\input{preamble}

\title{23 - SYSTEMER AV DIFFERENSIALLIKNINGER}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%minimale 2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049

\maketitle

Vi har allerede løst initialverdiproblemer på formen 
\[
\dot{\mathbf y}=A\mathbf y \quad \mathbf y(0)=\mathbf y_0
\]
der $A$ er en $n\times n$-matrise og $\mathbf y$ er en funksjon fra $\mathbb R$ til $\mathbb R^n$.
La oss varme opp med å repetere en oppgave fra eksamen i TMA4101:

\begin{oppgave}{2}
La
\[
A=
\begin{bmatrix}
13 & 20 \\ -10 & -17  
\end{bmatrix}.
\]
Finn $P$ slik at $P^{-1}AP$ blir en diagonal matrise
og løs initialverdiproblemet 
\[
\dot{\mathbf y}=A\mathbf y \qquad \mathbf y(0)=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Finnes det en krets som gir systemet over?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Kan du løse med laplacetransform?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.17]{../figurer/L1009382-Pano}
\end{center}

I prinsippet kan man skrive opp løsningen til alle slike systemer
ved å lete opp alle egenverdier og egenvektorer til matrisen $A$.
Dette er trivielt når $A$ er $2\times 2$, 
vanskelig når $A$ er $3\times 3$, 
og ofte tilnærmet umulig når $A$ er $4\times 4$ eller større.
Dersom du har lyst til å fikle med et par tilfeller, 
kan du prøve disse her:

\begin{minipage}{3cm}
\begin{oppgave}{7}
$
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\ 1 &2
\end{pmatrix}
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3cm}
\begin{oppgave}{11}
$
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\ 1 &1
\end{pmatrix}
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{oppgave}{19}
$
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 
\end{pmatrix}
$
 \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3cm}
\begin{oppgave}{41}
$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 
\end{pmatrix}
$
 \end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{minipage}{3cm}
\begin{oppgave}{61}
$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
2 & 6 & 2 \\
2 & 2 & 6 
\end{pmatrix}
$
 \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3cm}
\begin{oppgave}{89}
$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 
\end{pmatrix}
$
 \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3cm}
\begin{oppgave}{409}
$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$
 \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3cm}
\begin{oppgave}{449}
$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 
\end{pmatrix}
$
 \end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{499}
Man kan også jobbe numerisk med å finne noen av løsningene.
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 
\end{pmatrix}
\]

a) Finn $P$ og $D$ slik at $A=PDP^T$, og løs $A\dot{\mathbf y}=\mathbf y$.

b) La $\V v_0$ være en tilfeldig vektor. 
Bruk Python til å studere rekursjonen  
\[
\V v_n= \frac{A\V v_{n-1}}{\|A\V v_{n-1}\|}
\]
når $n \to \infty$, og forklar hva som skjer.
\end{oppgave}

I noen av eksemplene over,
finnes det ikke like mange lineært uavhengige egenvektorer som dimenensjonen til matrisen. 
Slike matriser kalles defekte. 
Men likningssystemet
\[
\dot{\mathbf y}=A\mathbf y 
\]
har fremdeles $n$ lineært uavhengige løsninger,
det er bare litt vanskeligere å finne dem. 
Man må til med noe som kalles Jordans normalform, 
og hvis du er interessert, 
kan du lese det her: \\
\url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4106/2021v/diverse/generaliserte_egenvektorer.pdf}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.23]{../figurer/M-5}
\end{center}

La oss ta eksamensoppgaven over med laplace. 
Systemet er 
\begin{align*}
\dot{x}_1&= 13x_1+20x_2 \\
\dot{x}_2&= -10x_1-17x_2
\end{align*}
Vi laplacetransformerer og får
\begin{align*}
sX_1-2&= 13X_1+20X_2 \\
sX_2&= -10X_1-17X_2
\end{align*}
eller
\begin{align*}
-2&= (13-s)X_1+20X_2 \\
0&= -10X_1-(17+s)X_2
\end{align*}
Inversen til 
\[
\begin{pmatrix}
13-s & 20 \\
-10 & -17-s
\end{pmatrix}
\]
er
\[
\frac{1}{200-(13-s)(17+s)}
\begin{pmatrix}
-17-s & -20 \\
10 & 13-s
\end{pmatrix}
\]
slik at 
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
X_1\\
X_2
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{s^2+4s-21}
\begin{pmatrix}
-17-s & -20 \\
10 & 13-s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-2 \\
0
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{(s-3)(s+7)}
\begin{pmatrix}
34+2s \\
-20
\end{pmatrix}
\end{align*}
Herfra er det bare å delbrøksoppspalte og finne $x_1$ og $x_2$,
men som du ser blir det litt regning. 
Men vi vet jo hva $x_1$ og $x_2$ er:
 \[
\mathbf {y}(t)=c_1e^{3t}
\begin{bmatrix}
-2 \\ 1
\end{bmatrix}
+
c_2
e^{-7t}
\begin{bmatrix}
1\\ -1
\end{bmatrix}
\]
Her ser vi at de to egenverdiene er synlige allerede i nevneren i uttrykkene $X_1$ og $X_2$,
og derfor kommer det kanskje ikke som noe sjokk at ingeniører kan lese 
mye interessant ut av dette uttrykket uten å invertere for å finne $x_1$ og $x_2$.


\begin{oppgave}{881}
Prøv 7-449 med laplace og se hvor langt du kommer.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.16]{../figurer/L1018549-Pano}
\end{center}


Som du skjønner av oppgavene over, 
er det ikke bare bare å løs med penn og papir, 
selv om det i prinsippet lar seg gjøre.
Det vi skal gjøre resten av denne økten, 
er å ta et gjensyn med numeriske metoder for differensiallikningssystemer. 
La systemet være 
\begin{align*}
\dot x=f(x,y)\\
\dot y=g(x,y)
\end{align*}
Eksplisitt Euler:
\begin{align*}
x_{i+1}=x_i+hf(x_i,y_i)\\
x_{i+1}=y_i+hg(x_i,y_i)
\end{align*}
Implisitt Euler:
\begin{align*}
x_{i+1}=x_i+hf(x_{i+1},y_{i+1})\\
x_{i+1}=y_i+hg(x_{i+1},y_{i+1})
\end{align*}
Symplektisk Euler:
\begin{align*}
x_{i+1}=x_i+hf(x_i,y_i)\\
x_{i+1}=y_i+hg(x_{i+1},y_i)
\end{align*}
Trapesmetoden:
\begin{align*}
x_{i+1}=x_i+h\left(\frac{f(y_{i},z_{i})+f(x_{i+1},y_{i+1})}{2}\right)\\
x_{i+1}=y_i+h\left(\frac{g(y_{i},z_{i})+g(x_{i+1},y_{i+1})}{2}\right)
\end{align*}

\begin{oppgave}{991}
Lotka-Volterra-systemet er 
\begin{align*}
\dot x=x(2-y)\\
\dot y=y(x-1)
\end{align*}
Løs systemet numerisk med eksplisitt og symplektisk Euler og plot $x$ mot $y$. 
\end{oppgave}

Et plot av $x$ mot $y$ kalles faseplott, 
og koordinatsystemet kalles faseplanet. 
Dette er et viktig hjelpemiddel for å visualisere ordinære differensiallikningssystemer. 

\begin{oppgave}{6469}
Balthasar van der Pol var en nederlandsk fysiker som jobbet med radiorør 
i Phillips på 1920-tallet og oppdaget noe som i dag kalles van der Pols likning:
\[
\ddot{x}+\mu(x^2-1)\dot x+x=0
\]
Skriv denne om til system og løs numerisk med eksplisitt og symplektisk Euler. 
I dette tilfellet blir faseplanet et plot av $x$ mot $\dot x$. Plott i vei.  
\end{oppgave}

Skal du implementere de implisitt Euler og trapesmetoden,
trenger du å kjenne til
Newtons metode for to ikkelineære likninger med to ukjente. 
Denne står i kompendiet i kapittel 10.

\begin{oppgave}{6949}
Løs Lotka-Volterra og van der Pol numerisk med de implisitte metodene.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.26]{../figurer/L1018067}
\end{center}

\section*{Ukens nøtt}


%9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049
\begin{oppgave}{9001}
Systemer av differensiallikninger kan blir ganske håret. 
Bruk Newtons andre lov til å utlede likningene under figuren, 
skriv om til førsteordens system med fire ukjente og løs numerisk. (Fra MDPs regtekinferno TTK4105.)
\begin{center}
\includegraphics[scale=.6]{../figurer/regtek-1}
\end{center}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9049}
En pendel med masse $m$ henger i en stang med lengde $l$ fra taket.
Før kunne den svinge friksjonsfritt frem og tilbake, 
og gravitasjonskraften var eneste kraft,
men nå skal vi legge på luftmotstand. 
Denne er som regel proporsjonal med kvadratet av farten:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics)}\\
Finn differensiallikningen for $\theta$, 
løs numerisk og plott.

\begin{center}
\includegraphics[scale=.18]{../figurer/pendel}
\end{center}
\end{oppgave}

\end{document}
