\input{../preambles/preamble}

\title{41 - VEKTORKALKULUS}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle



Denne uken skal vi ta for oss to teoremer som er viktige for elektromagnetismen - Stokes' teorem og divergensteoremet. 
De forteller noe om hvordan glatte vektorfelt oppfører seg.

\begin{oppgave}{0}
Les 16 i Adams.
\end{oppgave}

\section*{DIVERGENS}

Divergensen til et vektorfelt er summen av diagonalelementene i vektrofeltets jacobimatrise:
\[
\nabla \cdot \mathbf F = \frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\frac{\partial F_3}{\partial x_3}
=\text{trace}\left({DF}\right)
\]


\begin{oppgave}{1}
  Finn divergensen til vektorfeltet $\vekF(x,y,z) = (10xy^2, -  5yz^2, 9zx^2)$.
\end{oppgave}

Nå skal vi se litt på hva divergensen betyr.

\begin{oppgave}{2}
  La $\S_{\epsilon}$ være kuleflaten med sentrum i origo og radius
  $\epsilon$, og la vektorfeltet $\vekF$ være gitt ved
  $\vekF(x,y,z) = (x,y,0)$.  La $\mathbf N $ være enhetsnormalen til
  $\S_{\epsilon}$ som peker utover.  Bestem grenseverdien
  \begin{equation*}
    \lim_{\epsilon \to 0^+}  \frac3{4\pi\epsilon^3}
    \oiint_{\S_\epsilon} \vekF \cdot \mathbf N  \dee S.
  \end{equation*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Finn divergensen til det elektriske feltet til en punktladning.
\end{oppgave}




\begin{tcolorbox}[title=Divergensteoremet]
\[
\iiint_D \nabla \cdot \mathbf F \; dV= \iint_{\partial D} \mathbf F \cdot \mathbf N \;dS
\]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{4}
La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av paraboloidene
$z = x^2 + (y + 1)^2$ og $z = 10 - x^2 - (y - 1)^2$, og la $\mathbb C$ betegne
skjæringskurven mellom disse to paraboloidene.
La vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ være gitt ved
$\vekF(x,y,z) = (x + y, y - x, x^2 + y^2)$.

  Regn ut
  \begin{equation*}
    \oiint_{\partial T} \vekF \cdot 
    \mathbf N\, dS,  \end{equation*}
  der $\partial T$ er randen til $T$ og enhetsnormalen $\mathbf N$ peker
  ut fra $T$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
  La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av flatene $z = \sqrt{x^2 +
    y^2 - 7}$, $z = 0$ og $z = 2$.  La vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^3
  \to \mathbb R^3$ være gitt ved
  \begin{equation*}
    \vekF(x,y,z) = (x - z, x + y, z + 1).
  \end{equation*}
  Hva er fluksen ut av den krumme delen til randen til $T$?
\end{oppgave}

\section*{ROTASJON}

Rotasjonen til et vektorfelt er litt mer grisete enn divergensen:
\[
\nabla \times \mathbf F = 
\left(
\frac{\partial F_3}{\partial x_2}-\frac{\partial F_2}{\partial x_3},
\frac{\partial F_1}{\partial x_3}-\frac{\partial F_3}{\partial x_1},
\frac{\partial F_2}{\partial x_1}-\frac{\partial F_1}{\partial x_2}
\right)
\]

\begin{oppgave}{1}
  Finn rotasjonen til vektorfeltet $\vekF(x,y,z) = (10xy^2, -  5yz^2, 9zx^2)$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
  La $\mathcal{C}_\epsilon$ være sirkelen $x^2+y^2 = \epsilon^2$, orientert mot
  klokken, og la vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ være gitt
  ved $\vekF(x,y) = (-y,x)$.  Bestem grenseverdien
  \begin{equation*}
    \lim_{\epsilon \to 0^+}  \frac1{\pi\epsilon^2}
    \oint_{\mathcal{C}_\epsilon} \vekF \cdot \dee\vekr\;.
  \end{equation*}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{3}
Finn rotasjonen til coulombkraften til en ladning $q$.
\end{oppgave}




\begin{tcolorbox}[title=Stokes teorem]
\[
\int_{\partial D} \mathbf F \cdot ds= \iint_{D} \nabla \times \mathbf F \cdot \mathbf N \;dS
\]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{4}
La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av paraboloidene
$z = x^2 + (y + 1)^2$ og $z = 10 - x^2 - (y - 1)^2$, og la $\mathcal C$ betegne
skjæringskurven mellom disse to paraboloidene.
La vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ være gitt ved
$\vekF(x,y,z) = (x + y, y - x, x^2 + y^2)$.
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \oint_{\mathcal C} \vekF \cdot d\vekr
  \end{equation*}
  der $\mathcal C$ er orientert mot klokken sett ovenfra.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
  La $R$ være den delen av ellipsoiden $x^2 + y^2 + 8(z - 1)^2
  = 9$ hvor $z \geq 0$, og la vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^3 \to
  \mathbb R^3$ være gitt ved
  \begin{equation*}
    \vekF(x,y,z) = \left(xz - 5y^3 \cos z, 5x^3 e^z, 6xy e^{x^2 + y^2
        + z^2}\right)
  \end{equation*}
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \iint_R \nabla \times  \vekF \cdot \mathbf N \, dS
  \end{equation*}
  der $\mathbf N $ er enhetsnormalen på $R$ som peker vekk fra origo.
\end{oppgave}


Se her for flere regneregler for divergens og rotasjon:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities#Second_derivative_identities}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.24]{../figurer/L1002363}
\end{center}

\end{document}
