\input{preamble}

\title{Integralet V}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Nå skal vi bruke integrasjon til å regne ut et par andre ting. 

\begin{tcolorbox}
Integralet kan brukes til alt. 
\end{tcolorbox}

Nå skal vi regne ut volum. 
Dersom du har en funksjon som beskriver tverrsnittet av et objekt som funksjon av høyden eller liknende:

\begin{oppgave}{1}
En pyramide har høyde 1 og kvadratisk grunnflate med sidekant 1. 
Finn en funksjon som beskriver arealet av tverrsnittet som funksjon av høyden. 
(Tegn det opp.)
\end{oppgave}

kan man finne volumet av dette objektet ved å integrere:

\begin{oppgave}{2}
Finn volumet av pyramiden.
\end{oppgave}

Dersom vi tar grafen til en funksjon $y=f(x)$ mellom $x=a$ og $x=b$ og dreier den en gang om $x$-aksen,
får vi et omdreiningslegeme. 
Volumet av dette kan beregnes på slikt vis.

\begin{oppgave}{3}
Bruk din forståelse av riemannsummer til å forklare at volumet blir
\[
V=\pi \int_a^b f^2(x)\; dx
\]
(Hint: tenk sirkelskive.)
\end{oppgave}

Det hender at studenter lurer på hvorfor man skal lære omdreiningslegemer. 
Den er flere viktige grunner til å lære dette. 
En av dem er at man må trene på riemannsumtankegangen, 
for ellers blir det veldig vanskelig å forstå fysikk. 
De folkene integrerer jo hele tiden. 
En annen grunn er at det blir mye lettere å skjønne dobbeltintegraler i tredje semester.
Nå tar vi en klassiker.

\begin{oppgave}{4}
Vi roterer funksjonen $f: [1,\infty) \to \mathbb R$ gitt ved 
\[
f(x)=\frac{1}{x}
\]
om $x$-aksen. 
Hva blir volumet?
\end{oppgave}

Eksemplet over kalles Gabriels trompet. 
Den er uendelig lang, 
men har volum $\pi$.
Du kan med andre ord bruke den som malingsspann og fylle den med maling. 

Men kan du male den på utsiden?
Hvis vi dreier ting rundt $x$-aksen, 
kan vi også regne overflatearealet til omdreiningslegemet som oppstår.

 
\begin{oppgave}{5}
Bruk din forståelse av riemannsummer til å forklare at overflatearealet til omdreiningslegemet blir
\[
V=2\pi \int_a^b |f(x)|\sqrt{1+(f'(x))^2}\; dx
\]
(Hint: tenk sirkel og kombiner med forrige ukes visdom om buelengde.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
Du bruker Gabriels trompet som malingsspann. 
Er det nok maling i spannet til å male trompetens overflate?
\end{oppgave}

Vi kan også dreie funksjoner om $y$-aksen.

\begin{oppgave}{7}
Bruk din forståelse av riemannsummer til å forklare at hvis du dreier en funksjon $f: [a,b]\to \mathbb R$ om $y$-aksen, 
blir volumet 
\[
V=2\pi \int_a^b x f(x)\; dx
\]
(Hint: tenk tynne sylinderskiver. Det blir også lettest å visualisere om man holder seg til $f\geq 0$ og $0\leq a< b$.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
Jorden er som alle vet, 
uendelig stor og nesten flat.
Den lille horisontkrummingen du ser når du er på havet skyldes at jordens overflate har samme form som funksjonen $f: [1,\infty) \to \mathbb R$ gitt ved 
\[
f(x)=\frac{1}{x}
\]
dreid om $y$-aksen. 
(I midten er det et hull der du kan stige ned til dødsriket.)
Jorden har selvfølgelig uendelig stort volum,
det vet alle. 
Vis dette.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
Finn volumet av funksjonen $f: [0,1] \to \mathbb R$ gitt ved 
\[
f(x)=\frac{1}{x}
\]
dreid om $y$-aksen,
og sammenlikne med oppgave 4.
\end{oppgave}

\section*{Påskenøtter}

\begin{oppgave}{10}
  En beholder med høyde $4$ lages ved å rotere kurven  $y = x^2$, 
  $0 \leq x \leq 2$, 
  om aksen $x = -1$ og sette en plan bunn i.  
  Finn volumet $V$ av beholderen.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Vis at arealet til en ellipse med halvakser $a$ og $b$ er $\pi ab$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{12}
Vis at volumet til en kule med radius $r$ er $\frac{4\pi}{3}r^3$.
\end{oppgave}
  
  \begin{oppgave}{13}
  Siv har en kuleformet vanntank med radius $R$.  På toppen av tanken
  er det et lite hull.  Siv ønsker å finne ut hvor mye vann det er
  igjen i vanntanken ved å måle avstanden $L$ fra hullet ned til
  vannoverflaten.

  Finn et eksplisitt uttrykk for vannvolumet $V(L)$ for
  $0\leq L \leq 2R$.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{14}
 Kheopspyramiden hevdes å ha tatt $20$ år å bygge.  Pyramiden
  var $146$ meter høy da den stod ferdig, og hadde en kvadratisk
  grunnflate med sidelengde $230$ meter.

  Anta at steinene brukt til å bygge pyramiden har
  massetetthet $1920$ kg/m$^3$.  Anta at hver arbeider utførte et
  arbeid tilsvarende $218$ J/h ved å løfte steiner fra bakkenivå til
  den endelige plasseringen i pyramiden, og at hver arbeider jobbet
  $12$ timer hver dag, $330$ dager i året.

  Hvor mange arbeidere måtte til for å bygge pyramiden?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{15}
 Finnes det et reelt tall $p$ slik at det
  uegentlige integralet
  \begin{equation*}
    \int_1^\infty \frac1{x (\ln x)^p} \dee x
  \end{equation*}
  konvergerer?
\end{oppgave}









\end{document}
