\input{preamble}

\title{Hva kommer på eksamen i TMA4121 - 6}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


\begin{oppgave}{1}
La $A$ være $2\times 2$-rotasjonsmatrisen. 
Vis at dersom $u(\mathbf x)$ er harmonisk, 
er også $u(A\mathbf x)$ det.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
Utled at løsningen til Laplaces likning
\[
\phi_{xx}+\phi_{yy}=0,
\]
på rektangelet $[0,\pi] \times [0,\pi]$ med randkrav 
\[
\phi(x,0)=\phi(0,y)=\phi(\pi,y)=0
\]
og
\[
\phi(x,\pi)=f(x).
\]
er
\[
\phi(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n\sinh ny \sin nx,
\]
der
\[
A_n=\frac{2}{\pi \sinh n\pi}  \int_{0}^\pi f(x) \sin nx\; dx.
\]
\end{oppgave}

\end{document}
