\input{preamble}

\title{BONUSERT}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Her er en bonusert for de som er klar for litt nytt stoff i rekonvaleseringsuken. 
Oppgavene i denne bonuserten er ikke eksamensrelevante med mindre de dukker opp i en vanlig ert senere.
Skal du ha håp her, bør du lese kap. 6 i kompendiet.

\begin{oppgave}{11}
Vis at $\sin t$ og $\cos t$ er lineært uavhengige vektorer.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{101}
Differensiallikningen 
$
\ddot{y}(t)+y(t)=0
$
har generell løsning
$
y(t)=A\cos t+B\sin t.\\
$
Vis at løsningene utgjør et vektorrom. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{181}
Dersom $A$ og $B$ er reelle tall, 
kan løsningen skrives
$
y(t)=a\sin(t+\phi).\\
$
Er $F(a,\phi)=(A,B)$ en lineæroperator?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{619}
Vis at en lineært uavhengig vektormengde ikke kan inneholde nullvektoren.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{16091}
Vis at rommet av kontinuerlige funksjoner på $[a,b]$ er et vektorrom med uendelig mange dimensjoner.
\end{oppgave}




 \begin{oppgave}{18181}
 I statistikk sier bruker de ordet \say{lineær} om en funksjon på formen
 \[
 y=ax+b.
 \]
 Dette kan være litt forvirrende, for uttrykket over er ikke en lineæroperator. 
 Forklar hvorfor det ikke er det.
 \end{oppgave}


\begin{oppgave}{19861}
La $V$ være et vektorrom over $\mathbb{C}$.
Finn to ikke-ortogonale vektorer slik at 
\[
\|\V v-\V w \|^2=\|\V v\|^2 +\|\V w\|^2
\]
og forklar hvorfor dette er litt artig.
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{61819}
Finn en basis for nullrommet til matrisen 
$
\begin{pmatrix}
 1 & 2 & 3\\
 2 & 3 & 4\\
 3 & 4 & 5\\
 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
$
og vis at dette er et vektorrom. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{116911}
La
$
A =
\begin{pmatrix}
 1 & 2 & 3\\
 2 & 3 & 4\\
 3 & 4 & 5\\
 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
$
og 
$
\mathbf b =
\begin{pmatrix}
\;1 \\
\;1 \\
\;1 \\
\;1 
\end{pmatrix}.
$
Løs $A\mathbf x=\mathbf b$,
og vis $\mathbf x$ ikke er et vektorrom. 
\end{oppgave}





\begin{oppgave}{119611}
Finn koordinatene til 
 $
 \begin{bmatrix}
1\\ 
1 \\
1
 \end{bmatrix}
$
i basisen 
$
\left\{
 \begin{bmatrix}
 1  \\ 
-1\\
 1
 \end{bmatrix},
 \begin{bmatrix}
 1  \\ 
2\\
 1
 \end{bmatrix},
 \begin{bmatrix}
 -1  \\ 
0\\
 1
 \end{bmatrix}
 \right\}.
 $
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{160091}
Finn den ortogonale projeksjonen av  
$
\begin{bmatrix}
5 \\ 1 \\ -1 \\ -1
\end{bmatrix} 
$
på rommet utspent av 
$
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix} 
\quad
\text{og}
\quad
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix} 
$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{169691}
Finn den ortogonale projeksjonen av vektoren 
 $
 \begin{bmatrix}
3\\ 
3 \\
9
 \end{bmatrix}
 $
 på kolonnerommet til 
$
 \begin{bmatrix}
2 & 4 &0  \\ 
-5 &-4&6\\
1 &-2 & -4
 \end{bmatrix}
 $
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{ 191161}
Finn koordinatene til vektoren 
$
 \begin{bmatrix}
5 \\ 
3 \\
-1  \\
1 
 \end{bmatrix}
 $
i basisen gitt av søylene til
$
 \begin{bmatrix}
2 & 3 &4  \\ 
1 &0&1\\
0 &1 & 0 \\
0 &0 & 1
 \end{bmatrix}
 $
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{196961}
Finn en ortogonal basis for søylerommet til matrisen 
$
 \begin{bmatrix}
2 & 3 &4  \\ 
1 &0&1\\
0 &1 & 0 \\
0 &0 & 1
 \end{bmatrix}
 $
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{686989}
Bruk Gram-Schmidts metode til å finne en ortogonal basis for vektorrommet av alle reelle polynomer på $[-1,1]$ av maksimal grad 2.
Indreproduktet er 
$
\int_{-1}^1p(t) q(t)\; dt
$
der $p$ og $q$ er to slike polynomer.
Sjekk etterpå at basisen du fant faktisk er ortogonal, 
og finn koordinatene til $p(t)=t^2$ i denne basisen. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{688889}
Finn  regresjonslinjen til punktene $(-1,5)$, $(0,1)$, $(1,-1)$ og $(2,-1)$.
\end{oppgave}

\vspace{3cm}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1007128}
\end{center}





\end{document}
