\input{preamble}

\title{15 - KOMPLEKSE TALL}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

\begin{tcolorbox}
Se her:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/tma4106/2022v/uke3}\\
for videoer om komplekse tall.
\end{tcolorbox}

La oss minne om at den generelle løsningen til 
\[
\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0
\]
er
\[
y(t)=Ae^{\lambda t}.
\]
Setter man denne inn i likningen 
får man
\[
A\lambda^2e^{\lambda t}+Ab\lambda e^{\lambda t}+Ace^{\lambda t}=0.
\]
Man observerer så at $A\neq 0$ (dette er en ganske uinteressant løsning) 
og at $e^{\lambda t}\neq 0$ (vi vet jo for og bak på eksponensialfunksjonen),
og derfor kan vi dele disse ut og få
\[
\lambda^2+b\lambda+c=0
\]
som kalles den karakteristiske likningen.
På skolen lærte du så at dersom $\lambda_1 \neq \lambda_2$,
er 
\[
y(t)=Ae^{\lambda_1 t}+Be^{\lambda_2 t}
\]
og dersom $\lambda_1 = \lambda_2(=\lambda)$,
sa læreren at løsningene er
\[
y(t)=Ae^{\lambda t}+Bte^{\lambda t}.
\]
og dersom den karakteristiske liknigen ikke har løsninger, 
sa læreren at løsningen var
\[
y(t)=
Ae^{-\frac{b}{2}t}\cos\left(\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}t\right)+
Be^{-\frac{b}{2}t}\sin\left(\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}t\right).
\]
Hvis du husker algebraens fundamentalteorem, 
husker du jo at alle polynomer har like mange røtter som ordenen på polynomet, 
så med andre ord har 
\[
\lambda^2+b\lambda+c=0
\]
alltid to løsninger,
men de kan være sammenfallende eller komplekse. 

Med dette bakteppet skal vi begynne å studere de komplekse tallene litt grundigere.
La oss repetere litt først.

\begin{oppgave}{1}
Finn alle løsninger av likningen
$x^2+x+1=0$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Faktoriser polynomet
$
x^2+2x+2.
$
\end{oppgave}

Oppgavene over inspirerer oss til å definere

\begin{tcolorbox}[ title= Komplekse tall på kartesisk form]
\[
z=a+bi
\]\end{tcolorbox}
Her er $a$ og $b$ reelle tall. 
De kalles henholdsvis \emph{realdelen} og \emph{imaginærdelen} til $z$,
og skrives gjerne $\text{Re}(z)$ og $\text{Im}(z)$. 
Mengden av alle komplekse tall skrives $\mathbb C$. 
De reelle tallene er en delmengde av de komplekse tallene,% $\mathbb R \subset \mathbb R$, 
for dersom $b=0$, er $z$ reell.


Et komplekst tall likner på mange måter en vektor i $\mathbb R^2$. 
Vi kan tenke at realdelen $a$ og imaginærdelen $b$ er komponenter i en vektor,
og avmerke $z$ i \emph{det komplekse planet}. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[->] (-4,0) -- (7,0);
\draw[->] (0,-4) -- (0,6);
\node[anchor=east] at (9.8,0) {\footnotesize $\text{Re}(z)$};
\node[anchor=south] at (0,6.8) {\footnotesize $\text{Im}(z)$};
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
\draw (5pt,\y) -- (-5pt,\y);
\filldraw (2,3) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$z=2+3i$};
\filldraw (2,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$\overline z=2-3i$};
\filldraw (4,5) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$w=4+5i$};
%\filldraw (0,1) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{e}_2$};
%\filldraw (-1,-2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{u}$};
%\filldraw (3,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{v}$};
%\filldraw (1,4) circle [radius=3pt] node[anchor=south] {$A \V{e}_1$};
%\filldraw (3,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{e}_2$};
%\filldraw (-7,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$A \V{u}$};
%\filldraw (9,6) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{v}$};
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (1,0) to[bend right=20] (1,4);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (0,1) to[bend right=30] (3,-3);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (-1,-2) to[bend right=20] (-7,2);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (3,2) to[bend left=20] (9,6);
\end{tikzpicture}
\\
{\small \textit{Det komplekse planet}}
\end{center}

Regneregler for komplekse tall følger regnereglene for reelle tall, 
men du må huske at $i^2=-1$.

\begin{tcolorbox}[ title= Regneregler for kartesisk form]
La $z=a+bi$ og $w=c+di$ være komplekse tall. Vi har  
\begin{align*}
z+w&=a+c+(b+d)i \\[4pt]
z-w&=a-c+(b-d)i \\[4pt]
z\cdot w&=ac-bd+(bc+ad)i\\[4pt]
\frac{z}{w}&=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}
\end{align*}
\end{tcolorbox}


\noindent Merk at komplekse tall legges sammen komponentvis akkurat som vektorer i $\mathbb R^2$.
Multiplikasjon og divisjon har ingen tilsvarende operasjoner i $\mathbb R^2$ i 'vanlig bruk'.

\begin{oppgave}{3}
La $z=2+3i$ og $w=4+5i$. 
Regn ut $z+w$, $z-w$, $z\cdot w$ og $z/w$.
\end{oppgave}

Når vi deler et komplekst tall på $z=a+bi$, 
ganger vi oppe og nede med \emph{$z$ konjugert}:
\[
\overline z =a-bi
\]
Merk at $z\overline z=a^2+b^2$ er et reelt tall.

\begin{oppgave}{4}
La $z=a+bi$ og $w$ være komplekse tall. Vis at:
\begin{align*}
\overline{z+w}&=\overline{z} + \overline{w} \hspace{.8cm}
\overline{z-w}=\overline{z} - \overline{w} \\
\overline{z\cdot w}&=\overline{z} \cdot \overline{w} \hspace{1.25cm}
\overline{z/ w}=\overline{z} / \overline{w} \\
z+\overline{z}&=2a  \hspace{1.43cm}
z-\overline{z}=2bi  \hspace{1.43cm}
\end{align*}
\end{oppgave}


Med komplekse tall kan man belyse forholdet mellom eksponensialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene.
Dette forholdet er ikke mulig å få øye på dersom man kun har reelle tall til rådighet.

La $r$ være avstanden fra det komplekse tallet ${z=a+bi}$ til origo, 
og la $\theta$ være vinkelen $z$ gjør med den reelle aksen. 


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[->] (-5,0) -- (8,0);
\draw[->] (0,-2.5) -- (0,6);
\node[anchor=west] at (9,0) {\footnotesize $\text{Re}(z)$};
\node[anchor=south] at (0,7) {\footnotesize $\text{Im}(z)$};
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7}
\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4,5}
\draw (5pt,\y) -- (-5pt,\y);
\filldraw (4,5) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$z=a+bi$};
%\filldraw (0,1) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{e}_2$};
%\filldraw (-1,-2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{u}$};
%\filldraw (3,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{v}$};
%\filldraw (1,4) circle [radius=3pt] node[anchor=south] {$A \V{e}_1$};
%\filldraw (3,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{e}_2$};
%\filldraw (-7,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$A \V{u}$};
%\filldraw (9,6) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{v}$};
\draw[-] (0,0) to (4,5);
\node[anchor=south] at (2,3) {\footnotesize $r$};
\draw (3,0) arc (0:51:3);
\node[anchor=south] at (3.3,1.1) {\footnotesize $\theta$};
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (0,1) to[bend right=30] (3,-3);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (-1,-2) to[bend right=20] (-7,2);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (3,2) to[bend left=20] (9,6);
\end{tikzpicture}
\\
{\small \textit{Polare koordinater}}
\end{center}

\begin{oppgave}{5}
Gjør rede for at 
\[
a=\text{Re}(z) = r\cos \theta \quad
b=\text{Im}(z) = r\sin \theta 
\]
%\begin{minipage}{7cm}
%\[
%\theta=\begin{cases} \arctan \left(\frac{b}{a}\right) \qquad & a>0\\[7pt] \arctan \left(\frac{b}{a}\right) + \pi \qquad &  a<0 \\[3pt]  \pi/2 \qquad &  a=0, \; b>0 \\[3pt] 3\pi/2 \qquad &  a=0, \; b<0  \end{cases}
%\]
%\end{minipage}
\end{oppgave}
 
 Vi skriver ellers
 \[|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline z}\]
 for avstanden fra $z$ til origo. 
 Dette tallet kalles gjerne \emph{absoluttverdi} eller \emph{modulus} til $z$. 
 Vinkelen 
 $\theta= \arg z$
 kalles \emph{vinkelen} eller \emph{argumentet} til $z$. 

La oss nå å utlede en av de absolutt viktigste relasjonene i verdenshistorien.

\begin{oppgave}{6}
Skriv opp taylorrekkene for $e^x$, $\cos x$ og $\sin x$.
Skriv så opp taylorrekken for $e^{ix}$ ved å substituere $ix$ for $x$ i taylorrekken til $e^x$,
og nistirr på denne en lang stund. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.22]{../figurer/L1019010}
\end{center}

\clearpage

Hvis du har stirret lenge nok på disse rekkene, 
ser du kanskje at 
\begin{tcolorbox}[title=Eulers formel]
\[
e^{ix}=\cos x + i \sin x
\]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{7}
Bruk trigonometriske relasjoner til å vise at $e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}$.\\
(Denne er mest for å overbevise de som ikke tror på dette med rekker.)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{8}
Hvis du ennå ikke er overbevist, 
kan du tenke slik: 
skal det være vits i å definere konseptet $e^{i\theta}$, 
bør denne oppføre seg slik du er vant til. 
For eksempel bør 
\[
\frac{d}{d\theta}e^{i\theta}=ie^{i\theta}
\]
Hvis dette er et ufravikelig krav fra vår side,
hva kan du da si om brøken
\[
\frac{\cos \theta + i \sin \theta }{e^{i\theta}}\; ?
\]
(Hint: deriver hele greia.)
\end{oppgave} 

Ved hjelp av Eulers formel kan vi nå skrive komplekse tall på polar form:
\[
z=r(\cos \theta+i\sin \theta)=re^{i\theta}
\]
og bruke regnereglene 
\[
z \cdot w=|z|\cdot |w| \cdot e^{i(\text{arg}(z) + \text{arg}(w))} \qquad  
\frac{z}{w}=\frac{|z|}{|w|} \cdot e^{i(\text{arg}(z) - \text{arg}(w))} 
\]

\begin{oppgave}{9}
La $z$ og~$w$ være følgende komplekse tall:
\[
z = \frac{3\pi}{4} i
\qquad\qquad
w = -\frac{3\pi}{4}i
\]
Skriv tallene $e^z - e^w$ og $e^z/e^w$ på polar form.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
Vis at dersom $z=re^{i\theta}$ gir Eulers formel $\overline z=re^{-i\theta}$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Bruk Eulers formel til å vise at 
\[
\cos x = \frac{\exp{(ix)}+\exp{(-ix)}}{2}
\quad
\text{og at}
\quad
\sin x = \frac{\exp{(ix)}-\exp{(-ix)}}{2i}.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
Likningen $z^n=w$, 
der $n$ er et naturlig tall, 
har alltid $n$ distinkte løsninger i det komplekse planet. 
Trikset for å finne dem, 
er skrevet opp i kompendiet, kap. 1. 
Finn alle løsningene til 
\[
z^5=1+i.
\]
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{13}
Husk at 
\[
\cosh x =\frac{e^x+e^{-x}}{2}
\quad
\text{og at}
\quad
\sinh x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},
\]
og la $z=a+bi$.
Vis at dersom vi definerer
\[
\cos z = \frac{\exp{(iz)}+\exp{(-iz)}}{2}
\quad
\text{og}
\quad
\sin z = \frac{\exp{(iz)}-\exp{(-iz)}}{2i}.
\]
må
\begin{align*}
\cos z&=\cos a \cosh b - i \sin a \sinh b \\
\sin z&=\sin a \cosh b + i \cos a \sinh b
\end{align*}
\end{oppgave}




Etter all denne trening med komplekse tall, 
burde vi nå være i en posisjon til å se hvordan noen på et eller annet tidspunkt skjønte at
\[
y(t)=
Ae^{-\frac{b}{2}t}\cos\left(\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}t\right)+
Be^{-\frac{b}{2}t}\sin\left(\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}t\right).
\]
burde være løsningen til 
\[
\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0
\]
dersom $b^2-4c<0$.
La oss nå skrive 
\[
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}=\delta\pm\omega i
\]
slik at løsningen blir 
\[
y(t)=
Ae^{\lambda_1 t}+Be^{\lambda_2 t}=
Ae^{(\delta+\omega i) t}+Be^{(\delta-\omega i) t}
\] 
Her er først to hjelpeoppgaver:

\begin{oppgave}{14}
Hva blir løsningen dersom $A=B=\frac{1}{2}$?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{15}
Hva blir løsningen dersom $A=-B=\frac{1}{2i}$?
\end{oppgave}

Dersom du er sulten på å bli mer sikker i din sak, 
kan du prøve denne:

\begin{oppgave}{16}
Kan du nå forklare hvorfor
\[
y(t)=Ae^{(\delta+\omega i) t}+Be^{(\delta-\omega i) t}
\] 
og
\[
y(t)=Ce^{\delta t}\cos\left(\omega t\right)+De^{\delta t}\sin\left( \omega t\right)
\]
er nøyaktig det samme? \\
(Hint: Bruk Eulers formel på det første uttrykket
og skriv opp et lineært likningssystem på formen
\[
T
\begin{bmatrix}
A\\
B
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
C\\
D
\end{bmatrix}
\]
der $T$ er en $2\times 2$-matrise. Er $T$ inverterbar?)
\end{oppgave}

Til slutt litt regning:

\begin{oppgave}{17}
Finn alle løsninger til
\[
\ddot{y}+y=0
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{18}
Finn alle løsninger til
\begin{align*}
\dot{y}_1&=y_2 \\
\dot{y}_2&=-y_1
\end{align*}
og sammenlikne med forrige oppgave.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
Finn alle løsninger til
\[
\ddot{y}+\dot{y}+y=0
\]
\end{oppgave}



\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1018863}
\end{center}





\end{document}
