\documentclass[a4paper,norsk,11pt]{interaktiv}

% Importerte pakker
\usepackage{float}
\restylefloat{figure}
\usepackage{ifluatex}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[parfill]{parskip}    		% Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tcolorbox}
\newcommand{\V}[1]{\mathbf{#1}}

\ifluatex
  \usepackage{fontspec}
  \setmainfont{Calibri}
  \usepackage{unicode-math}
  \setmathfont{Cambria Math}
\else
  \usepackage[utf8]{inputenc}
\fi

\usepackage[european,americanvoltages]{circuitikz}

\usepackage{url}

% Underfigurer
\renewcommand{\thesubfigure}{(\arabic{subfigure})}

% Overskrift
\emnekode{TMA4101}
\emnenavn{Matematikk 1 for MTELSYS}
\title{Rekker I}

% Nye kommandoer
\newcommand{\dee}{\mathop{}\!{d}}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

I forrige uke lærte vi å løse likninger numerisk. 
På papiret var det dette som var ukens tema, 
men mange andre ting ble introdusert en passant:
\begin{itemize}
\item Tallfølger: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence}
\item Cauchyfølger: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence}
\item Konvergens: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_sequence}
\item Relle tall: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number}
\end{itemize}

I denne uken skal vi se på rekker. 

\begin{tcolorbox}
En rekke er summen av leddene i en følge:
\[
\sum_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots
\]
Uttrykket 
\[
\sum_{n=1}^N a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_N
\]
kalles den $N$-te partialsummen til rekken, 
og vi sier at rekken er konvergent dersom partialsummene danner en konvergent følge. 
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{1}
Finn summen 
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}.
\]
(Dette lærte du på skolen.)
\end{oppgave}


Ingen lærebok i matematikk begynner et kapittel om rekker uten Xenos paradoks, 
som er rundt 2500 år gammelt. 
Anta at en langdistanseløper skal tilbake legge en distanse. 
Han tilbakelegger første halvdel på tiden $T$. 
Den neste fjerdedelen tibakelegger han på tiden $T/2$. 
Den neste åttendedelen tilbakelegger han på tiden $T/4$. 
Og slik fortsetter det. 
Xeno trodde han hadde funnet et paradoks her, 
for han trodde at 
\[
T+\frac{T}{2}+\frac{T}{4}+\frac{T}{8}+\cdots=\infty
\]
siden venstresiden er en sum av uendelig mange tall. 
Dette er ikke riktig. 
Det er åpenbart at løperen tilbakelegger distansen på tiden $2T$, 
og dersom man skal tillegge en den uendelige summen over noen verdi, 
er det naturlig å sette
\[
T+\frac{T}{2}+\frac{T}{4}+\frac{T}{8}+\cdots=2T.
\]
Dersom Xeno hadde satte seg inn i følgende utledning,
hadde han skjønt at han var på villspor.
La $|x|<1$. På skolen har du lært om den geometriske rekken
\[
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n.
\]
Det er ikke så vanskelig å se at dette er riktig. 
Partialsummene er 
\[
S_N=\sum_{n=0}^N x^n=1+x+x^2+\cdots+x^N,
\]
og hvis vi tar 
\begin{align*}
(1-x)S_N&=(1-x)\sum_{n=0}^N x^n\\ 
&=1+x+x^2+\cdots+x^N \\ 
&-(x+x^2+x^3+\cdots+x^{N+1})=1-x^{N+1},
\end{align*}
får vi
\[
S_N=\sum_{n=0}^N x^n=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}.
\]
Dersom vi lar $N\to \infty$,
får vi 
\[
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n.
\]

\begin{oppgave}{2}
Finn summen 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}.
\]
(Hint: gang uttrykket over med $k$.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Finn summen 
\[
\sum_{n=10}^\infty \frac{1}{2^n}.
\]
\end{oppgave}

Geometriske rekker kan brukes til mange artige ting.


\begin{oppgave}{4} % 75001, 16.12.1994, oppgave 2
  \begin{minipage}[t]{1\textwidth}
  \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
    Figuren viser de første fem av en uendelig følge av kvadrater.
    Finn summen av omkretsene av alle kvadratene.
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}[t][3cm][b]{0.45\linewidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[thick,scale=0.8]
      \draw (1.5,1.5) rectangle (2.5,2.5);  
      \draw (2,1) -- (3,2) -- (2,3) -- (1,2) -- cycle;  
      \draw (1,1) rectangle (3,3);
      \draw (2,0) -- (4,2) -- (2,4) -- (0,2) -- cycle;
      \draw (0,0) rectangle (4,4);
    \end{tikzpicture}
  \end{minipage}
\end{minipage}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
  Anta at en sprettball som slippes rett ned, spretter opp $3/4$ av den
  opprinnelige høyden den ble sluppet fra.  Anta at ballen kun beveger
  seg i vertikal retning.  Hva er avstanden ballen vil bevege seg før
  den blir liggende stille når den slippes fra en høyde på $3$ meter?
\end{oppgave}


To hjørnesteiner i rekketeorien er at 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots=\infty
\]
og
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}.
\]
Å vise at disse to likningene er korrekte, 
er kanskje litt for vanskelig å finne ut av selv, 
så du kan lese om hvorfor i eksempel 3.13 og 3.14 her: \url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4101/2021h/notater/TMA4101-analyse.pdf}.
Det er greit å kjenne til et par rekker, 
for da kan man bruke følgende konvergenstest, 
kalt sammenlikningstesten.

\begin{tcolorbox}
La $a_n$ og $b_n$ være positive følger, 
med $a_n \leq b_n$ for alle $n$. \\
Dersom $\sum a_n$ divergerer, divergerer $\sum b_n$. 
Dersom $\sum b_n$ konvergerer, konvergerer $\sum a_n$. 
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{6}
Avgjør om 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}
\]
er konvergent eller divergent.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{7}
Avgjør om 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}
\]
er konvergent eller divergent.
\end{oppgave}

\section*{Dagens nøtt}

\begin{oppgave}{8}
Vis at rekken 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}
\]
er konvergent og finn summen.
\end{oppgave}

\section*{Dagens moro}

Det burde være klart at en rekke ikke kan konvergere med mindre $\lim_{n\to \infty} a_n=0$.
Eller?

\begin{oppgave}{9}
Vis at 
\[
\sum_{n=1}^\infty n=1+2+3+\cdots = -\frac{1}{12}.
\]
(Hint: du må kanskje se her \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation}.)
\end{oppgave}


\end{document}
