\input{../preambles/preamble}

\title{34 - ORTOGONALE MATRISER}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Vi vet at det skal være mulig å finne et ortogonalt sett med egnevektorer dersom $A$ er symmetrisk. 

\begin{oppgave}{1}
Men hva med
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 
\end{pmatrix}
\]
\end{oppgave}
%
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=.6]{../figurer/img347}
%\end{center}
I denne økten skal vi forske litt mer på dette med ortogonalitet og slikt. 
La oss begynne med å repetere litt viktige ting.
Skalarproduktet i $\mathbb R^2$:
\[
\mathbf x \cdot \mathbf y = 
\mathbf x^T\mathbf y =
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\ y_2
\end{pmatrix}
=
x_1y_1+x_2y_2
\]



\begin{oppgave}{2}
Vis at
\[
x_1y_1+x_2y_2
=
\|\mathbf x \| 
\|\mathbf y \| 
\cos \theta
\]
der $\theta$ er vinkelen mellom $\mathbf x$ og $\mathbf y$.\\
(Hint: Tegn opp, og bruk cosinussetningen for det den er verdt.)
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{3}
\begin{minipage}{8cm}
\[
\hspace{-2cm}\text{Vis at} \quad \V z=\frac{\V y \cdot \V x}{\V y \cdot \V y}\V y \quad \text{i denne figuren:}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[-latex,thick] (0,0) -- (7,1);
\draw[-latex,thick] (0,0) -- (3,6);
\draw[-latex, thick,red] (0,0) -- (27/50*7,27/50*1);
\draw[-latex,thick] (27/50*7,27/50*1) -- (3,6);
\draw[-]  (27/50*7-1/7,27/50*1+1-1/77) -- (27/50*7+1-1/7,27/50*1+8/7-1/77);
\draw[-]  (27/50*7+1,27/50*1+1/7) -- (27/50*7+1-1/7,27/50*1+8/7-1/77);
\node[anchor=east] at (9,1.2) {\footnotesize $\V{y}$};
\node[anchor=south] at (3.5,6) {\footnotesize $\V{x}$};
\node[anchor=east,red] at (3,-.5) {\footnotesize $\V z$};
%\node[anchor=west] at (4.0,3) {\footnotesize $\V w-\V u$};
%\node[anchor=east] at (2.9,2) {\footnotesize $\theta$};
%\draw (2.5,.4) arc (8:55:3);
%\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
%\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
%\filldraw (9,6) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{v}$};
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (3,2) to[bend left=20] (9,6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{oppgave}


Skalarproduktet $\mathbf y \cdot\mathbf x$ forteller oss noe om $\mathbf x$ sin  komponent i retningen til $\mathbf y$.
Vektoren 
\[
\frac{\V y \cdot \V x}{\V y \cdot \V y}\V y
\]
kalles $\V x$ sin \textbf{ortogonale projeksjon} på $\V y$. 

\begin{oppgave}{4}
Inspirert av alt over, 
klarer du nå å finne en ortogonal egenvektormengde til 
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 
\end{pmatrix}?
\]
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.12]{../figurer/L1019161-Pano}
\end{center}



\begin{oppgave}{5}
Vis at $A^T=A^{-1}$ dersom kolonnene i en kvadratisk matrise er ortonormale.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{6}
Vis at dersom $\{\mathbf y_1, \mathbf y_2, \cdots, \mathbf y_n\}$ er en ortogonal vektormengde
og 
\[
\mathbf x = \sum_{k=1}^n c_k \mathbf y_k 
\]
er 
\[
c_k=\frac{\mathbf x \cdot \mathbf y_k}{\mathbf y_k \cdot \mathbf y_k}.
\]
\end{oppgave}



Dersom vi har en matrise med ikke ortogonale kolonner,
kan vi bruke projeksjonen 
\[
\frac{\V y \cdot \V x}{\V y \cdot \V y}\V y
\]
til å lage en matrise med ortogonale kolonner som spenner ut det samme vektorrommet.
Dette kalles Gram-Schmidts metode, 
og du finner den her:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gram–Schmidt_process}\\

\begin{oppgave}{7}
Finn en ortogonal basis for kolonnerommet til 
\[
\begin{pmatrix}
2&1&1&2\\
1&0&1&1\\
1&-2&1&-1\\
0&1&1&1
\end{pmatrix}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
Skriv en rutine i python eller matlab som 
Gram-Schmidter en matrise.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
Gram-Schmidt
polyhomene $\{1,x,x^2,\cdots\}$. 
Dersom du gjør det riktig, 
skal du få ut legendrepolynomene. 
\end{oppgave}

Ortogonale matriser brukes til å holde styr på rotasjoner:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix}\\
Mengden av alle ortogonale $n\times n$-matriser kalles den spesielle ortogonale gruppen, $SO(n)$. 
Dette er et eksempel på noe som kalles en Lie-gruppe,
etter den store norske matematikeren Sophus Lie:
\footnote{Sophus Lie leverte seriøse bidrag til forståelsen av differensiallikninger,
men det er kompliserte greier. Jeg skjønner ingenting av det.}\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie}\\


\begin{oppgave}{10}
Finn en $3\times 3$-matrise som roterer vektorer $\pi/4$ radianer om linjen $(1,1,1)$.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1019483}
\end{center}


\section*{Ukens nøtter}

Det går an å skrive projeksjonen 
\[
\frac{\V y \cdot \V x}{\V y \cdot \V y}\V y
\]
som 
\[
P \V x
\]
der $P$ er noe som kalles en projeksjonsmatrise. 



\begin{oppgave}{1}
Finn et uttrykk for $P$. \\
(Hint: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product})
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
En generell projeksjonsmatrise $P$ er definert ved likningen 
\[
P=P^2
\]
Denne likningen sier at det ikke skjer noe nytt om man benytter projeksjonen for andre gang.
Vis at egenverdiene $P$ kun kan være 0 eller 1.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.23]{../figurer/img226}
\end{center}



\end{document}
