Vis at dersom $\{a_n\}$ er en begrenset fÃ¸lge, sÃ¥ konvergerer
  \begin{equation*}
    \sum_{n = 1}^\infty a_n x^n
  \end{equation*}
  absolutt for alle $x\in (-1,1)$.
\end{oppgave}


\end{document}
</pre></body></html>