\input{preamble}

\title{25 - BØLGE- OG VARMELIKNINGEN}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%heldige

\maketitle

Vi har i dette kurset gjort noe litt uvanlig og 
startet studiet av partielle differensiallikninger med
schrödingerlikningen.
Nå skal vi ta en titt på to andre likninger som på noen måter oppfører seg likt, 
og på andre måter helt forskjellig. 
De er
\[
\textbf{Varmelikningen:}
\hspace{10mm}
\dot u(x,t)=\alpha u''(x,t)
\hspace{10mm}
\textbf{Bølgelikningen}: 
\hspace{10mm}
\ddot u(x,t)=c^2 u''(x,t)
\]

Schrødingerlikningen kan utledes, 
men utledningen er temmelig hårete,
så mange velger å ta likningen som postulat. 
Bølge- og varmelikningen kan begge utledes med det du har i verktøykassen,
så det skal vi gjøre. 

La oss begynne med varmelikningen. 
Tenk at du har en stang eller ledning eller noe 
der varmen kun kan strømme i $x$-retningen, 
for eksempel ved at stangen eller ledningen har varmeisolasjon rundt seg. 
Fouriers varmelov sier at varmestrømmen $q$ (målt i watt per kvadratmeter) over et 
tverrsnitt av stangen er proporsjonal med temperaturgradienten:
\[
q = - k T'(x,t)
\]
der $k$ er en konstant som kalles den termiske diffusiviteten. 
La oss nå se på en liten bit av stangen, 
den mellom $x$ og $x+h$. 
Endringen i bitens indre energi ved konstant volum er
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho c A h T(x,t)\right) = \rho c A h \dot T(x,t)
\]
der $\rho$ er massetettheten til materialet, 
$A$ er tverrsnittet, 
og $c$ er den spesifikke varmekapasiteten.
Tidsendringen i denne varmeenergien må skyldes at varmeenergi 
strømmer inn og ut fra enten den ene eller andre siden,
slik at 
\[
\rho c A h \dot T(x,t) =  Aq_{\text{inn}}-Aq_{\text{ut}}= -kAT'(x,t)-(-kAT'(x+h,t))=kA\left(T'(x+h,t)-T'(x,t)\right)
\]
Hvis vi nå deler på $h$ og lar $h \to 0$,
får vi 
\[
\dot T(x,t) = \alpha T''(x,t)
\]
der alle konstanter er samlet sammen i $\alpha$. 
Hvis vi deler ut varmekapasiteten blir dette en likning for molar indre energi, 
som har symbol $u$.
Dette er en bedre bokstav for ukjent, 
så jeg tror vi skriver 
\[
\dot u(x,t) = \alpha u''(x,t)
\]
fra nå av. Men du kan tenke temperatur om du vil.

\begin{oppgave}{1}
Eksamen. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1020043}
\end{center}

Og så bølgelikningen.
Vi tenker at vi har en vibrerende streng 
med konstant massetetthet $\rho$ (nå i kg/m)
spent opp i $x=0$ og $x=\pi$. 
La $u(x,t)$ være en funksjon som for hvert punkt $x$ og hver tid $t$  
gir utslaget $u$ fra likevektslinjen, som ligger langs $x$-aksen. 
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]

      \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
          \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right]{$x$};
          \draw[->] (-2.5,-0.25) -- (-2.5,1.3) node[above]{$u$};
          \draw (2,0) arc(55:125:3.9cm) node[right,xshift=2cm,yshift=1.2cm]{$u(x,t)$};
          \node[below] at (2,0){$\pi$};
      \end{scope}
    \end{tikzpicture}
  \end{center}

Vi tar en nærmere titt på strekkreftene på et lite stykke av strengen. 
Vi antar at tyngdekraften er neglisjerbar, og at strengen er helt elastisk, 
slik at strengestrekket, som virker parallelt med strengen, er eneste kraft. 
Vi antar at hvert punkt på strengen kun beveger seg loddrett, 
og at den horisontale komponenten av strengestrekket er konstant lik $T$:
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]
 \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
          \draw[->] (-1,.63) -- (.5,.9) node[right,yshift=.3cm]{$[T,T_2]$};
          \draw[-] (-1,.05) -- (-1,-.05) node[below,xshift=.4cm, yshift=.07cm]{$x+h$};
                    
          \draw[->] (-1.5,.5) -- (-3,0) node[left]{$[-T,T_1]$};
          \draw[-] (-1.5,.05) -- (-1.5,-.05) node[below]{$x$};
          
          \draw (2,0) arc(55:125:3.9cm) node[right,xshift=4cm,yshift=.5cm]{$u(x,t)$};
          \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0);
     \end{scope}
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
og setter opp Newtons andre lov for den lille biten fra $x$ til $x+h$. 
Massen til en bit med lengde $h$ er $\rho h$, 
og akselerasjonen til strengen i punktet $x$ er $\ddot u(x,t)$. 
Kraften på biten er $T_2 + T_1$, slik at 
\[
h\rho \ddot u(x,t) = T_2 + T_1,
\]
og deler vi på $Th$, 
får vi 
\[
\frac{\rho}{T} \ddot u(x,t) =\frac{T_2/T + T_1/T}{h}=\frac{u'(x+h,t) - u'(x,t)}{h}.
\]
Lar vi til slutt $h\to 0$, får vi bølgeligningen
\[
\ddot u(x,t) = c^2 u''(x,t),
\]
der $c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$.
Denne har benevning meter per sekund og kalles \textbf{bølgefarten}.

\begin{oppgave}{2}
Også eksamen. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.26]{../figurer/L1020073}
\end{center}

Disse likningene har mange løsninger, 
for eksempel passer
\[
u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)
\]
i bølgelikningen uansett hva $f$ og $g$ er 
så lenge begge er to ganger deriverbare. 

\begin{oppgave}{3}
Sjekk dette, og gi en fysisk tolkning.
\end{oppgave}

Derfor må vi innskrenke oss litt hvis vi skal spørre
etter \say{løsningen}.
Vanligvis starter man med
å bestemme seg for at man skal løse likningene på et begrenset  
intervall på $x$-aksen.
Av hensyn til studentene pleier man å begynne med $[0,\pi]$,
for da blir regningen enklest,
og av samme grunn spesifiserer man randkravene 
\[
u(0,t) = u(\pi,t) = 0.
\]
Dette betyr at strengen er spent opp i $x=0$ og $x=\pi$, 
eller at temperaturen i stangen holdes ved null grader, 
og nå har vi nok informasjon til å sette i gang og regne.

\begin{oppgave}{4}
Bruk separasjon av variable (altså anta $u(x,t) = z(t)y(x)$) på både varme- og bølgelikningen og oppdag 
at du blir nødt til å løse \textbf{randverdiproblemet}
\[
y''(x)-ky(x)=0 \quad \text{og} \quad y(0)=y(\pi)=0
\]
der $k$ er separasjonskonstanten
(altså den som het $E$ når vi løste partikkel-i-boks). 
\end{oppgave}

Randverdiproblemet over har du verktøy nok til å løse, 
men det er litt uvant i starten. 
Man må begynne med å 
skrive opp den karakteristiske likningen til  $y''+ky=0$ 
og skrive opp løsningene når 
$k>0$, 
$k=0$ og 
$k<0$.

\begin{oppgave}{5}
Bare ett av de tre valgene for $k$ over gir løsninger som 
kan tilfredsstille randkravene $y(0)=y(\pi)=0$. 
Finn ut hvilket, 
og skriv opp alle mulige løsninger.
\end{oppgave}
 
\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1020057}
\end{center}

Hvis du analyserte randverdiproblemet riktig,
vil du nå ha kommet fram til at løsningene er 
\[
y(x)=C\sin (n x)
\]
der $C$ er en vilkårlig konstant og $n$ er et naturlig tall. 
Dette betyr at dersom både bølge- og varmelikningen med 
disse randkravene har løsninger på formen 
\[
u(x,t) = z(t)y(x) = z(t)\sin(nx)
\]
og nå gjenstår det å finne $z$. 
Merk at i likhet med partikkel-i-boks har vi også her fått 
\textbf{kvantifisering},
som i bunn og grunn skyldes at vi har et begrenset intervall og randkrav. 

Vi må nå finne $z$.  
La oss begynne med varmelikningen, 
siden det er den det er minst herk med. 

\begin{oppgave}{6}
Vis at $z$ tilfredsstiller 
\[
\dot z(t) + \alpha n^2 z(t) = 0
\]
og finn $z$. 
\end{oppgave}

Vi kan tenke oss at temperaturen i stangen 
er fordelt på en bestemt måte ved $t=0$:
\[
u(x,0) = f(x)
\]
og antar vi dette, 
har vi nok informasjon til å skrive opp løsningen 
\[
u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty b_n e^{-\alpha n^2 t}\sin(nx).
\]

\begin{oppgave}{7}
Bruk initialkravet til å forklare at 
\[
b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x)\sin (n x)\; dx.
\]
(Hint: Sinusfunksjonene er ortogonale på $[0,\pi]$,
og du har gjort samme resonnement en million ganger dette semesteret.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.26]{../figurer/L1020048}
\end{center}

La oss oppsummere.
Varmelikningsproblemet
\[
\dot u(x,t) =  u''(x,t)
\hspace{15mm} u(0,t)=u(\pi,t)=0
\hspace{15mm}
u(x,0)=f(x) 
\]
løses av 
\[
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-\alpha n^2 t}\sin (nx),
\hspace{10mm}
\text{der}\hspace{10mm}
b_n=\frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi f(x) \sin (nx) \; dx.
\]
En historisk fun fact er at det var gjennom akkurat dette 
problemet at Joseph Fourier oppdaget fourierrekker: \\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series}\\
Utledningen over er noe heuristisk av samme grunner som tidligere i semesteret,
og Fourier ble faktisk ikke tatt seriøst av andre matematikere til å begynne med. 
Hvis du er ordentlig interessert i matematikk anbefaler jeg 
nå at du går på nett og finner Stein og Shakarchis klassiker 
\say{Fourier Analysis: An Introduction} fra 2003. 

La oss nå gå videre med bølgelikningen. 
Alle er enige om at strengen oppspent i $x=0$ og $x=\pi$ 
kan tenkes å ha løsninger på formen 
\[
u(x,t) = z(t)\sin(nx)
\]

\begin{oppgave}{8}
Sett opp en differensiallikning for $z$ og vis at det finnes massevis av løsninger på formen
\[
z_n(t) = a_n \cos(cnt)  + b_n \sin(cnt) 
\]
og følgelig at det finnes massevis av \textbf{overtoner}
\[
u_n(x,t) = \left( a_n \cos(cnt)  + b_n \sin(cnt)\right) \sin(nx).
\]
\end{oppgave}

Bølgelikningen er i bunn og grunn bare Newtons andre lov, 
og vi er vant til fra klassisk mekanikk at man 
må spesifisere både startposisjon og startfart
for å bestemme bevegelsen. 
For bølgelikningen betyr dette at 
vi må spesifisere formen på strengen før du slipper den,
og hva slags fart strengen skal ha ved $t=0$: 
\[
u(x,0)=f(x) 
\hspace{15mm}
\dot u(x,0)=g(x) 
\]

\begin{oppgave}{9}
Forklar at 
\[
u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos(cnt)  + b_n \sin(cnt)\right) \sin(nx)
\]
der 
\[
a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi f(x) \sin (nx) \; dx
\hspace{15mm}
\text{og}
\hspace{15mm}
b_n = \frac{2}{cn\pi} \int_{0}^\pi g(x) \sin (nx) \; dx
\]
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.29]{../figurer/L1020025}
\end{center}

Randkravene $u(0,t)=u(\pi,t)=0$ kalles gjerne \textbf{dirichletrandkrav}. 
Dersom du har stående luftbølger i en orgelpipe eller et blåseinstrument,
vil våre erkefiender fysikerne fortelle at det er \textbf{von-Neumann-randkrav}
\[
u'(0,t) = u'(\pi,t)=0 
\]
som gjelder. 

\begin{oppgave}{10}
Forklar at bølgelikningen i dette tilfellet løses av 
\[
u(x,t) = \sum_{n=0}^\infty \left( a_n \cos(cnt)  + b_n \sin(cnt)\right) \cos(nx)
\]
der 
\[
a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi f(x) \cos (nx) \; dx
\hspace{15mm}
\text{og}
\hspace{15mm}
b_n = \frac{2}{cn\pi} \int_{0}^\pi g(x) \cos (nx) \; dx.
\]
\end{oppgave}

Det korresponderende von-Neumann-problemet for 
varmelikningen oppstår når endene på stangen er varmeisolerte.

\begin{oppgave}{11}
Forklar at varmelikningen i dette tilfellet løses av 
\[
u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n e^{-\alpha n^2 t}\cos (nx)
\hspace{15mm}
a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi f(x) \cos (nx) \; dx
\]
\end{oppgave}

\section*{UKENS NØTTER}

Hvis du hiver ut randkravene og heller sier at 
bølge- og varmelikningen skal løses på hele $\mathbb R$,
må du gå litt annerledes til verks. 

\begin{oppgave}{1}
Bruk oppgave 3 samt 
\[
u(x,0)=f(x) 
\hspace{10mm}
\text{og}
\hspace{10mm}
\dot u(x,0)=g(x)
\]
til å sette opp likningssystem for $f$ og $g$. 
Gauss litt, integrer, og 
utled D'Alemberts formel 
\[
u(x,t)= \frac{1}{2}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+\frac{1}{2c}\int^{x+ct}_{x-ct} g(t)\; dt.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Fourieromvend varmelikningen med hensyn på $x$ og bruk 
$
u(x,0)=f(x) 
$
til å forklare at (jeg har satt $\alpha = 1$ for å være grei)
\[
u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} f(v)e^{\frac{-(x-v)^2}{4t}}\;dv.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Lag animasjoner i python av løsningene du har funnet i denne økten. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.29]{../figurer/L1020037}
\end{center}

\end{document}
