\input{../preambles/preamble}

\title{Hva kommer på eksamen i TMA4121?}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


\begin{oppgave}{1}
Skriv opp Maxwells likninger på differensialform og utled
\begin{itemize}
\item[1:] de korresponderende likningene på integralform,
\item[2:] likningen for ladningskonservering,
\item[2:] Poissons likning
%\[
%\Delta V=-\frac{\rho}{\epsilon_0}
%\]
ved statisk tilfelle ($\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}=\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}=\mathbf 0$), og
\item[4:]  bølgelikningen 
%\[
%\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}=c^2\Delta \mathbf E
%\]
ved homogent tilfelle ($\rho=0$ og $\mathbf J=\mathbf 0$).
\end{itemize}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Anta tomt rom og vis at 
dersom bølgefunksjonene $\mathbf E(\mathbf x,t)=\mathbf E_0e^{i(\mathbf k \cdot \mathbf x - ct)}$ og 
$\mathbf B(\mathbf x,t)=\mathbf B_0e^{i(\mathbf k \cdot \mathbf x - ct)}$
skal tilfredsstille Maxwells likninger, 
må de konstante vektorene $\mathbf E_0$, 
$\mathbf B_0$ og $\mathbf k$ være innbyrdes ortogonale.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{3}
Utled varmelikningen i tre romlige dimensjoner.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Utled telegraflikningene:
\begin{align*}
\frac{\partial V}{\partial x} = -L\frac{\partial I}{\partial t}  \\
\frac{\partial I}{\partial x} = -C\frac{\partial V}{\partial t} 
\end{align*}
for et langt ledningspar.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Løs bølge- og varmelikningen på hele $\mathbb R$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
Utled middelverdisatsene 
\[
u(x)=\frac{1}{4\pi r^2} \iint_{\partial\Omega} u \; dS = \frac{3}{4\pi r^3} \iiint_{\Omega} u \; dx
\]
der $x \in \mathbb R^3$ og $\Omega$ er en kule sentrert i $x$ og med vilkårlig radius $r$,
og $u$ er en harmonisk funksjon.
\end{oppgave} 

\begin{oppgave}{7}
Vis at harmoniske funksjoner er rotasjonsinvariante.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
Vis at laplaceoperatoren blir
\[ 
\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\]
i polare koordinater.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{9}
La $u$ og $v$ være henholdsvis real- og imaginærdelen til en kompleks analytisk funksjon $f$.
Bruk definisjonen av kompleks derivert til å utlede Cauchy-Riemann-likningene
\[
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
\]
og vis at $u$ og $v$ er harmoniske funksjoner.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{10}
Skriv opp definisjonen på komplekst linjeintegral. 
Forklar hva Cauchys integralteorem sier, 
og regn ut 
\[
\int_{\mathcal C} \frac{1}{(z-z_0)^n}\; dz
\]
der $\mathcal C$ er en sirkel med sentrum i $z_0$ i det komplekse planet
og $n$ er et heltall.
Skriv opp Cauchys integralformel og forklar hvor den kommer fra.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Forklar hva residyteoremet sier og hvordan dette kan brukes til å invertere laplacetransformen til et signal. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
Utled Rodrigues formel 
\[
x' = y\cos \theta + y \times x \sin \theta + x\cdot y (1-\cos \theta) y
\]
der $x'$ er $x$ rotert vinkelen $\theta$ om enhetsvektoren $y$. 
\end{oppgave}

%\begin{oppgave}{2}
%Finn
%\[
%\oint_{\mathcal C} \frac{z^2}{z^2-1}\; dz
%\]
%der $\mathcal C$ er sirkelen $|z+1|=1$.
%\end{oppgave}
%
%\begin{oppgave}{3}
%Finn
%\[
%\oint_{\mathcal C} \frac{e^z}{z^n}\; dz
%\]
%der $\mathcal C$ er einingssirkelen.
%\end{oppgave}

%\begin{oppgave}{2}
%Finn 
%\[
%\int_{\mathcal C} \frac{z-23}{z^2-4z-5}\; dz
%\]
%der $\mathcal C$ er en sirkel med sentrum i $2+i$ og radius 3.2.
%\end{oppgave}


\end{document}
