\input{../preambles/preamble}

\title{14 - ANALYTISKE FUNKSJONER}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

%noe om optikk, linser og bønner?

Det er som sagt mulig å ta 
\[
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
\]
og
\[
\sin{x}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\dots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} 
\]
og
\[
\cos{x}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\dots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\]
som definisjonene på $e^x$, $\cos x$ og $\sin x$.
Man må da vise at disse rekkene har nøyaktig de egenskapene vi er vant med, 
for eksempel at 
\[
\frac{d}{d}e^x=e^x
\]
og at 
\[
\sin x = \sin(x+2\pi)
\]
og så videre. 
Det finnes noen fordeler med denne strategien.
For eksempel blir det trivielt å huske at
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots}{x}=\lim_{x\to 0}1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\dots=1
\]




\section*{Dagens geometriske nøtt}

\begin{oppgave}{11}
Vis geometrisk at 
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1.
\]
Dette er nok noe vanskeligere enn med rekker. 
Du finner argumentet i eksempel 4.13 i notatene eller i kap 2.5 i Adams eller fra 1:34:40 i geometriforelesningen her \\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/oppfrisk/2020/forelesninger}.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{5}
Finn en tilnærming til 
\[
\int_0^\pi \text{sinc}(x)\;dx \approx 1.85193705196
\]
ved å bruke riemannsummer.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{6}
Finn en tilnærming til 
\[
\int_0^\pi \text{sinc}(x)\;dx 
\]
ved å bruke trapesregelen og sammenlikne med forrige oppgave.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
Her er en alternativ teknikk. 
Bruk rekken til $\sin x$ til å skrive 
\[
\int_0^\pi \text{sinc}(x)\;dx 
\]
som en alternerende rekke, 
og finn en tilnærming til integralet 
ved hjelp av denne.
Ta med mange nok ledd til at du oppnår maskinpresisjon,
og ikke bruk kalkulator eller liknende.
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{3}
For hvilke $x$ konvergerer rekken 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}?
\]
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{5}
Vi roterer funksjonen $f: [0,\infty) \to \mathbb R$ gitt ved 
\[
f(x)= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
\]
om $x$-aksen. 
Hva blir volumet?
\end{oppgave}


\section*{EKSAMENSOPPGAVER}


\begin{oppgave}{1}
Vi har tidligere utledet regneregelen 
\[
\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i
\]
Merk av $a+bi$, $c+di$ og $\frac{a+bi}{c+di}$ i det komplekse planet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Skriv ned algebraens fundamentalteorem og forklar hvordan denne og Eulers formel impliserer at likningen
\[
z^n=w
\]
der $n\in \mathbb N$ og $w \in \mathbb C$har $n$ distinkte løsninger.
Skriv dem opp, 
og faktoriser polynomet $p(z)=z^n-w$.
\end{oppgave}


I begynnelsen av semesteret lærte vi å løse likninger numerisk. 
På papiret var det dette som var ukens tema, 
men mange andre ting ble introdusert en passant:
\begin{itemize}
\item Tallfølger: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence}
\item Cauchyfølger: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence}
\item Konvergens: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_sequence}
\item Relle tall: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number}
\end{itemize}

I denne uken skal vi se på rekker. 

\begin{tcolorbox}
En rekke er summen av leddene i en følge:
\[
\sum_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots
\]
Uttrykket 
\[
\sum_{n=1}^N a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_N
\]
kalles den $N$-te partialsummen til rekken, 
og vi sier at rekken er konvergent dersom partialsummene danner en konvergent følge. 
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{1}
Finn summen 
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}.
\]
(Dette lærte du på skolen.)
\end{oppgave}


Ingen lærebok i matematikk begynner et kapittel om rekker uten Xenos paradoks, 
som er rundt 2500 år gammelt. 
Anta at en langdistanseløper skal tilbake legge en distanse. 
Han tilbakelegger første halvdel på tiden $T$. 
Den neste fjerdedelen tibakelegger han på tiden $T/2$. 
Den neste åttendedelen tilbakelegger han på tiden $T/4$. 
Og slik fortsetter det. 
Xeno trodde han hadde funnet et paradoks her, 
for han trodde at 
\[
T+\frac{T}{2}+\frac{T}{4}+\frac{T}{8}+\cdots=\infty
\]
siden venstresiden er en sum av uendelig mange tall. 
Dette er ikke riktig. 
Det er åpenbart at løperen tilbakelegger distansen på tiden $2T$, 
og dersom man skal tillegge en den uendelige summen over noen verdi, 
er det naturlig å sette
\[
T+\frac{T}{2}+\frac{T}{4}+\frac{T}{8}+\cdots=2T.
\]
Dersom Xeno hadde satte seg inn i følgende utledning,
hadde han skjønt at han var på villspor.
La $|x|<1$. På skolen har du lært om den geometriske rekken
\[
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n.
\]
Det er ikke så vanskelig å se at dette er riktig. 
Partialsummene er 
\[
S_N=\sum_{n=0}^N x^n=1+x+x^2+\cdots+x^N,
\]
og hvis vi tar 
\begin{align*}
(1-x)S_N&=(1-x)\sum_{n=0}^N x^n\\ 
&=1+x+x^2+\cdots+x^N \\ 
&-(x+x^2+x^3+\cdots+x^{N+1})=1-x^{N+1},
\end{align*}
får vi
\[
S_N=\sum_{n=0}^N x^n=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}.
\]
Dersom vi lar $N\to \infty$,
får vi 
\[
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n.
\]

\begin{oppgave}{2}
Finn summen 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}.
\]
(Hint: gang uttrykket over med $k$.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Finn summen 
\[
\sum_{n=10}^\infty \frac{1}{2^n}.
\]
\end{oppgave}

Geometriske rekker kan brukes til mange artige ting.


\begin{oppgave}{4} % 75001, 16.12.1994, oppgave 2
  \begin{minipage}[t]{1\textwidth}
  \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
    Figuren viser de første fem av en uendelig følge av kvadrater.
    Finn summen av omkretsene av alle kvadratene.
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}[t][3cm][b]{0.45\linewidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[thick,scale=0.8]
      \draw (1.5,1.5) rectangle (2.5,2.5);  
      \draw (2,1) -- (3,2) -- (2,3) -- (1,2) -- cycle;  
      \draw (1,1) rectangle (3,3);
      \draw (2,0) -- (4,2) -- (2,4) -- (0,2) -- cycle;
      \draw (0,0) rectangle (4,4);
    \end{tikzpicture}
  \end{minipage}
\end{minipage}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
  Anta at en sprettball som slippes rett ned, spretter opp $3/4$ av den
  opprinnelige høyden den ble sluppet fra.  Anta at ballen kun beveger
  seg i vertikal retning.  Hva er avstanden ballen vil bevege seg før
  den blir liggende stille når den slippes fra en høyde på $3$ meter?
\end{oppgave}


To hjørnesteiner i rekketeorien er at 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots=\infty
\]
og
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}.
\]
Å vise at disse to likningene er korrekte, 
er kanskje litt for vanskelig å finne ut av selv, 
så du kan lese om hvorfor i eksempel 3.13 og 3.14 her: \url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4101/2021h/notater/TMA4101-analyse.pdf}.
Det er greit å kjenne til et par rekker, 
for da kan man bruke følgende konvergenstest, 
kalt sammenlikningstesten.

\begin{tcolorbox}
La $a_n$ og $b_n$ være positive følger, 
med $a_n \leq b_n$ for alle $n$. \\
Dersom $\sum a_n$ divergerer, divergerer $\sum b_n$. 
Dersom $\sum b_n$ konvergerer, konvergerer $\sum a_n$. 
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{6}
Avgjør om 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}
\]
er konvergent eller divergent.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{7}
Avgjør om 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}
\]
er konvergent eller divergent.
\end{oppgave}

\section*{Dagens nøtt}

\begin{oppgave}{8}
Vis at rekken 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}
\]
er konvergent og finn summen.
\end{oppgave}

\section*{Dagens moro}

Det burde være klart at en rekke ikke kan konvergere med mindre $\lim_{n\to \infty} a_n=0$.
Eller?

\begin{oppgave}{9}
Vis at 
\[
\sum_{n=1}^\infty n=1+2+3+\cdots = -\frac{1}{12}.
\]
(Hint: du må kanskje se her \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation}.)
\end{oppgave}

I denne uken skal vi se på flere konvergenstester for rekker.
De er listet opp her: \url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4101/2021h/notater/TMA4101-analyse.pdf}, 
og  i kap. 9 i Adams, 
og i kap. 15.1 i Kreyszig.

Finn ut om rekkene er konvergente.

\begin{oppgave}{1}
$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{\sin n}{n^2 + 1}$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n (n^2 - 1)}{n^2 +1}$
\end{oppgave}



\section*{Dagens nøtt}

\begin{oppgave}{3}
  Hvor mange ledd i rekken
  \begin{equation*}
    S = 4 \sum_{n = 0}^\infty \left(-\frac17\right)^n
  \end{equation*}
  må du ta med for å estimere summen $S$ med en feil mindre enn
  $0.003$?
\end{oppgave}

\section*{Dagens moro}

\begin{oppgave}{4}
Er
  \begin{equation*}
    \sum_{n=1}^{\infty} \bigl(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\bigl)
  \end{equation*}
  konvergent?
\end{oppgave}

\section*{Klassisk regning}

Her er flere klassiske rekkeoppgaver fra TMA4100:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100/2020h/anbefalte_45.pdf}\\
Hurra, det finnes LF: \\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100/2020h/lf_anbefalte_45.pdf}





\begin{oppgave}
Vis at 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}
\]
er divergent.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Hva med
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\ln{n}}
\]
?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Vis at 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}
\]
er konvergent.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Vis at 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}
\]
er konvergent.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Vis at 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-1}
\]
er konvergent.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Finn summen til rekken 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Finn summen til rekken 
\[
\sum_{n=5}^\infty \frac{1}{9^n}.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Anta at 
\[
\sum_{n=1}^\infty f(n)
\]
er en konvergent rekke. 
Er 
\[
\sum_{n=1}^\infty(-1)^n f(n)
\]
konvergent?
\end{oppgave}



\begin{oppgave}
La $z_n$ være en kompleks følge. 
Vis at dersom 
\[
\sum_{n=0}^\infty |z_n|
\]
er konvergent,
er også
\[
\sum_{n=0}^\infty z_n
\]
konvergent.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Finn konvergensområdet til rekken 
\[
\sum_{n=0}^\infty (1-z)^n.
\]
Hva konvergerer rekken til i konvergensområdet?
\end{oppgave}



\noindent 3. La $z_n=a_n+ib_n$. Vi har
$a_n=\text{Re}(z)\leq |z|$
og
$b_n=\text{Im}(z)\leq |z|$.
For en bestemt partialsum, 
må vi ha at 
\[
\sum_{n=1}^N |a_n| \leq \sum_{n=1}^N |z_n|
\]
og dette impliserer at 
\[
\sum_{n=1}^\infty |a_n| 
\]
er en absolutt konvergent rekke. 
Dette betyr igjen at 
\[
\sum_{n=1}^\infty a_n 
\]
er konvergent. 
Det samme resonnementet viser at 
\[
\sum_{n=1}^\infty b_n 
\]
er konvergent, og følgelig er 
\[
\sum_{n=1}^\infty z_n =\sum_{n=1}^\infty a_n+ i\sum_{n=1}^\infty b_n 
\]
konvergent.


\noindent 4. Dette er en geometrisk rekke, 
og forholdstesten forteller oss at rekken konvergerer dersom $|1-z|<1$. 
Utledningen av geometrisk rekke er like fin for komplekse $z$, så vi ser at 
\[
\frac{1}{z}=\frac{1}{1-(1-z)}=\sum_{n=0}^\infty \left(1-z\right)^n.
\]


\begin{oppgave}{3}
For hvilke $x$ konvergerer rekken 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}?
\]
\end{oppgave}


\section*{Dagens analytiske nøtt}

Vi sier at at en rekke er absolutt konvergent dersom $\sum |a_n|$ er konvergent.
Forholdstesten viser at rekken til $e^x$ er absolutt konvergent. 
Blant annet betyr dette at vi kan stokke om på rekkefølgen av leddene uten at det har noe å si for hva rekken konvergerer til. 
Følgende oppgave er nok i hardeste laget for de fleste, 
men artig allikevel.

\begin{oppgave}{12}
Ta
\[
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
\]
som definisjonen på $e^x$ og vis at 
\[
e^{x+y}=e^xe^y.
\]
(Hint: prøv å se hvordan leddet $x^ny^m$ ser ut på begge sider av likningen. Du er nødt til å kunne en del om binomialkoeffisienter: \\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient}\\
for å få det til.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Forklar forskjellen mellom glatte og analytiske funksjoner og illustrer med $e^{1/x(1-x)}$
\end{oppgave}


\end{document}
