\input{../preambles/preamble}

\title{9 - LINEÆROPERATORER}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

En ung og lovende person som ønsker å bli klok på fysiske modeller,
vil på et eller annet tidspunkt være nødt til å forstå noe som kalles \textbf{superposisjonsprinsippet}:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Superposition_principle}\\
Dette prinsippet forteller deg hvordan du skal te deg når du jobber med en lineær modell.

\textbf{Linæeroperatorer} er for superposisjonsprinsippet omtrent som kanel i en kanelbolle,
som humle i øl eller som hele pepperkorn i fårikål. 
Konseptet kanelbolle blir temmelig meningsløst uten kanel,
men man tenker kanskje ikke så mye over kanelsmaken 
når man har spist mange nok kanelboller.

\begin{oppgave}{0}
Kanel smaker faktisk ingenting. 
Prøv å spise en kanelbolle eller en porsjon risengrynsgrøt mens du holder deg for nesen.
\end{oppgave}

Fikk du til forrige oppgave, 
har du skjønt omtrent hvordan det er å prøve å 
forstå superposisjonsprinsippet uten å først forstå 
hva en lineæroperator er.

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title=Superposisjonsprinsippets mest vesentlige ingrediens]
En lineæroperator $T$ er en funksjon som tilfredsstiller
\begin{align*}
T(a\mathbf x+b\mathbf y)&=aT(\mathbf x)+bT(\mathbf y) 
\end{align*}
for alle vektorer $\mathbf x$ og $\mathbf y$ og alle skalarer $a$ og $b$.
\end{tcolorbox}


Å gange en vektor inn i en matrise er en lineæroperator.
La oss repetere noen oppgaver som illustrerer poenget.
La
\[
A=
\left(\;\begin{matrix}
1 & 2 & 2 \\
2 & 6 & 2 \\
2 & 2 & 6
\end{matrix}\;\right)
\quad \text{og} \quad \mathbf x=
\begin{pmatrix}
1 \\
2  \\
3 
\end{pmatrix}
\quad \text{og} \quad
\mathbf y=
\begin{pmatrix}
4 \\
5  \\
6 
\end{pmatrix}
\]
og
beregn:

\begin{minipage}{17mm}
\begin{oppgave}{1}
$A\mathbf x$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{17mm}
\begin{oppgave}{2}
 $A\mathbf y$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{27mm}
\begin{oppgave}{3}
$A(\mathbf x+\mathbf y)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{27mm}
\begin{oppgave}{4}
$A\mathbf x+A\mathbf y$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{oppgave}{5}
$A(2\mathbf x+3\mathbf y)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{27mm}
\begin{oppgave}{6}
$2A\mathbf x+ 3A\mathbf y$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1019726}
\end{center}

Kjært barn har mange navn, 
og lineæroperator har et par synonymer, 
\textbf{lineærtransform}, 
\textbf{lineærtransformasjon}
og \textbf{lineæravbildning}.  
Derivasjonsoperatoren er også lineær. 
La
\[
D(x)=
\dot x
\quad \text{og} \quad 
y(t)=t^2
\quad \text{og} \quad
z(t)=t
\]
og beregn

\begin{minipage}{19mm}
\begin{oppgave}{7}
$D(y)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{19mm}
\begin{oppgave}{8}
$D(z)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{27mm}
\begin{oppgave}{9}
$D(y+z)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{29mm}
\begin{oppgave}{10}
$D(y)+D(z)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{oppgave}{11}
$D(2y+3z)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{35mm}
\begin{oppgave}{12}
$2D(y)+3D(z)$
\end{oppgave}
\end{minipage}



Vi sier at en differensiallikning er lineær dersom
operatoren der du \say{putter inn løsningen} i likningen er lineær. 
For eksempel er 
\[
\ddot x + b\dot x + cx = 0 
\]
en lineær likning siden 
\[
D(x)=\ddot x + b\dot x + cx 
\]
er en lineæroperator.
\footnote{Følg med i neste bolk for eksempler på ikkelineære differensialoperatorer.}

\begin{oppgave}{13}
Vis at dersom $x$ og $y$ er løsninger av 
\[
\ddot x + b\dot x + cx=0,
\]
er også $ax+by$ en løsning ($a$ og $b$ er skalarer).
\end{oppgave}

Det bestemte integralet er også en lineæroperator.
Finn arealet under grafen til 

\begin{minipage}{70mm}
\begin{oppgave}{14}
$\sin t$ mellom $t=0$ og $t=\pi$ 
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
\begin{oppgave}{15}
$\cos \left(t/2\right)$ mellom $t=0$ og $t=\pi$ 
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{minipage}{30mm}
\quad
\end{minipage}
\begin{minipage}{100mm}
\begin{oppgave}{16}
$2\sin t + 3\cos \left(t/2\right)$ mellom $t=0$ og $t=\pi$ 
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.29]{../figurer/M1010491}
\end{center}




Nå skal vi se litt på en spesiell type vektorer. 
Hvis du henger med på følgende,
vil du kanskje forstå hvorfor det var naturlig å gjette på 
eksponensialfunksjonen som løsning 
til lineære differensiallikningene vi har studert til nå.
La igjen 
\[
A=
\left(\;\begin{matrix}
1 & 2 & 2 \\
2 & 6 & 2 \\
2 & 2 & 6
\end{matrix}\;\right)
\]
og beregn

\begin{minipage}{30mm}
\begin{oppgave}{17}
$
A\left(\;\begin{matrix}
1 \\
2\\
2
\end{matrix}\;\right)
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{oppgave}{18}
$
A\left(\;\begin{matrix}
1 \\
1\\
1
\end{matrix}\;\right)
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{oppgave}{19}
$
A\left(\;\begin{matrix}
0 \\
1\\
-1
\end{matrix}\;\right)
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{oppgave}{20}
$
A\left(\;\begin{matrix}
1 \\
2\\
3
\end{matrix}\;\right)
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{oppgave}{21}
$
A\left(\;\begin{matrix}
4 \\
-1\\
-1
\end{matrix}\;\right)
$
\end{oppgave}
\end{minipage}

og studer resultatene nøye.

\begin{oppgave}{22}
Hva ser du?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.45]{../figurer/img913}
\end{center}



Sjå her:
\[
A=
\left(\;\begin{matrix}
1 & 2 & 2 \\
2 & 6 & 2 \\
2 & 2 & 6
\end{matrix}\;\right)
\left(\;\begin{matrix}
1\\
1\\
1
\end{matrix}\;\right)
=
\left(\;\begin{matrix}
5\\
10\\
10
\end{matrix}\;\right)
\]
Ikke stort å melde om. 
Men hva med denne:
\[
A=
\left(\;\begin{matrix}
1 & 2 & 2 \\
2 & 6 & 2 \\
2 & 2 & 6
\end{matrix}\;\right)
\left(\;\begin{matrix}
1\\
2\\
2
\end{matrix}\;\right)
=
\left(\;\begin{matrix}
9\\
18\\
18
\end{matrix}\;\right)
=
9
\left(\;\begin{matrix}
1\\
2\\
2
\end{matrix}\;\right)
\quad ?
\]
Noen vektorer har den egenskap at når man ganger dem inn i matrisen,
kommer det ut en skalarmultippel av den samme vektoren. 
Dette ser tilforlatelig ut, 
men er utrolig viktig, 
og kalles \textbf{egenvektorer}. 
Den korresponderende skalarmultippelen kalles \textbf{egenverdi},
og det er vanlig å bruke den greske bokstaven $\lambda$ på denne. 
Vi leter altså etter vektorer slik at
\[
A\mathbf x=\lambda \mathbf x.
\]
I eksemplet over er 
\[
\mathbf x=
\left(\;\begin{matrix}
1\\
2\\
2
\end{matrix}\;\right)
\]
og $\lambda=9$. 

\begin{oppgave}{23}
Nå vet du hva du skulle lete etter i forrige oppgave. 
Prøv på nytt om du ikke så det isted.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{24}
Er 
\[
\left(\;\begin{matrix}
2\\
4\\
4
\end{matrix}\;\right)
\]
en egenvektor til $A$?
\end{oppgave}



\begin{center}
\includegraphics[scale=.34]{../figurer/img20220914_14130191}
\end{center}



La oss nå lage en systematisk fremgangsmåte for å finne egenvektorer og egenverdier.
Likningen
\[
A\mathbf x=\lambda \mathbf x.
\]
kan vi skrive om til 
\[
A\mathbf x-\lambda \mathbf x=\mathbf 0
\]
og har vi litt trening i enhetsmatrisen,
ser vi at vi kan faktorisere dette som 
\[
\left(A-\lambda I\right) \mathbf x=\mathbf 0
\]
Nå vet du at dersom kolonnene i $A-\lambda I$ er lineært uavhengige,
har dette problemet entydig løsning, 
nemlig nullvektoren.

\begin{oppgave}{25}
Hvorfor det? 
\end{oppgave}

Nullvektoren vil vi ikke skal klassifisere som egenvektor, 
for hvis den gjorde det, 
ville alle tall klassifisert som egenverdier,
siden likningen 
\[
A\mathbf 0=\lambda \mathbf 0
\]
er sann uansett hva $\lambda$ er. 
Hvis likningen 
\[
A\mathbf x=\lambda \mathbf x
\]
skal ha andre løsninger enn $\mathbf x = \mathbf 0$,
må vi kreve at kolonnene i $A-\lambda I$ er lineært avhengige.
Det er de hvis og bare hvis $\det\left(A-\lambda I\right)=0$. 

\begin{oppgave}{26}
Prøv å finne egenverdiene til matrisen $A$ på denne måten.
Hvor mange egenverdier kan en $3\times 3$-matrise maksimalt ha?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.37]{../figurer/3N5F6835}
\end{center}

Slik skjer det: Vi beregner
\begin{align*}
\det\left(A-\lambda I\right) &= 
\det
\left(\;\begin{matrix}
1-\lambda & 2 & 2 \\
2 & 6-\lambda & 2 \\
2 & 2 & 6-\lambda
\end{matrix}\;\right)
\\
&=(1-\lambda)\left((6-\lambda)^2-4\right) \\
&-2\left(2(6-\lambda)-4\right) \\
&+2\left(4-2(6-\lambda)-4\right) \\
&=\lambda^3-13\lambda^2+36\lambda\\
&=\lambda(\lambda-4)(\lambda-9)
\end{align*}
slik at $\lambda_1=0$, $\lambda_2=4$ og $\lambda_3=9$ er de tre egenverdiene.
Polynomet $p(\lambda)=\lambda(\lambda-4)(\lambda-9)$ kalles matrisens \textbf{karakteristiske polynom}.
Husk nå at algebraens fundamentalteorem sier at et polynom
\[
p(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0
\]
kan alltid faktoriseres
\[
p(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=\prod_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i),
\]
 der 
 der $\lambda_i \in \mathbb C$ er løsninger av likningen
\[
\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0.
\]
Det karakteristiske polynomet har alltid orden $n$.
På folkemunne sier vi gjerne at en matrise alltid har \say{n} egenverdier,
men dette fordrer at du teller på riktig måte. 
Du må telle antall lineære faktorer i det karakteristiske polynomet.
\footnote{Det er ikke nødvendigvis enkelt å finne egenverdiene bare fordi de finnes. 
Niels Henrik Abel beviste i 1824 at det finnes ingen generell formel for å løse polynomlikninger med høyere orden enn 5:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem}}

\begin{oppgave}{27}
Finn egenverdiene til 
\[
B=
\left(\;\begin{matrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{matrix}\;\right)
\]
Hint: Å faktorisere et tredjeordens polynom er \say{trivielt} i den forstand at det finnes en formel:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#General_cubic_formula}.\\
Men det er ikke trivielt å huske formelen. 
Prøv heller numpy:\\
\url{https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.eig.html}\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=.9]{../figurer/balchen}
\end{center}
\end{oppgave}

Når vi har funnet egenverdiene, 
kan vi finne egenvektorene ved å løse likningen
\[
\left(A-\lambda_k I\right) \mathbf x=\mathbf 0
\]
For eksempel er egenvektoren til $\lambda_2=4$ gitt ved alle skalarmultipler av 
\[
\left(\;\begin{matrix}
0\\
-1\\
1
\end{matrix}\;\right)
\]
siden 
\[
\begin{amatrix}{3}
1-4 & 2 & 2 & 0 \\
2 & 6-4 & 2 & 0\\
2 & 2 & 6-4& 0
\end{amatrix}
\sim
\begin{amatrix}{3}
-3 & 2 & 2 & 0 \\
5 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0& 0
\end{amatrix}
\]
De andre finnes på samme måte. 

\begin{oppgave}{28}
Finn egenvektorene til matrisene $A$ og $B$ over.
Hvis vil ha fasit,
kan du bruke np.linalg.eig.
\end{oppgave}

Alle skalarmultipler (unntatt nullvektoren) av en egenvektor er også egenvektorer.
Derfor er det vanlig å definere noe som kalles egenrommet til en egenverdi - 
dette er alle egenverdiens egenvektorer samt nullvektoren.

Nå er vi frem kommet til rosinen i pølsen,
eller kanskje kanelen i kanelbollen. 
Også andre lineæroperatorer enn matriser kan ha egenvektorer.

\begin{oppgave}{29}
Hva er egenvektor eller egenfunksjon om du vil til derivasjonsoperatoren
\[
D(x)=\dot x \quad ?
\]
(Hint: du kjenner den godt.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{30}
Skjønner du hvorfor det var lurt å gjette på denne funksjonen når du skulle finne løsninger til 
\[
\ddot x + b\dot x + cx = 0 \quad ?
\]
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1004774}
\end{center}




\section*{UKENS NØTTER}

\begin{oppgave}{0}
Prøv å spise en teskje med kanel.
\end{oppgave}
%\section*{EKSAMENSOPPGAVER}
%
%\begin{oppgave}{1}
%Skriv opp definisjonen på egenvektor og vis at eksponensialfunksjonen er 
%en egenvektor til derivasjonsoperatoren. 
%\end{oppgave}
%
%\begin{oppgave}{2}
%Forklar hva  diagonalisering er,
%og diagonaliser en valgfri $3\times 3$-matrise.
%\end{oppgave}

\end{document}
