\input{preamble}

\title{21 - VEKTORROM  OG INDREPRODUKTROM}

%isolert

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

\begin{tcolorbox}
Se her:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/tma4106/2022v/uke9}\\
for noen gamle  videoer om vektorrom og indreproduktrom.
\end{tcolorbox}

\section*{Krasjkurs i vektorrom}

Alle har en intuitiv forståelse av konseptet dimensjon. 
En linje har en dimensjon, 
en tegning på et ark har to, 
vi lever i tre 
(fire om du regner tiden som en dimensjon),
og  posisjonen til et stivt fysisk legeme kan spesifiseres fullstendig med seks dimensjoner
(tre til massesenterets posisjon og tre til legemets orientering i rommet).

Men det er andre ting som også har dimensjoner. 
Løsningen til 
\[
\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0
\]
er (dersom $\lambda_1\neq \lambda_2$) 
\[
y(t)=Ae^{\lambda_1 t}+Be^{\lambda_2 t}.
\]
Hvorfor trengs det alltid to ubestemte koeffisienter?
En matematiker (og andre) ville sagt at løsningene utgjør et todimensjonalt vektorrom.
Vektorrom er et eksempel på en algebraisk struktur: \\
{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure}}\\
Litt forenklet kan man si at formålet med vektorrom er å få en 
presis og generell definisjon slike ting som vi tar for gitt i 
$\mathbb R^n$, slik som dimensjon, koordinater, og så videre. 

Man kan si at et vektorrom er 
\begin{tcolorbox}[title=Vektorrom på folkemunne,colback=blue!10]
Alle lineærkombinasjoner av en vektormengde. 
Antallet lineært uavhengige vektorer i mengden kalles vektorrommets dimensjon.
\end{tcolorbox}

En lineærkombinasjon er satt sammen av de to operasjonene 
vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon. 
Siden vektorrom er en algebraisk struktur, 
finnes det aksiomer for hvordan disse skal oppføre seg,
men ingeniører trenger i bunn og grunn ikke plages med dem. 
Vi tar heller noen eksempler.

Her kommer en haug med todimensjonale vektorrom.
Komplekse tall er alle lineærkombinasjoner av real- og imaginærdel
\[
z=a+bi
\]
mens $\mathbb R^2$ er alle lineærkombinasjoner på formen
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
x_1
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
x_2
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\]
eller for den saks skyld, 
alle lineærkombinasjoner på formen 
\[
y_1
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix}
+
y_2
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
\]
Løsningene til 
\[
\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0
\]
er (dersom $\lambda_1\neq \lambda_2$)
alle lineærkombinasjoner på formen 
\[
y(t)=Ae^{\lambda_1 t}+Be^{\lambda_2 t}
\]
og polynomer av maksimal grad en
er lineærkombinasjoner på formen
\[
p(x)=a\cdot x + b \cdot 1.
\]

\begin{oppgave}{2}
Ka du tru?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{23}
La $A\mathbf x=\mathbf y$ være et lineært likningssystem. 
Utgjør $\mathbf x$ et vektorrom? 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{37}
Danner sannsynlighetstetthetsfunksjoner et vektorrom?
\end{oppgave}

Dersom vektorene i lineærkombinasjonen som utgjør vektorrommet,
er lineært uavhengige,  
kalles dette en basis for vektorrommet. 
Et vektorrom har alltid mange basiser. 
For eksempel har $\mathbb R^2$ basisen 
\[
\left\{ 
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\right\}
\]
siden alle vektorer i $\mathbb R^2$ kan skrives som en lineærkombinasjon av disse to.
Men 
\[
\left\{ 
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
\right\}
\]
er en like god basis for $\mathbb R^2$, 
for alle vektorer i $\mathbb R^2$ kan skrives som en lineærkombinasjon av disse to også.
Mengden 
\[
\left\{ 
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix}
\right\}
\]
er ikke en basis for $\mathbb R^2$,
for den er ikke lineært uavhengig - 
det er mange vektorer i $\mathbb R^2$ som ikke kan skrives som en lineærkombinasjon av disse to.

Antallet elementer i basisen er alltid det samme for et og samme vektorrom,
og dette antallet kalles vektorrommets dimensjon. 
Vi kan nå definere 

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title=KOORDINATER!]
La $\{\V v_1, \V v_2, ... ,\V v_n\}$ være en basis for et vektorrom,
og la
\[
\V w=c_1\V v_1+c_2\V v_2 +\cdots +c_n\V v_n .
\]
Vi sier at skalarene $(c_1, c_2, \cdots ,c_n)$ er koordinatene til $\V w$ i basisen $\{\V v_1, \V v_2, \cdots ,\V v_n\}$.
\end{tcolorbox}

For eksempel er koordinatene til $\mathbf x \in \mathbb R^2$ $x_1$ og $x_2$, 
siden
\[
\mathbf x=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
x_1
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
x_2
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\]
Som tidligere nevnt,
er både 
\[
\left\{e^{-\delta t}\cos\left(\omega t\right),e^{\delta t}\sin\left( \omega t\right)\right\}
\]
og
\[
\left\{e^{(\delta+\omega i) t},e^{(\delta-\omega i) t}\right\}
\] 
ekvivalente basiser for løsningene til $\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0$ når løsningene til den karakteristiske likningen er $\lambda=\delta\pm i\omega$.
Basisen 
\[
\left\{ 
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix},
\cdots,
\begin{pmatrix}
0 \\
 \\
\vdots \\
1
\end{pmatrix}
\right\}
\]
for $\mathbb R^n$ (og $\mathbb C^n$)  kalles standardbasisen.

\begin{oppgave}{47}
Et punkt i $\mathbb R^2$ har koordinater $(2,3)$ i ovennevnte standardbasis. 
Finn koordinatene i basisen
\[
\left\{ 
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
\right\}
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{53}
Et punkt i $\mathbb C^2$ har koordinater $(2-3i,1)$ i standardbasisen. 
Verifiser at 
\[
\left\{ 
\begin{pmatrix}
1-i \\
i 
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3 \\
1+2i
\end{pmatrix}
\right\}
\]
er en basis for $\mathbb C^2$, 
og finn ovennevnte punkts koordinater i denne basisen.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.18]{../figurer/img1365}
\end{center}

\section*{Indreprodukt}

Et vektorrom kan være utstyrt med noe som kalles indreprodukt. 
Da kalles det et indreproduktrom. 
Et indreprodukt er en funksjon som tar inn to vektorer 
og gir ut et tall som forteller noe interessant om forholdet mellom dem.
Definisjonen av indreprodukt kan fremstå som noe abstrakt i begynnelsen,
men dette er et av de viktigste abstrakte konseptene å forstå. 

La oss begynne med

\begin{tcolorbox}[title= Reelle indreprodukt]
La $V$ være et vektorrom over $\mathbb R$, 
la  $\V u$, $\V v$ og $\V w$ være vektorer, 
og $a$ og $b$ relle tall.
Et indreprodukt er en funksjon 
som tar inn to vektorer og gir ut et tall.  
Indreproduktet skal være  symmetrisk:
\[
(\V v, \V w)=(\V w, \V v)
\]
positivt definitt:
\[
(\V v, \V v)>0 \quad \text{dersom} \quad   \V v\neq \V 0,
\]
og lineært i første faktor:
\[
(a\V u+b\V v,\V w )= a (\V u, \V w)+ b (\V v, \V w) 
\]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{67}
Vis at indreproduktet er lineært også i andre faktor.
\end{oppgave}


Indreproduktet er en abstrakt generalisering av 
skalarproduktet i $\mathbb R^2$:
\[
\mathbf x \cdot \mathbf y = 
\mathbf x^T\mathbf y =
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\ y_2
\end{pmatrix}
=
x_1y_1+x_2y_2
\]

Dersom man skal få en følelse av hva indreproduktet forteller oss,
er det derfor lurt å studere dette skalarproduktet litt nøye.
De to neste oppgavene gir den geometriske tolkningen av skalarproduktet.

\begin{oppgave}{79}
Vis at
\[
x_1y_1+x_2y_2
=
\|\mathbf x \| 
\|\mathbf y \| 
\cos \theta
\]
der $\theta$ er vinkelen mellom $\mathbf x$ og $\mathbf y$.\\
(Hint: Tegn opp, og bruk cosinussetningen.)
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{83}
\begin{minipage}{8cm}
\[
\hspace{-2cm}\text{Vis at} \quad \V z=\frac{\V y \cdot \V x}{\V y \cdot \V y}\V y \quad \text{i denne figuren:}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[-latex,thick] (0,0) -- (7,1);
\draw[-latex,thick] (0,0) -- (3,6);
\draw[-latex, thick,red] (0,0) -- (27/50*7,27/50*1);
\draw[-latex,thick] (27/50*7,27/50*1) -- (3,6);
\draw[-]  (27/50*7-1/7,27/50*1+1-1/77) -- (27/50*7+1-1/7,27/50*1+8/7-1/77);
\draw[-]  (27/50*7+1,27/50*1+1/7) -- (27/50*7+1-1/7,27/50*1+8/7-1/77);
\node[anchor=east] at (9,1.2) {\footnotesize $\V{y}$};
\node[anchor=south] at (3.5,7) {\footnotesize $\V{x}$};
\node[anchor=east,red] at (3,-.5) {\footnotesize $\V z$};
%\node[anchor=west] at (4.0,3) {\footnotesize $\V w-\V u$};
%\node[anchor=east] at (2.9,2) {\footnotesize $\theta$};
%\draw (2.5,.4) arc (8:55:3);
%\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
%\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
%\filldraw (9,6) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{v}$};
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (3,2) to[bend left=20] (9,6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{oppgave}

For å oppsummere:

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title=Geometrisk tolkning av skalarprodukt]
Skalarproduktet $\mathbf y \cdot\mathbf x$ forteller oss noe om $\mathbf x$ sin  komponent i retningen til $\mathbf y$.
\end{tcolorbox}


\begin{oppgave}{89}
En generalisering av Pytagoras gjelder for ikkerettvinklede trekanter, 
og kalles cosinussetningen. 
Den sier at dersom vinkelen mellom beina med lengde $a$ og $b$ er $\theta$ istedet for $\pi/2$,
er
\[
a^2+b^2-2ab\cos \theta=c^2.
\]
Utled denne. 
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{97}
Bruk cosinussetningen til å vise at 
\[
 \|\V v\| \|\V w\| \cos \theta = v_1 w_1+v_2w_2. 
 \] 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{113}
Vis at 
\[
\V u=\frac{\V v \cdot \V w}{\V v \cdot \V v}\V v
\]
i figuren under.
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[-latex,thick] (0,0) -- (7,1);
\draw[-latex,thick] (0,0) -- (3,6);
\draw[-latex, thick,red] (0,0) -- (27/50*7,27/50*1);
\draw[-latex,thick] (27/50*7,27/50*1) -- (3,6);
\draw[-]  (27/50*7-1/7,27/50*1+1-1/77) -- (27/50*7+1-1/7,27/50*1+8/7-1/77);
\draw[-]  (27/50*7+1,27/50*1+1/7) -- (27/50*7+1-1/7,27/50*1+8/7-1/77);
\node[anchor=east] at (9,1.2) {\footnotesize $\V{v}$};
\node[anchor=south] at (3.5,7) {\footnotesize $\V{w}$};
\node[anchor=east,red] at (3,-.5) {\footnotesize $\V u$};
%\node[anchor=west] at (4.0,3) {\footnotesize $\V w-\V u$};
%\node[anchor=east] at (2.9,2) {\footnotesize $\theta$};
%\draw (2.5,.4) arc (8:55:3);
%\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
%\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
%\filldraw (9,6) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{v}$};
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (3,2) to[bend left=20] (9,6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{oppgave}

Disse oppgavene er viktige for å bygge litt intuisjon for 
indreproduktets geometriske tolkning. 
\begin{tcolorbox}[title=De to viktigste reelle  indreproduktene,colback=blue!10]
\vspace{3mm}
\begin{itemize}
\item $(\mathbf x,\mathbf y)=\mathbf x^T\mathbf y=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$
der $\mathbf x$ og $\mathbf y$ er vektorer i $\mathbb R^n$ \\[3mm]
\item $(x,y)=\int_a^b x(t)y(t)\; dt$
der $x$ og $y$ er funksjoner fra $\mathbb R$ til $\mathbb R$.\\[2mm] 
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{127}
Vis at disse er reelle indreprodukter.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{131}
Regn ut 
\[
\int_{-\pi}^\pi \sin(mt)\sin(nt)\; dt
\quad \text{og} \quad
\int_{-\pi}^\pi \sin(mt)\cos(nt)\; dt
\quad \text{og} \quad
\int_{-\pi}^\pi \cos(mt)\cos(nt)\; dt
\]
for alle $m,n \in \mathbb N$.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.23]{../figurer/L1003395}
\end{center}

Som du ser blir det mye regning med alle disse sinusene og cosinusene.
Nordtrønderske elektroingeniører med vettet i behold og naturlige drifter lengter 
alltid etter den komplekse eksponensialfunksjonen.
Derfor:

\begin{tcolorbox}[title= Komplekse indreprodukt, colback=blue!10]
La $V$ være et vektorrom, 
la  $\V u$, $\V v$ og $\V w$ være vektorer, 
og $a$ og $b$ komplekse tall.
Indreproduktet skal være konjugert symmetrisk:
\[
(\V v, \V w)=\overline{(\V w, \V v)}
\]
positivt definitt:
\[
(\V v, \V v)>0 \quad \text{dersom} \quad   \V v\neq \V 0,
\]
og lineært i enten første eller andre faktor,
altså enten 
\begin{align*}
(a\V u+b\V v,\V w )= a (\V u, \V w)+ b (\V v, \V w) 
\qquad \text{eller} \qquad 
(\V u,a\V v+b\V w )=a(\V u, \V v)+b(\V u, \V w) 
\end{align*}
\end{tcolorbox}


Dersom indreproduktet er lineært i første faktor,
blir det antilineært i andre faktor:
\begin{align*}
(\V u,a\V v+b\V w )&=\overline a (\V u, \V v)+\overline b (\V u, \V w) 
\end{align*}
Dersom det er lineært i andre faktor,
blir det antilineært i første:
\begin{align*}
(a\V u+b\V v,\V w )&=\overline a (\V u, \V w)+\overline b (\V v, \V w) 
\end{align*}

\begin{oppgave}{157}
Vis dette. 
\end{oppgave}

Ved første øyekast virker det også kronglete med denne håpløse
ubestemmeligheten angående hvorvidt indreproduktet skal være
lineært i første eller andre faktor. 
Grunnen er at det finnes mange indreprodukter,
og i forskjellige fagfelt opererer man med forskjellige konvensjoner,
så det er like greit å venne seg til begge varianter.


\begin{tcolorbox}[title=De to viktigste komplekse  indreproduktene,colback=blue!10]
\vspace{3mm}
\begin{itemize}
\item $(\V{v}, \V{w})= \overline v_1 w_1 + \overline v_2 w_2 + \cdots +\overline v_n w_n$
der $\mathbf v$ og $\mathbf v$ er vektorer i $\mathbb C^n$ \\[3mm]
\item $(x,y)=\int_a^b x(t)\overline{y(t)}\; dt$
der $x$ og $y$ er funksjoner fra $\mathbb R$ til $\mathbb R$.\\[2mm] 
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


\begin{oppgave}{163}
Vis at disse er komplekse indreprodukter.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{167}
Aksepter og venn deg til at det ene av disse er lineært i første faktor og antilineært i andre,
mens det andre er lineært i andre faktor og antilineært i første, 
og at dette skyldes helt tilfeldige konvensjoner i forskjellige fagfelt.
\end{oppgave}

Inspirert av geometrien bak skalarproduktet, 
sier vi at vektorer er ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er null. 
Nå skal du utføre det kanskje viktigste integralet i ditt liv.

\begin{oppgave}{173}
Beregn $(e^{int},e^{imt})$ for alle kombinasjoner av $n,m \in \mathbb Z$
og nyt hvor enkelt det blir.
\end{oppgave}

Det blir mye mas om ortogonalitet. 
Hvorfor er dette så bra?
Jau, dersom man har en funksjon som er skrevet som en 
endelig lineærkombinasjon av innbyrdes ortogonale funksjoner $\phi_n$:
\[
x(t)=\sum c_n \phi_n(t)
\]
må koeffisientene være gitt ved formelen
\[
c_n=\frac{(x,\phi_n)}{(\phi,\phi_n)}
\]

\begin{oppgave}{211}
Vis dette, ta en ny titt på oppgave 113,
og forklar ordet \say{frekvensinnhold}.
\end{oppgave}

Her kommer rosinen i pølsen:

\begin{oppgave}{223}
Hvorfor er fourierkoeffisientene gitt ved
\[
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x(t)e^{-int}\; dt\quad ?
\]
\end{oppgave}

\section*{Ukens matriseregning}

Et indreproduktrom har alltid en ortogonal basis,
se kap 6. 

\begin{oppgave}{233}
Finn en annen ortogonal basis for $\mathbb R^3$ enn standardbasisen.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{251}
Finn en annen ortogonal basis for $\mathbb C^2$ enn standardbasisen.
\end{oppgave}


Vi sier at lengden 
\[
\| \mathbf x \|=\sqrt{(\mathbf x, \mathbf x)}
\]
er indusert av indreproduktet $(\cdot, \cdot)$.
Men dette er bare et eksempel på lengde. 
Aksiomene for lengde er:
\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title=Lengde]
\begin{itemize}
\item $\| \mathbf x \| > 0$ dersom $\mathbf x \neq \mathbf 0$
\item $\| a\mathbf x \| =|a|\| \mathbf x \| $
\item $\| \mathbf x +\mathbf y \|\leq \| \mathbf x \| + \| \mathbf y \|$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}
På fagspråket sier man norm istedet for lengde.
Det finnes mange normer som ikke er indusert av indreprodukt

\begin{oppgave}{2}
Vis at 
\[
\| \mathbf x \| = \max_{k} |x_k|
\quad \text{og} \quad
\| \mathbf x \| = \sum_{k} |x_k|
\]
er normer når $\mathbf x \in \mathbb C^n$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Den viktigste er kanskje matrisenormen:
\[
\|A\|=\max_{\|\mathbf x\|=1} \|A\mathbf x \|
\]
Vis at dette er en norm. 
\end{oppgave}

\url{https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group}



\section*{Ukens statistikk}

Skal du ha sjangs her, 
bør du lese kap 6 i kompendiet først.

Minste kvadraters metode er en teknikk for å finne tilnærmede 
løsninger til lineære systemer med flere likninger enn ukjente.
La oss si at $A$ er en $m \times n$-matrise, 
at $\V x$ og $\V b$ er kolonnevektorer i $\mathbb{C}^n$, 
og at vi ønsker å betrakte systemet
\[
A\V x=\V b
\]
for $m>n$. 
Dette systemet vil ikke ha noen løsning med mindre $\V b$ tilfeldigvis ligger i kolonnerommet til $A$, 
så vi ønsker istedet å finne den $\V x$ som minimerer avstanden fra $A\V x$ til $\V b$.
Hvis vi krever at vektoren $A\V x-\V b$ står ortogonalt på kolonnerommet til $A$, 
oppnår vi dette.
Altså må vi ha
\[
A^*(A\V x-\V b)=\V 0
\]
eller 
\[
A^*A\V x=A^*\V b.
\]
Dette er et $n \times n$-system som kalles normallikningene. 
Løsningen av systemet gir den $\V x$ som minimerer avstanden fra $A\V x$ til $\V b$.

\begin{oppgave}{257}
Bruk minste kvadraters metode på 
\[
\begin{amatrix}{2}
0 & 1   & 1-i\\
i & i &  1+i\\
 0 & i   & i
\end{amatrix}
\]
\end{oppgave}

Dette bruker statistikerne i lineærregresjon.
Hvis du har $n+1$ punkter $(x_i,y_i)$ i $\mathbb R^2$, der $x_i$ er forskjellig for alle punktene, 
vil det alltid være mulig å finne et reelt polynom 
\[
p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0
\]
hvis graf går gjennom alle disse punktene, 
altså at
\[
p(x_i)=y_i
\]
for alle $1\leq i \leq n+1$. 
Dette kalles {interpolasjon}. 
Likningene over utgjør et $(n+1)\times (n+1)$-likningssystem for koeffisientene $a_i$ med totalmatrise
\[
\begin{amatrix}{5}
x_{1}^{n} & x_{1}^{n-1} & \hdots  & x_{1} & 1 & y_1\\
x_{2}^{n} & x_{2}^{n-1} & \hdots  & x_{2} & 1 & y_2\\
\vdots  & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \vdots\\
x_{n+1}^{n} & x_{n+1}^{n-1} & \hdots  & x_{n+1} & 1 & y_{n+1}\\
\end{amatrix}
\]
Vi vet jo fra Lagrangeinterpolasjoni (se kap. 4)  at dette likningssystemet må ha en entydig løsning 
siden det finnes et entydig interpolasjonspolynom så lenge $x_j\neq x_k$ for $j \neq k$.

\begin{oppgave}{263}
Finn et andregradspolynom som går gjennom
\[
\begin{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix}, \;
\begin{bmatrix}
1 \\ 0
\end{bmatrix} \;
\quad \text{og} \quad
\begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix}.
\]
\end{oppgave}


Dersom man prøver å gjøre den samme prosessen med et polynom som har orden $m < n$, 
vil man få det overbestemte $(n+1)\times (m+1)$systemet 
\[
\begin{amatrix}{5}
x_{1}^{m} & x_{1}^{n-1} & \hdots  & x_{1} & 1 & y_1\\
x_{2}^{m} & x_{2}^{n-1} & \hdots  & x_{2} & 1 & y_2\\
\vdots  & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \vdots\\
x_{n+1}^{m} & x_{n+1}^{n-1} & \hdots  & x_{n+1} & 1 & y_{n+1}\\
\end{amatrix}
\]
Bruker man så minste kvadrats metode på dette systemet, 
får man et polynom som passer ganske bra til punktene uten at grafen går gjennom hvert enkelt punkt - 
dette kalles {regresjon}.

\begin{oppgave}{277}
Finne et annengrad regresjonspolynom til punktene
\[
\begin{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix}, \;
\begin{bmatrix}
1 \\ 0
\end{bmatrix}, \;
\begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix} \;
\quad \text{og} \quad
\begin{bmatrix}
3 \\ 2
\end{bmatrix} .
\]
\end{oppgave}


Når statistikere snakker om regresjonslinje, 
snakker de om et første ordens polynom som prøver å reise gjennom en punktmengde med litt for mange punkter, 
der minste kvadraters metode er brukt for å finne noen koeffisienter som får linjen til å passe ganske bra til punktene. 

\begin{oppgave}{293}
Finn regresjonslinjen til
\[
\begin{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix}, \;
\begin{bmatrix}
1 \\ 0
\end{bmatrix}, \;
\begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix} \;
\quad \text{og} \quad
\begin{bmatrix}
3 \\ 2
\end{bmatrix} .
\]
\end{oppgave}


\section*{Ukens kvantefysikk}

Når man løser Schrödingers likning, 
er bølgefunksjonen 
\[
\Psi(x,t)=e^{i(kx-\omega t)}
\]
veldig viktig,
og Plancks reduserte konstant er 
$\hbar\approx1.054\cdot 10^{-34}$ Js.

\begin{oppgave}{31}
Finn 
\[ 
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x} \quad \text{og}\quad \frac{ \hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t}.
\]
Ser du noe artig?\\
(Hint: $\hbar k$ og $\hbar \omega$ er egenverdier.)
\end{oppgave}


\section*{Ukens klassiske fysikk}

Varmelikningen
\[
\frac{\partial T}{\partial t} = 
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} 
\]
med randkrav 
\[
T(0,t)=T(\pi,t)=0,
\]
og initialkrav
\[
T(x,0)=f(x) 
\]
løses av 
\[
T(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-n^2t}\sin n x,
\quad \text{der} \quad
A_n=\frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi f(x) \sin n x \; dx.
\]
Dette problemet beskriver varmefordelingen i en stang med lengde $\pi$,
der initialfordelingen er gitt ved $f(x)$ og vi holder et par isbiter på endepunktene.
Å utlede selve likningen er mer naturlig når vi har lært litt mer vektorkalkulus, 
så det skal vi utsette litt.

\begin{oppgave}{8}
Utled løsningsformelen.\\
(Hint: bruk samme fremgangsmæte som for bølgelikningen og Schrödingers likning.)
\end{oppgave}

\section*{Ukens nøtt}

Når vi løste bølgelikningen, varmelikningen og schrödingers likning, 
måtte vi studere randverdiproblemene
\[
\ddot{x}+n^2x=0\quad x(0)=x(\pi)=0.
\]

\begin{oppgave}{47}
Vis at løsninger som korresponderer til forskjellige $n$ må være ortogonale.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1001201}
\end{center}



\end{document}
