\input{preamble}

\title{Mere greier I}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Her kommer en gigarepetisjonsert.

\section*{Regneoppgaver}


\begin{oppgave}{1}
Vis at rekken
\[
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{n+\sqrt{n}}
\]
er betinget konvergerent.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Finn grenseverdien
\[
\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^3}-1}{x-\sin x}.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Avgjør om funksjonen $f:(0,\infty) \to\mathbb{R}$ gitt ved 
\[
f(x)=\arctan \frac{a}{x}-\arctan \frac{b}{x},
\]
der $0<b<a$, har noen største eller minste verdi. Dersom ja, finn den. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Finn lokale maksimum og minium til funksjonen $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ gitt ved
\[
f(x)=|x^2+3x+2|.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
En ellipse er gitt ved likningen 
\[
\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1.
\]
Finn en likning for tangenten til kurven i punktet $(1,\sqrt{2})$.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{6}
\begin{minipage}{7cm}
\vspace{1cm}
En superellipse er gitt ved likningen 
\[
\left(\frac{x}{5}\right)^4+\left(\frac{y}{3}\right)^4=1.
\]
Finn arealet til det største rektangelet som kan tegnes på innsiden av denne kurven. 
\end{minipage} 
\begin{minipage}{5cm}
\vspace{1cm}
\begin{figure}[H]
  \begin{center}
	\includegraphics[scale=.2]{superellipse}
	\label{fig:Num1}
	\end{center}
\end{figure}
\end{minipage} 
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{7}
Finn alle løsninger av følgende likningssystem:
\begin{align*}
x - 4y + 28z &= -2 \\
-x + y - 7z &= -31 \\
x + 2y - 14z &= 64
\end{align*}

\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
Se på følgende vektorer i~$\mathbb R^3$:
\[
\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\-6 \end{pmatrix}\quad
\mathbf v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}\quad
\mathbf v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\8 \end{pmatrix}\quad
\mathbf b = \begin{pmatrix} 4 \\ -9 \\3 \end{pmatrix}\quad
\]
Er vektorene $\mathbf v_1$, $\mathbf v_2$ og~$\mathbf v_3$ lineært uavhengige?
Er $\b$ en lineærkombinasjon av $\mathbf v_1$, $\mathbf v_2$ og~$\mathbf v_3$?
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{9}
Finn andregradspolynomet
som går gjennom punktene
$(0,-1)$, $(1,1)$ og $(2,7)$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
Løs likningssystemet
	\begin{align*}
		(1+i) z - w   &= i \\
		(1-i) z + (1+i) w &= 1.
	\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Delbrøksoppspalt
\[
\frac{s}{(s+1)(s^2+1)}.
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{12}
Løs initialverdiproblemet
\[
y'(t)+y(t)=f(t) \quad y(0)=1
\]
for 
\begin{itemize}
\item[a)] $f(t)=t$
\item[b)] $f(t)=\cos t$
\end{itemize}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{13} 
  Uttrykk 
  \begin{equation*}
    \int_0^1 \frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\dee x
  \end{equation*}
  som en taylorrekke om $0$. Hvor mange ledd må du ta med for å
  approksimere integralet med en feil på under $10^{-2}$?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
  Tilnærmingen
  \begin{equation*}
    1 - \frac{x^2}2
  \end{equation*}
  kan brukes for $\cos x$ for små verdier av $x$. Finn et feilestimat
  for feilen når $|x| < 1/2$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{15}
  Finn taylorrekken til $f(x) = x \ln x$ om $x = 1$.  For hvilke $x$
  konvergerer denne?
\end{oppgave}


\section*{Teorioppgaver}

\begin{oppgave}{16}
Vis at 
\[
\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1\quad \text{og} \quad \lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta}=0.
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{17}
Vis at 
\[
\frac{d}{dx}\sin x= \cos x.
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{18}
Følgende teorem kalles skviseregelen: \\[3pt]
Dersom $x_0$ ligger i et åpent intervall der $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$,
og 
\[
\lim_{x \to x_0}f(x_0)=\lim_{x \to x_0}g(x_0)=L,
\]
er også 
\[
\lim_{x \to x_0}g(x_0)=L.
\]
Vis dette.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{19}
Finn en generell formel for den $n$-te deriverte til $f(x)=\frac{1}{x}$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{20}
Forklar hvorfor likningen 
\[
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0
\]
beskriver et plan som inneholder $(x_0,y_0,x_0)$ og har normalvektor $(a,b,c)$,
og bruk dette til å utlede et kriterium for når et $3\times 3$-likningssystem har entydig løsning.
\end{oppgave}


\section*{Nøtter}

\begin{oppgave}{21}
Finn $k$ slik at $y-36x=k$ er en normal til kurven 
\[
y=\frac{1}{|x-7|}
\]
\end{oppgave}





\begin{oppgave}{22}
Vis at $\tan x > x$ for $x \in (0,\pi/2)$.
\end{oppgave}












\begin{oppgave}{23}
La $A$ være følgende matrise:
\[
A =
\begin{bmatrix}
 9 & -3 \\
-3 &  2
\end{bmatrix}
\]
Finn alle $2 \times 2$-matriser~$X$ som er løsninger av likningen
$AX = XA$.
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{24}
  La 
  \begin{equation*}
    f\left( x \right) = \begin{cases}
      e^{-\frac{1}{x}} & \text{ når } x>0\\
      0&\text{ når }x\le 0.
    \end{cases}
  \end{equation*}

  % a)
  \bPunkt
    Vis at
    \begin{equation*}
      f^{(n)}\left( x \right)=\frac{e^{-\frac{1}{x}}p\left( x
        \right)}{x^{2n}}\quad\text{ når }x>0,
    \end{equation*}
    hvor $p\left( x \right)$ er et polynom av grad ekte mindre enn
    $2n.$ Bruk dette til å vise
    \begin{equation*}
      f^{\left( n \right)}\left( 0 \right)=0.
    \end{equation*}
    (Hint: Dere kan fritt bruke at $\lim\limits_{x\to
      0^{+}}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^{m}}=\lim\limits_{y\to
      \infty}\frac{y^{m}}{e^{y}}=0$ når $y=\frac{1}{x}$.)
  \ePunkt

  % b)
  \bPunkt
    Finn maclaurinrekken til funksjonen $f\left( x \right)$. Vil
    maclaurinrekken konvergere mot $f\left( x \right)$ for $x>0$?
  \ePunkt
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{25}
  Finn konvergensområdet for rekken
  \begin{equation*}
    \sum_{n = 1}^\infty \left(1 + \frac1n\right)^{n^2} x^n.
  \end{equation*}
  % Vis at dersom $\{a_n\}$ er en begrenset følge, så konvergerer
  % \begin{equation*}
  %   \sum_{n = 1}^\infty a_n x^n
  % \end{equation*}
  % absolutt for alle $x\in (-1,1)$.
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{26}
  Finn summen til rekken
  \begin{equation*}
    \sum_{n = 1}^\infty \frac1{n 3^n}.
  \end{equation*}
\end{oppgave}

\end{document}
