\input{../preambles/preamble}

\title{40 - TRIPPELINTEGRAL}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle




Trippelintegral fungerer omtrent som dobbeltintegral,
men det er vanskeligere å visualisere. 
Vi integrerer funksjoner fra $\mathbb R^3$ til $\mathbb R$.
Du kan tenke på funksjonen som massetetthet eller ladningstetthet i rom, 
og på integrasjonsområdet $\Omega$ som en ting du ønsker å finne den totale ladningen til.
Fysikere skriver
\[
\iiint_\Omega f(x,y,z)\; dV
\]
men matematikere liker kanskje bedre å skrive
\[
\iiint_\Omega f(\mathbf x)\; d\mathbf x
\]

\begin{oppgave}{1}
Brygg deg en kopp kaffe eller noe annet og les kap. 14.5-14.7 i Adams.
\end{oppgave}

La oss begynne med noe enkelt.
I oppgaven under er integrasjonsområdet en rektangulær boks. 
Integralene utføres fra innerst til ytterst.



\begin{oppgave}{2}
Regn ut
  \begin{equation*}
    \int_0^1    \int_0^2    \int_0^3  x^2y+z  \; dzdydx.
  \end{equation*}
Dersom $x^2y+z$ er massetetthet, 
hvordan vil du tolke det innerste integralet
  \begin{equation*}
 \int_0^3  x^2y+z  \; dz?
  \end{equation*}
Hva med de to innerste integralene
  \begin{equation*}
\int_0^2 \int_0^3  x^2y+z  \; dzdy?
  \end{equation*}
\end{oppgave}

Det vanskelige kommer når integrasjonsområdet ikke er rektangulært. 
La oss prøve Adams sitt eksempel med tetraederformet integrasjonsområde.
I de tre neste oppgavene er $T$ et tetraeder med hjørner i $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ og $(0,0,1)$.

\begin{oppgave}{3}
Overflaten til $T$ består av fire plan som har hver sin likning. 
Finn dem.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{4}
Skriv opp integralet
  \begin{equation*}
\iiint_T  x^2y+z  \; dV
  \end{equation*}
  på seks forskjellige måter.
\end{oppgave}

Hvis du tenker på integranden som massetetthet (kilo/kubikkmeter) 
og $\Omega$ som en klump med masse, 
er trippelintegralet $f$ over $\Omega$ den totale massen til klumpen.
Massesenteret $\mathbf m=(m_1,m_2,m_3)$ er gitt ved
\[
m_1=\frac{\iiint_\Omega x_1f(\mathbf x) \; d\mathbf x}{\iiint_\Omega f(\mathbf x) \; d\mathbf x},
\hspace{1cm}
m_2=\frac{\iiint_\Omega x_2f(\mathbf x) \; d\mathbf x}{\iiint_\Omega f(\mathbf x) \; d\mathbf x},
\hspace{1cm}
m_3=\frac{\iiint_\Omega x_3f(\mathbf x) \; d\mathbf x}{\iiint_\Omega f(\mathbf x) \; d\mathbf x}.
\]
Hvis du ikke helt skjønner poenget med massesenter,
finner du den beste forklaringen på massesenteret her:\\
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_18.html}

\begin{oppgave}{5}
  Anta at massetettheten til et  objekt formet som $T$ er gitt som $\delta(x,y,z) = xz$.
 Finn massen og massesenteret til
  objektet.
\end{oppgave}


Nå tar vi en litt vanskeligere en.

\begin{oppgave}{6}
Et område $D$ er definert ved gitt ved ulikhetene $0\leq z\leq 1-|x|-|y|$. 
Skisser området og skriv opp
  \begin{equation*}
\iiint_D  x^2y+z  \; dV
  \end{equation*}
  på seks forskjellige måter. (Oppg 14.5.7 fra Adams.)
\end{oppgave}




Hvis du vil trippelintegrere en funksjon $f$ over et domene $D$ som er enhetskuleformet,
blir det et svineri uten like i vanlige koordinater:
  \begin{equation*}
    \iiint_D f \;  dV = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-\sqrt{1-y^2-x^2}}^{\sqrt{1-y^2-x^2}}f(x,y,z)\;dz dy dx
  \end{equation*}
Heldigvis finnes det koordinatskift.
Man må finne en parametrisering av integrasjonsområdet hvis definisjonsmengde er en rektangulær boks.
Akkurat som med linje- og flateintegraler må man huske å kompensere for farten til parametriseringen.

\begin{oppgave}{7}
La $\mathbf z(\mathbf x)$ være en funksjon fra $D \to \mathbf R^3$,
der $D \in \mathbb R^3$, 
og la $\Omega$ være bildet av $D$ gjennom $\mathbf z$.
Forklar at volumet til $\Omega$ er 
\[
\int_\Omega d\mathbf z=
\int_D \left| \frac{\partial\mathbf z}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial\mathbf z}{\partial x_2}\times \frac{\partial\mathbf z}{\partial x_3}\right| d\mathbf x
\] 
(Hint: Akkurat samme triks som for dobbeltintegral og flateintegral.)
\end{oppgave}



Det finnes to veldig viktige koordinattransformasjoner. 
Dersom integrasjonsområdet er formet som en sylinder parallell med $z$-aksen,
bruker man sylinderkoordinater:
\begin{align*}
x&=r\cos \theta \\
y&=r\sin \theta \\
z&=z
\end{align*}
%Ulikhetene
%\[
%0\leq \theta < 2\pi \quad 0\leq r \leq a \quad b \leq z \leq c
%\]
%i variablene til parametriseringen betyr det samme som 

\begin{oppgave}{8}
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \iiint_R (x^2 + y^2 + z^2) \dee V
  \end{equation*}
  der $R = \left\{(x,y,z) \,:\, 0\leq x^2+y^2 \leq 9 \text{ og } 0\leq z
  \leq 5\right\}$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
    Finn volumet av den delen av kjeglen
    \[
        z^2 \geq x^2 + y^2
    \]
    som ligger innenfor kuleskallet $x^2+y^2+z^2=1$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \iiint_T z\sqrt{x^2+y^2} \; dV
  \end{equation*}
  der legemet $T$ er gitt ved $0\leq z\leq 1 - \sqrt{x^2 + y^2}$,
  $y\geq 0$.
\end{oppgave}

Den andre viktige transformasjonen er kulekoordinater:
\begin{align*}
x&=r\cos \theta \sin \phi \\
y&=r\sin \theta \sin \phi\\
z&=r \cos \phi
\end{align*}
Her er $\theta$ vinkelen du er vant med i $xy$-planet, 
og $\phi$ vinkelen $(x,y,z)$ gjør med $z$-aksen.

\begin{oppgave}{11}
Finn massesenteret til en åttendels kule, en kvart kule og en halvkule, alle med konstant massetetthet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
Finn
\[
\iiint_R z \; dV
\]
der $R$ er området i rommet avgrenset av $x^2+y^2+z^2=4$, 
$xz$-planet, $yz$-planet, $x\geq 0$ og $y\geq 0$.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.35]{../figurer/L1003349}
\end{center}


\section*{UKENS NØTTER}

\begin{oppgave}{1}
  La $R$ være det romlige legemet som er avgrenset av flaten $z =
  \sqrt{x^2 + y^2 - 4}$ samt planene $z = 0$ og $z = \sqrt 5$.

  Regn ut volumet av $R$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
  Finn volumet av legemet som er avgrenset av flaten oppgitt i
  kulekoordinater ved
  \begin{equation*}
    \rho = 4-\cos(\varphi).
  \end{equation*}
\end{oppgave}

\section*{UKENS FYSIKK}

\begin{oppgave}{1}
En kjøkkenbenk med en buet ende er avgrenset av $x=0$, $x=1$, $y=0$ og $y=\sin x$. 
Den har konstant massetetthet lik 1, 
og Ole Bjørn lurer på om han klarer å løfte den. 
Finn kjøkkenbenkens totale masse.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Ole Bjørn ønsker å balansere kjøkkenbenken på en finger i forbindelse med en jubileumskonkurranse i byggevarebutikken. 
Han må derfor beregne kjøkkenbenkens massesenter. 
Hjelp ham med det.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{3}
Ole Bjørn har bygget et hus med en interessant grunnflate og skrått tak. 
Grunnflaten er området som er innesluttet mellom kurvene $y=x^2$ og $x=y^2$, 
og taket er gitt ved 
\[
f(x,y)=x+y.
\]
Finn volumet til huset.
\end{oppgave}
  
 
\begin{oppgave}{4}
Ole Bjørn ønsker å beregne massen til en oppvaskmaskin for å finne ut om han kan bære den opp i huset selv. 
Den har form som et rektangulært prisme avgrenset av $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$, $z=0$ og $z=\pi$, 
og har massetetthet gitt ved
\[
\rho=f(x,y,z)=\sin z.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Finn også massesenteret til oppvaskmaskinen.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
Ole Bjørn har bygget en liten modell av holmenkollbakken. 
Den har konstant massetetthet 1,
og er avgrenset av $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=2$, $z=0$ og $z=y^2$.
Finn massen og massesenteret.
\end{oppgave}

 
\begin{oppgave}{7}
Ole Bjørn sager holmenkollbanen sin i to langs med planet gitt ved $x+2y=4$.
Finn massen og massesenteret til delene.
\end{oppgave}


 \begin{center}
\includegraphics[scale=.36]{../figurer/L9993762}
\end{center}




\end{document}
