\input{../preambles/preamble}

\title{24 - DIAGONALISERING}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%liapunov
%regneregler for determinanter

\maketitle

Egenvektorer er sentrale i veldig mange anvendelser,
hele kvantemekanikken er for eksempel et eneste stort studium av egenvektorer.
Vi skal derfor nå spinne videre på dette temaet,
og ta for oss noe som kalles \textbf{diagonalisering}. 

Alle barn i barnehagen vet at matrisen
\[
A=
\left(\;\begin{matrix}
1 & 2 & 2 \\
2 & 6 & 2 \\
2 & 2 & 6
\end{matrix}\;\right)
\]
har egenvektorer
\[
\V v_1=
\left(\;\begin{matrix}
1\\
2\\
2
\end{matrix}\;\right)
\hspace{10mm}
\text{og}
\hspace{10mm}
\V v_2=
\left(\;\begin{matrix}
0\\
1\\
-1
\end{matrix}\;\right)
\hspace{10mm}
\text{og}
\hspace{10mm}
\V v_3=
\left(\;\begin{matrix}
4\\
-1\\
-1
\end{matrix}\;\right)
\]

\begin{oppgave}{1}
Sett egenvektorene opp som kolonner i en matrise $V$ og beregn $V$.
Dette produktet har en alternativ faktorisering
der $V$ er den venstre faktoren. 
Hva er den?
\end{oppgave} 

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1019945}
\end{center}

Helt riktig, 
dersom 
\[
V=
\left(\;\begin{matrix}
1 & 0 & 4 \\
2 & 1 & -1 \\
2 & -1 & -1
\end{matrix}\;\right)
\hspace{10mm}
\text{og}
\hspace{10mm}
\Lambda=
\left(\;\begin{matrix}
9 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}\;\right)
\]
er
\[
AV=V\Lambda.
\]
Her er en mer grafisk versjon:
\[
\left(
\begin{array}{c  c  c}
 &  &  \\
 & A & \\
  &  &  
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c | c | c}
 &  &  \\
\V v_1 &\V  v_2 &\V  v_3 \\
  &  &  
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c | c | c}
 &  &  \\
\V v_1 &\V  v_2 & \V v_3 \\
  &  &  
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c  c  c}
\lambda_1 &  &  \\
 & \lambda_2 & \\
  &  &  \lambda_3
\end{array}
\right)
\]

\begin{oppgave}{2}
Om du ikke ser at dette er riktig, 
må du trene mer på matrisemultiplikasjon.
\end{oppgave}

Dersom $A$ har $n$ lineært uavhengige egenvektorer,
eksisterer $V^{-1}$, 
og vi kan skrive  
\[
A=V\Lambda V^{-1}
%\hspace{10mm}
%\text{og}
%\hspace{10mm}
%\Lambda=VAV^{-1}.
\]
Siden $\lambda$ er diagonal,
sier vi at $A$ er \textbf{diagonalisert}.
Den motsatte implikasjonen holder også;
dersom $A=V\Lambda V^{-1}$ må kolonnene i $V$ være lineært uavhengige egenvektorer til $A$,
og derfor sier vi en matrise er \textbf{diagonaliserbar} hvis den har $n$ lineært uavhengige egenvektorer.

\begin{oppgave}{3}
Kan du diagonaliere
\[
B=
\left(\;\begin{matrix}
1 & 1 & 0\\  0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 2
\end{matrix}\;\right)\; ?
\]
\end{oppgave}


Vi har allerede løst initialverdiproblemer på formen 
\[
\dot{\mathbf x}=A\mathbf x \quad \mathbf x(0)=\mathbf x_0
\]
ved å lete opp alle egenverdier og egenvektorer til $A$,
men med diagonalisering kan vi gjøre det enda penere. 
Dersom $A$ er diagonaliserbar, 
danner egenvektorene til $A$ en baais for $\mathbb R^n$.
Dette kalles gjerne en \textbf{egenvektorbasis},
og mange problemer forenkles dersom man bytter til denne basisen.

\begin{oppgave}{4}
Løs systemet
\begin{align*}
\dot z_1=& z_1 + 2z_2 + 2z_3\\
\dot z_2=& 2z_1 + 6z_2 + 2z_3 \\
\dot z_3=& 2z_1 + 2z_2 + 6z_3
\end{align*}
ved å bytte til $A$ sin egenvektorbasis for $\mathbb R^3$.
Du må nyte hvor pent det blir.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1019983}
\end{center}


Vi sier at en reell matrise $A$ er \textbf{symmetrisk} dersom $A=A^T$. 
En kompleks matrise er \textbf{hermittisk} dersom $A=A^*$. 
\footnote{Men man kunne like gjerne sagt \say{symmetrisk}.
Det er ingen som noensinne transponerer en kompleks matrise uten å komplekskonjugere innmaten.}
I anvendelser er det veldig vanlig at man før eller siden 
må forholde seg til symmetriske eller hermittiske matriser.

\begin{oppgave}{5}
Ta skalarproduktet mellom egenvektorene til 
matrisen $A$ over.
\end{oppgave}

Husk at en reell matrise $V$ kalles ortogonal dersom den har ortonormale kolonner,
og da er 
\[
V^{-1}=V^T.
\]
Dersom en matrise $A$ har en ortogonal egenvektormengde sier
vi derfor at $A$ er
\textbf{ortogonalt diagonaliserbar},
og skriver
\[
A=V\Lambda V^T.
\]

\begin{oppgave}{6}
Finn den ortogonale diagonaliseringen til  
matrisen $A$ over.
\end{oppgave}

En reell matrise $A$ er ortogonalt diagonaliserbar 
hvis og bare hvis den er symmetrisk. 
Dette kalles \textbf{spektralteoremet},
og er ikke trivielt å vise, 
men det er heldigvis trivielt å huske.

\begin{oppgave}{7} 
Klarer du å ortogonalt diagonalisere
\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 
\end{pmatrix}?
\]
\end{oppgave}

Som du kanskje ser av oppgaven over, 
kan en symmetrisk matrise fint ha en ikke-ortogonal egenvektorbasis,
men man kan herje litt med den man har og få tak i en ortogonal egenvektorbasis. 

\begin{oppgave}{8} 
Prøv Gram-Schmidt om du ikke fikk til forrige oppgave. 
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.24]{../figurer/L1019942}
\end{center}

Det er imidlertid et viktig tilfelle der egenvektorer automatisk er ortogonale.
De tre neste oppgavene leder frem til dette.

\begin{oppgave}{9}
Vis at dersom  $A$ er hermittisk, er
$
\V x^* A \V x
$
reell.\\
(Hint: Skriv ut komponentene i matrisemultiplikasjonene.)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{10}
Vis at en hermittisk matrise har reelle egenverdier.\\
(Hint: La $\V v$ være en normalisert egenvektor og se på $\V v^* A \V v$.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Vis at egenvektorene til to distinkte egenverdier er ortogonale for hermittiske matriser.
\end{oppgave}

Dersom $T$ er en abstrakt lineæroperator og $(\cdot,\cdot)$ er et komplekst indreprodukt,
defineres den adjungerte operatoren $T^*$ som noe som tilfredsstiller
\[
(x,Ty)=(T^*x,y),
\]
og en hermittisk operator som noen som tilfredsstiller
\[
(x,Ty)=(Tx,y).
\]
Dette er veldig viktig i kvantemekanikk. 
I forrige uke fant du forventet posisjon til en partikkel:
\[
\int_{-\infty}^\infty  \Psi^*x\Psi\; dx 
\]
og er det trivielt å se at 
\[
\hat x\left(\Psi\right) = x \Psi
\]
er en hermittisk operator.
Kvantemekanikkfolk er fryktelig glade i lineæroperatorer,
og mener at alle størrelser som kan måles i lab,
kan representeres ved en hermittisk lineæroperator.

\begin{oppgave}{12}
Vis at lineæroperatoren for moment
\[
\hat p \left(\Psi\right) = -i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x}
\]
er hermittisk.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.24]{../figurer/L1019943}
\end{center}

I kvantekjemi er det essensielt å forstå at i et eksperiment i lab
er det ikke mulig å spå nøyaktig hvor en partikkel kommer til å ende opp dersom du sender 
den gjennom et eller annet apparat,
men du kan si noe om sannsynlighetsfordelingen for hvor den kommer til å ende opp. 
Feynman illustrerer dette ved å visualisere et apparat som sender elektroner gjennom dobbeltspalte:\\[3mm]
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_01.html}\\[3mm]
Han holdt sin legendariske forelesningsserie
på Caltech tidlig på 60-tallet
\footnote{Det sies at ingen studenter skjønte noe som helst og sluttet å gå i forelesning,
men Feynman  merket aldri noe til dette, 
fordi etterhvert som auditoriet ble tømt for studenter,
ble det fylt opp av andre interesserte,
stipendiater og postdokker og kollegaer og så videre.},
og dette eksperiment var ikke mulig å gjennomføre med datidens teknologi, 
men i 1989 ble det utført av en glad gjeng:\\[3mm]
\url{\https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.16104}\\[3mm]
I figurene deres ser man tydelig at enkeltelektroner blir fanget opp av den fotografiske platen, 
og at det statistiske mønsteret først blir synlig etter at
noen tusen enkeltelektroner er sendt gjennom spalten. 
I reisen gjennom dobbeltspalten sier vi at 
elektronet er \textbf{tilberedt i en tilstand},
og kvantefolk postulerer at diffraksjonsmønsteret 
på den fotografiske platen kan spås ved å lete opp egenverdiene til 
en korresponderende lineæroperator. 
Vi har allerede studert partikkel-i-boks,
som er det enkleste eksemplet på dette,
og da løste vi den korresponderende tidsuavhengige schrödingerlikningen
\[
\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + E\psi = 0,
\]
som gitt randkrav er det samme som å lete opp egenverdiene 
$E_n=\frac{n^2\hbar^2}{2m}$ og egenvektorene $\sin nx$ til operatoren 
\[
\hat \Omega = - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}.
\]
Kvantefolk postulerer at alle lineæroperatorer som korresponderer til målbare størrelser
må være hermittiske,
fordi disse har reelle egenverdier.  

\begin{oppgave}{13}
Oppgave 9 over blir faktisk mye enklere om man 
tar utgangpunkt i abstrakte indreprodukter og hermittiske lineæroperatorer enn matriser. 
Prøv.\\
(Hint: Ta utgangspunkt i likningen 
\[
Tx=\lambda x
\]
og ta indreproduktet med $x$ og bruk at $T=T^*$ samt det andre aksiomet for indreprodukt.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1019978}
\end{center}


\section*{UKENS REGTEK}


Dette semesteret har vi vært borti egenverdier 
og egenvektorer i forbindelse med LTI-systemer.
Egenvektoren til differensialoperatoren 
\[
\frac{d}{dt}
\]
er eksponensialfunksjonen $x(t)=e^{at}$.
Venstresiden i et LTI-system, slik som 
\[
\ddot x + 2\dot x + 2x
\]
er en lineærkombinasjon av differensialoperatorer,
og derfor er i retrospekt ikke så overraskende at 
eksponensialfunksjonen er lett å jobbe med;
egenvektorene er jo fremdeles $x(t)=e^{at}$,
men de korresponderende egenverdiene avhenger av differensialoperatoren.

\begin{oppgave}{1}
I høst brukte vi dette til å finne naturlig respons. 
Hvilken egenverdi korresponderer dette til?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
I januar fant vi frekvensresponsen. 
Hvilken egenverdi korresponderer dette til?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Hvis du tenker på konvolusjon med signalet $x$ som en lineæroperator
som tar inn et signal $y$:
\[
L(y)=x\ast y=
\int_{-\infty}^\infty
x(u)y(t-u)\; dt
\]
er funksjonen 
\[
g(s,t)=e^{st}
\]
er egenvektor til denne operatoren. 
Hva er egenverdien? 
\end{oppgave} 

\begin{center}
\includegraphics[scale=.13]{../figurer/img_0056}
\end{center}


\end{document}
