\input{../preambles/preamble}

\title{42 - STOKES TEOREM}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Nå tar vi Stokes teorem.
Først må vi skjønne hva curlen til et vektorfelt er:
\[
\nabla \times \mathbf F = 
\]
Hver av komponentene til $\mathbf F$ har tre partiellederiverte, 
og divergensen til $\mathbf F$ er altså summen av tre av dem. 

\begin{oppgave}{1}
  Finn curlen til vektorfeltet $\vekF(x,y,z) = (10xy^2, -  5yz^2, 9zx^2)$.
\end{oppgave}

Nå skal vi se litt på hva curl betyr.
Les 16.1 og 16.2 i Adams.

\begin{oppgave}{2}
  La $\mathcal{C}_\epsilon$ være sirkelen $x^2+y^2 = \epsilon^2$, orientert mot
  klokken, og la vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ være gitt
  ved $\vekF(x,y) = (-y,x)$.  Bestem grenseverdien
  \begin{equation*}
    \lim_{\epsilon \to 0^+}  \frac1{\pi\epsilon^2}
    \oint_{\mathcal{C}_\epsilon} \vekF \cdot \dee\vekr\;.
  \end{equation*}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{3}
Finn curlen til coulombkraften til en ladning $q$.
\end{oppgave}

Les nå 16.5 i Adams.

\begin{tcolorbox}[title=Stokes teorem]
\[
\int_{\partial D} \mathbf F \cdot ds= \iint_{D} \nabla \times \mathbf F \cdot \mathbf N \;dS
\]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{4}
La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av paraboloidene
$z = x^2 + (y + 1)^2$ og $z = 10 - x^2 - (y - 1)^2$, og la $\mathcal C$ betegne
skjæringskurven mellom disse to paraboloidene.

La vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ være gitt ved
$\vekF(x,y,z) = (x + y, y - x, x^2 + y^2)$.
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \oint_{\mathcal C} \vekF \cdot d\vekr
  \end{equation*}
  der $\mathcal C$ er orientert mot klokken sett ovenfra.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
  La $R$ være den delen av ellipsoiden $x^2 + y^2 + 8(z - 1)^2
  = 9$ hvor $z \geq 0$, og la vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^3 \to
  \mathbb R^3$ være gitt ved
  \begin{equation*}
    \vekF(x,y,z) = \left(xz - 5y^3 \cos z, 5x^3 e^z, 6xy e^{x^2 + y^2
        + z^2}\right)
  \end{equation*}
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \iint_R \nabla \times  \vekF \cdot \mathbf N \, dS
  \end{equation*}
  der $\mathbf N $ er enhetsnormalen på $R$ som peker vekk fra origo.
\end{oppgave}


\end{document}
