\input{../preambles/preamble}

\title{23 - ORTOGONALE MATRISER}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Vi vet at det skal være mulig å finne et ortogonalt sett med egnevektorer dersom $A$ er symmetrisk. 

\begin{oppgave}{1}
Men hva med
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 
\end{pmatrix}
\]
\end{oppgave}
%
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=.6]{../figurer/img347}
%\end{center}


\begin{oppgave}{4}
Inspirert av alt over, 
klarer du nå å finne en ortogonal egenvektormengde til 
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 
\end{pmatrix}?
\]
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.12]{../figurer/L1019161-Pano}
\end{center}



\begin{oppgave}{5}
Vis at $A^T=A^{-1}$ dersom kolonnene i en kvadratisk matrise er ortonormale.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{6}
Vis at dersom $\{\mathbf y_1, \mathbf y_2, \cdots, \mathbf y_n\}$ er en ortogonal vektormengde
og 
\[
\mathbf x = \sum_{k=1}^n c_k \mathbf y_k 
\]
er 
\[
c_k=\frac{\mathbf x \cdot \mathbf y_k}{\mathbf y_k \cdot \mathbf y_k}.
\]
\end{oppgave}



Dersom vi har en matrise med ikke ortogonale kolonner,
kan vi bruke projeksjonen 
\[
\frac{\V y \cdot \V x}{\V y \cdot \V y}\V y
\]
til å lage en matrise med ortogonale kolonner som spenner ut det samme vektorrommet.
Dette kalles Gram-Schmidts metode, 
og du finner den her:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gram–Schmidt_process}\\

\begin{oppgave}{7}
Finn en ortogonal basis for kolonnerommet til 
\[
\begin{pmatrix}
2&1&1&2\\
1&0&1&1\\
1&-2&1&-1\\
0&1&1&1
\end{pmatrix}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
Skriv en rutine i python eller matlab som 
Gram-Schmidter en matrise.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
Gram-Schmidt
polyhomene $\{1,x,x^2,\cdots\}$. 
Dersom du gjør det riktig, 
skal du få ut legendrepolynomene. 
\end{oppgave}

Ortogonale matriser brukes til å holde styr på rotasjoner:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix}\\
Mengden av alle ortogonale $n\times n$-matriser kalles den spesielle ortogonale gruppen, $SO(n)$. 
Dette er et eksempel på noe som kalles en Lie-gruppe,
etter den store norske matematikeren Sophus Lie:
\footnote{Sophus Lie leverte seriøse bidrag til forståelsen av differensiallikninger,
men det er kompliserte greier. Jeg skjønner ingenting av det.}\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie}\\


\begin{oppgave}{10}
Finn en $3\times 3$-matrise som roterer vektorer $\pi/4$ radianer om linjen $(1,1,1)$.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1019483}
\end{center}


\section*{Ukens nøtter}

\end{document}
