\input{../preambles/preamble}

\title{12 - INTEGRALET}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle



% integrere rayleighs formel for ultrafiolett katastrofe
% g=9,8214675(4)
% massesenter og forventning
% cauchys fordeling hardle og simar 156

Planckfordelingen 
\[
B(\lambda,T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda k T}-1}
\]
er et eksempel på noe som kalles \textbf{sannsynlighetstetthetsfunksjon}:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function}\\
Sannsynlighetstetthetsfunksjoner dukker opp i de fleste anvendelser,
og sannynlighetsregning kommer for fullt rett etter jul i et vanskelig 
(men godt organisert) fag som heter TMA4245.

\begin{oppgave}{1}
Les deg opp og forklar en kamerat hva en sannsynlighetstetthetsfunksjon er,
og hva dette har med integralet å gjøre.
\end{oppgave}

En annen viktig sannsynlighetstetthetsfunksjon er Maxwell-Boltzmann-fordelingen
\[
f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT}}
\]
som forteller noe om fordelingen av hastighetene til partikler i en gasstank 
(noen partikler har høy fart, mens andre har lav fart):\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell–Boltzmann_distribution}\\
Hvis du klarte oppgave 1, 
har du nå skjønt at man finner sannsynligheter ved å integrere sannsynlighetstetthetsfunksjonen.
Sannsynligheten for at en stokastisk variabel $X$ med sannsynlighetstetthet $f$ havner mellom $a$ og $b$ i et forsøk, 
er: 
\[
P(a<X<b)=\int_a^b f(x)\; dx
\]
Hvis ikke dette er en god motivasjon for å forstå integralet, 
vet ikke jeg. 
Men vi har et problem. 

\begin{oppgave}{2}
Klarer du å antiderivere Planckfordelingen?
Hva med Maxwell-Boltzmann-fordelingen?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.18]{../../elsyspiloten/figurer/img1365}
\end{center}

Analysens fundamentalteorem er viktig, 
men overdreven bruk kan gi deg en sterk bias:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Bias}\\
nemlig at 
\begin{tcolorbox}
INTEGRASJON = ANTIDERIVERIVASJON
\end{tcolorbox}

Det er \textbf{feil}.
La oss se på enda en funksjon som ikke er så lett å antiderivere.

\begin{oppgave}{3}
Arealet under grafen til  $f(x)=e^{-x^2}$ og mellom $x=0$ og $x=1$ skrives
\[
\int_0^1e^{-x^2}\; dx=0.7468241328...
\]
Finn dette arealet til ti desimalers presisjon på en eller annen måte uten wolframalpha.
\end{oppgave}

I mange situasjoner er det enten umulig eller urealistisk å antiderivere for å finne integralet. 
Funksjonen $e^{-x^2}$ har ingen antiderivert som lar seg skrive ned på en enkel måte, 
og andre funksjoner har så kompliserte antideriverte at man kan miste interessen for livet av mindre:
\footnote{Wolphramalpha gjør heldigvis ikke det.}
  \begin{center}
      \vspace*{-.2cm}
	\includegraphics[scale=.85]{../figurer/integral}
   % \vspace*{-2.4cm}
	\end{center}

Skal du forstå integralet,
må du forstå hva en \textbf{riemannsum} er:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum}\\
Disse brukes til å definere integralet, 
men kan også brukes til å finne en tilnærming til arealet under grafen.
En riemannsum er i bunn og grunn et histogram der søylehøydene 
er minimums- og maksimumsverdiene til $f$ på hver søylebase.

\begin{oppgave}{4}
Les deg opp på hva en riemannsummer, 
og finn 
\[
\int_0^1 e^{-x^2}\; dx
\]
til maskinpresisjon ved hjelp av riemannsummer.
(Hvis du brukte riemannsummer i oppgave 1, 
kan du selvfølgelig bare gå videre.)
\end{oppgave}


Det er mange grunner til å elske funksjonsuttrykket $e^{-x^2}$. 
En viktig grunn er at den dukker opp i naturen. 
Du har sikkert hørt om normalfordelingen eller gausskurven:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution}\\
Dette er et av de viktigste eksemplene på sannsynlighetstetthetsfunksjon,
og i TMA4245 skal du bli ganske dreven i denne.
Standardnormalfordelingen har sannsynlighetstetthetsfunksjon $f: \mathbb R \to \mathbb R$ gitt ved
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}.
\]
Sannsynligheten for at en standardnormalfordelt stokastisk variabel $Z$ havner mellom $a$ og $b$ i et forsøk, 
er: 
\[
P(a<Z<b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-x^2/2}\; dx
\]
Du vet forhåpentligvis nå at standardnormalfordelingsfunksjonen ikke har noen antiderivert som er lett å evaluere. 

\begin{oppgave}{5}
Les litt mer om normalfordelingen
(for eksempel kap. 24.8 i Kreyszig eller i kap. 7.8 i Adams),
og lag en pythonfunksjon som tar inn $a$ og $b$ 
og returnerer $P(a<Z<b)$ ved riemannsummer. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.17]{../../elsyspiloten/figurer/img1321}
\end{center}

Definisjonen på integral går omtrent slik: 

\begin{tcolorbox}[title=Integralet]
En {partisjon} $P$ av intervallet $[a,b]$, 
er en endelig punktmengde som deler intervallet i mindre biter.
Delingspunktene kaller vi $x_i$, 
der $x_0=a<x_1<\cdots < x_{n-1}< x_n=b$.
La $f$ være en begrenset funksjon, 
og $P$ en partisjon av intervallet $[a,b]$.
La 
\[
m_i=\min_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)
\qquad \text{og} \quad
M_i=\max_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x).
\]
Den øvre og nedre riemannsummen til $f$ på partisjonen $P$ er henholdsvis:
\[
U(P)=\sum_{n=1}^{n} (x_{i}-x_{i-1})M_i
\quad \text{og} \quad
L(P)=\sum_{n=1}^{n} (x_{i}-x_{i-1})m_i
\]
Dersom det for enhver $\epsilon>0$
finnes en partisjon
$P$ av intervallet $[a,b]$
slik at 
\[
U(P)-L(P)<\epsilon,
\]
sier vi at $f$ er integrerbar.
\end{tcolorbox}

En riemannsum er et histogram,
og dersom $f$ er integrerbar,
går histogrammets totale areal mot integralet til $f$ på $[a,b]$ 
når partisjonen blir finere.
Integrerbarhet betyr bare at arealet under grafen er veldefinert;
hvorvidt funksjonen er mulig å antiderivere, 
er irrelevant. 
Normalfordelingsfunksjonen $e^{-x^2}$ er integrerbar selv om den ikke har noen pen antiderivert.


Hvis du leser definisjonen over nøye, 
ser du at riemannsummene vi bruker til å definere integralet er ute etter maksverdiene på hvert delintervall.
I praktisk bruk av riemannsummer er det enklere å bruke noe som kalles høyre og venstre riemannsum:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum#Some_specific_types_of_Riemann_sums}


\begin{oppgave}{6}
Tegn og forklar til en kamerat hva høyre og venstre riemannsum er for noe.
\end{oppgave}


Fordelen med høyre og venstre riemannsum er at gjennomsnittet av dem blir 
en mye bedre integrasjonsmetode som kalles trapesmetoden:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoidal_rule} 

\begin{oppgave}{7}
Modifiser koden du skrev i oppgave 5 til å bruke trapesmetoden istedet for riemannsummer. 
\end{oppgave}

\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{8}
Finn en tilnærming til 
\[
\int_0^\pi \text{sinc}(x)\;dx \approx 1.85193705196
\]
ved å bruke både riemannsummer og trapesmetoden.
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function}}
Sammenlikne nøyaktigheten mellom metodene når du bruker samme $h$.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\hspace{1mm}
\includegraphics[scale=.15]{../../elsyspiloten/figurer/L1003340}
\end{minipage}

Når man lærer om integralet første gang, 
er det hensiktsmessig å fokusere på areal, 
for dette er ikke verre enn at Arkimedes klarte å beregne kompliserte areal for over to tusen år siden. 
Man trenger bare barneskolegeometri (arealet av et rektangel) og en litt komplisert grenseverdiprosess, 
og vips så er man i mål. 
Men integralets styrke består i at arealet til de små rektanglene i histogrammet ikke trenger å representere areal. 
All mat blir bedre med ketsjup. 
Slik er det også med integralet:

\begin{tcolorbox}
INTEGRALET KAN BRUKES TIL ALT.
\end{tcolorbox}


Hvis du skjønner dette og  riemannsummer og  tar en titt på disse figurene 

\begin{minipage}{8cm}
    \begin{tikzpicture}[thick]

      \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]

          \draw[->] (0,0) -- (6,0);% node[right]{$x$};
   %      \draw[->] (0,0) -- (0,4);% node[above]{$t$};

             \draw[|<->|] (1.7,1.5+.1*4) --
        node[midway,fill=white,font=\scriptsize]{$h\sqrt{1+(f'(x))^2}$} (3.7,1.5+.1*16);

\draw[blue, thick] (0,1) --  (2,1+.1*4) --  (4,1+.1*16) --  (6,1+.1*36)  ;
\draw[red, thick] (2,1+.1*4) --  (4,1+.1*4) --  (4,1+.1*16)  ;

%           \node[below] at (3,1.4){$h$};
%           \node[right] at (4.3,2){$f'(x)h$};
             \draw[|<->|] (4.5,1+.1*4) --
        node[midway,fill=white,font=\scriptsize]{$f'(x)h$} (4.5,1+.1*16);
             \draw[|<->|] (2,1) --
        node[midway,fill=white,font=\scriptsize]{$h$} (4,1);



           \node[below] at (2,0){$x$};
            \node[below] at (4,0){$x+h$};
%           \node[above] at (2,-.7){$b$};
   \draw plot[domain=0:6,samples=200] (\x,{1+.1*\x*\x)}); 
       \end{scope}
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=.17]{../../elsyspiloten/figurer/buelengde.jpg}
\end{figure}
\end{minipage}

vil du kanskje se at 
\begin{tcolorbox}[title=Buelengde]
Lengden av grafen til $f$ fra $(a,f(a))$ til $\left(b,f(b)\right)$ er 
    \[
    \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx
    \]
\end{tcolorbox}
    
\begin{oppgave}{9}
Finn buelengden til $y=x^{3/2}$ fra $x=0$ til $x=1$.\\
(Denne går med et nødskrik med penn og papir.)
\end{oppgave}

Likningen for en sirkel
\[
x^2+y^2=r^2
\quad 
\text{eller}
\quad
\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1
\]
om du vil.
En generalisering av denne er likningen for en ellipse:
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\]
Punktene som passer i denne likningen ligger på en ellipse som er sentrert i origo og har halvakser $a$ og $b$. 
Planetene går stort sett rundt solen i ellipsebaner:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse}

\begin{oppgave}{10}
Finn omkretsen av en ellipse med halvakser 1 og 2. \\
(Denne går ikke med penn og papir. 
Prøv både riemannsummer og trapesmetoden.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Finn lengden av en periode av sinuskurven.
(Dette integralet kan heller ikke beregnes analytisk.)
\end{oppgave}

Hvis du har skjønt riemannsumtankegangen og at integralet kan brukes til alt,
ser du kanskje at 

\begin{tcolorbox}[title=Omdreiningslegeme]
Volumet av omdreiningslegemet som fremkommer ved å dreie 
 $f:[a,b]\to \mathbb R$ gitt ved $f(x)$ en gang om $x$-aksen,
    \[
   \pi \int_a^b f^2(x)  \; dx
    \]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{12}
Drei litt på en bit av sinusfunksjonen,
for eksempel mellom to av nullpunktene,
og finn volumet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{13}
Klarer du å vise at volumet til en kule med radius $r$ er $\frac{4\pi}{3}r^3$?
\end{oppgave}

Nå er vi for øvrig i en posisjon til å forklare følgende oppgave:

\begin{oppgave}{14}
Løs Newtons avkjølingsproblem
\[
\dot{T}+T-2=0 \hspace{20mm} T(0)=\frac{1}{10}
\]
med Eulers ekspisitte metode
\[
T_{n+1}=T_n+h(2-T_n)
\]
og med trapesmetoden 
\[
T_{n+1}=T_n+\frac{h}{2}(2-T_n+2-T_{n+1})
\]
og plott begge i samme plott som den analytiske løsningen 
\[
T(t)=2-\frac{19}{10}e^{-t}.
\]
Bruk et litt grovt tidssteg,
for eksempel $h=0.1$. 
Kan du forklare hvorfor trapesmetoden approksimerer 
den analytiske løsningen mye bedre enn Eulers eksplisitte metode?
\end{oppgave}

Trikset er nå å ta differensiallikningen 
\[
\dot x = f(x)
\]
integrere
\[
x(t_{n+1})-x(t_n)=\int_{t_n}^{t_{n+1}} \dot x\; dt = \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(x)\; dt
\]
Dersom vi setter inn approksimasjonene $x_n \approx x(t_n)$ og $x_{n+1} \approx x(t_{n+1})$ 
på venstre side og approksimerer integralet på høyre side med forskjellige numeriske integrasjonsmetoder,
får vi 
\begin{align*}
\text{Euler eksplisitt:}\quad  &x_{n+1}=x_n+hf(x_n) \\[3mm] 
\text{Euler implisitt:}\quad  &x_{n+1}=x_n+hf(x_{n+1}) \\ 
\text{Trapesmetoden:}\quad  &x_{n+1}=x_n+\frac{h}{2}\left(f(x_n)+f(x_{n+1})\right) 
\end{align*}

\begin{oppgave}{15}
Ser du hvilken numerisk integrasjonsmetode korresponderer med de tre metodene?
Hvorfor tror du trapesmetoden er mer nøyaktig enn de to andre?
\end{oppgave}



Viggo Brun 
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Viggo_Brun}} skal ha sagt:
\begin{tcolorbox}
Derivasjon er et håndverk, integrasjon er en kunst!
\end{tcolorbox}

Det han mente å si, 
var nok at derivasjon er ganske lett (det er bare å bruke noen regneregler),
mens antiderivasjon kan være ganske vanskelig. 
Et tilforlatelig funksjonsuttrykk kan være enten lett eller vanskelig eller fullstendig håpløst å antiderivere,
og det er ofte umulig å avgjøre hvilken av disse som er tilfellet før man har prøvd å antiderivere.
Kanskje er det til og med lett, 
men man kan ikke akkurat det trikset som må brukes.
Man kan bruke et liv på å trene på antiderivasjon.
Hvis jeg vil lage en integrasjonsoppgave på eksamen som ingen studenter får til, 
er det bare å gi

\begin{oppgave}{16}
Finn  
\[
\int \frac{\log \cos x}{\sin 2x} \; dx
\]
\end{oppgave}

Så moralen er: 
det som er viktig å skjønne med integralet, 
er hva det betyr. 

\begin{tcolorbox}
Integralet betyr å summere opp noe. 
\end{tcolorbox}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../../elsyspiloten/figurer/L1003283}
\end{center}

\section*{UKENS KJEMI}

\begin{minipage}{13cm}
Når man jobber med den kvantemekaniske harmoniske oscillatoren:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator}\\
støter man på en situasjon der man må finne arealet under kurven $y=e^{-ax^2}$ og utenfor $y=bx^2$, 
der $a>0$ og $b>0$ er konstanter.
\end{minipage} 
\begin{minipage}{4cm}
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]
      \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
%\filldraw[orange, thick] (0,0) -- (.2,.01) -- (.5,.06) -- (.7,.16) -- (1,.3) -- (1.5,.71) -- (2,1.3)  -- (2,0) -- cycle;
          \draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$x$};
         \draw[->] (0,0) -- (0,1.5);% node[above]{$t$};
\draw[scale=1,domain=-1.3:1.3,smooth,variable=\x,black,thick] 
plot ({\x},{1-(\x*\x)+.5*(\x*\x*\x*\x)-0.16666666666666666*(\x*\x*\x*\x*\x*\x)+0.0416666666666666666*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x)
-0.008333333333333333*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x
+0.001388888888888889*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x)});
      \draw[scale=1,domain=-1.3:1.3,smooth,variable=\x,black,thick] plot ({\x},{(\x*\x)});
       \end{scope}
    \end{tikzpicture}
 \end{center}
\end{minipage} 

\begin{oppgave}{1}
Finn skjæringspunktene mellom de to kurvene.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Lag en funksjon som tar inn $a$ og $b$, 
og beregner en tilnærming til arealet.\\
(Her må du antagelig vite at  
\[
\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} \; dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}},
\]
men hvordan man ser dette må vi vente med til et senere semester.)
\end{oppgave}

Vegard har også laget en oppgave om integralet og Schrödingerlikningen, 
se oppgave 4.1 her:\\
\url{https://folk.ntnu.no/vegargje/Mattepilot_MTKJ/martaoppgaver.pdf}

\section*{UKENS ELEKTROTEKNIKK}

Integralet er en summeringsprosess.
Vi kan summere opp mange ting som ikke er areal.
For eksempel kan basen i riemannsumhistogrammet være et tidsintervall på $t$-aksen, 
også kan $x(t)$ angi strømstyrke som funksjon av tiden. 
I så fall blir $x(t)h$ litt ladning, 
og 
\[
\sum x(t)h \to \int_a^b x(t)\; dt
\]
blir total ladning mellom tidspunktene $t=a$ og $t=b$.


La oss si at spenningskilden har stått på en god stund slik at kondensatoren blir ladet opp, 
og så blir spenningskilden slått av ved $t=0$ slik at $i(0)=1$. 

\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v(t)$] (0,1);
		\draw (0,3) to (2,3) to [C=1$F$] (4,3) to  (6,3) to [R=1$\Omega$] (6,1) to (0,1);
%		\draw (2,3) to (2,1);
	\end{circuitikz}	
\end{center}

\begin{oppgave}{1}
Hvor mye ladning har passert gjennom motstanden når kondensatoren er utladet?
\end{oppgave}


Kretsen under er en dårlig frekvensfordobler.

\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v(t)$] (0,1);
		\draw (0,3) to [D ] (2,3) to [C] (4,3) to [cute inductor] (6,3) to [R] (6,1) to (0,1);
	\end{circuitikz}	
\end{center}

\begin{oppgave}{2}
Samme her, 
anta at $i(0)=1$ etter at spenningskilden er slått av. 
Hvor mye ladning har passert gjennom motstanden når kondensatoren er utladet?
\end{oppgave}


\section*{UKENS REGULERING}

Den enkleste numeriske metoden for å løse en differensiallikning 
\[
\dot x = f(x)
\]
numerisk,
er Eulers eksplisitte metode
\[
x_{n+1}=x_n+hf(x_n).
\]
Men det finnes tusenvis av varianter og forbedringer, 
for eksempel Runge-Kutta-metoder:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Runge–Kutta_methods}\\
flerstegsmetoder:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method}\\
og mer avanserte metoder:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group_integrator}

I Simulink kan man velge mellom en haug av disse metodene, 
og man kan spørre seg hvorfor det er så mange. 
En klassisk metode som kalles Heuns metode fåes ved å sette inn et eksplisitt eulersteg
som approksimasjon til $x_{n+1}$ på høyre side i trapesmetoden.

\begin{oppgave}{1}
Gjør dette og utled uttrykket for Heuns metode.
\end{oppgave}

En av de absolutt mest klassiske metodene er RK4, 
se Runge-Kutta-lenken over.
Den er konstruert på en liknende måte som Heun. 
Man lager først en implisitt metode basert på 
Simpsons integrasjonsregel:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule}\\
og så approksimerer man de implisitte verdiene i likningen 
på liknende vis som i Heun. 

\begin{oppgave}{2}
Test RK4 på oppgave 14 over. 
Hva ser du?
\end{oppgave}

\section*{UKENS NØTTER}

\begin{oppgave}{1}
Du kan prøve å vise at 
\[
\int_0^\infty \frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda k T}-1}=\frac{2\pi^5k^4}{15c^2h^3}T^4
\]
men da skal du nok få svette ganske bra. 
Du må også lære deg en del ting som kommer i TMA4106.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Et eksempel på en funksjon som faktisk ikke er integrerbar, 
er 
\[
f(x)=\begin{cases} 1 \quad \text{rasjonale}\; x \\ 0 \quad \text{irrasjonale}\; x \end{cases}
\]
Forklar hvorfor.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{3}
Vis at arealet til en ellipse med halvakser $a$ og $b$ er $\pi ab$.\\
(Denne går an med penn og papir.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Hva med $(1+x^2)^{1/3}$ da,
klarer du å antiderivere den?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{5}
Regn ut det ubestemte integralet 
\[
\int \frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}\; dx.
\]
\end{oppgave}

Det finnes en type integral som dere ikke ser på gymnaset,
kalt \textbf{uegentlige integraler}. 
Dette er integraler der den ene integrasjonsgrensen er $\infty$ 
eller integraler der integranden blåser opp et eller annet sted i integrasjonsområdet,
for eksempel 
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\dee x = 1
\]
eller 
\[
\int_0^1 \frac{1}{x^2} = 1
\]



%\section*{Fasit}
%
%\rotatebox[origin=c]{160}{
%1:  $\frac{1}{3}$
%\vspace{-9cm}
%}
%
%
%\rotatebox[origin=c]{160}{
%2:  $\frac{2}{3}$
%\vspace{-9cm}
%}
%
%\rotatebox[origin=c]{160}{
%3:  $\frac{21}{4}$
%\vspace{-9cm}
%}
%
%\rotatebox[origin=c]{160}{
%9: $v(t)=\frac{1-\cos \omega t}{\omega}$. 
%\vspace{-9cm}
%}
%
%
%\rotatebox[origin=c]{160}{
%10: $\frac{e^x}{2}\left(\cos x+ \sin x\right)+C$
%\vspace{-9cm}
%}
%
%\rotatebox[origin=c]{160}{
%12: Bruk KVL og deriver hele likningen. Da får du $i''(t)+\frac{1}{LC}i(t)=0$. Denne løste du på skolen.
%\vspace{-9cm}
%}


\end{document}
