\input{preamble}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\title{12 -  ANALYSENS FUNDAMENTALTEOREM}
%    kardioide s 437 kreyszig


\maketitle


Arbeidet en kraft $f$ gjør på noe som reiser langs 
kurven $\Gamma$ parametrisert ved $x: [a,b] \to \mathbb{R}^2$,
får vi ved å prikke med enhetstangentvektoren til $\Gamma$ og linjeintegrere:
\begin{align*}
	\int_\Gamma f \cdot ds = 
	\int_a^b f(x(t))\cdot T(t)|\dot x(t)|\; dt = 
	\int_a^b f_1(x(t))\dot x_1(t) + f_2(x(t))\dot x_2(t) \; dt 
\end{align*}
Husk ellers definisjonen av partiellderivert:\\[-4mm]
\begin{align*}
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2} =
	\lim_{h_2\to 0}\frac{f_1(x_1,x_2+h_2)-f_1(x_1,x_2)}{h_2}
\end{align*}
Det må være klart at dersom $f$ er kraft, 
får de partiellderiverte benevning kraft per meter.
I statikken som byggingeniørene lærer kalles kombinasjonen av 
$f_1(x_1,x_2+h_2)$ og $f_1(x_1,x_2)$ et \textbf{kraftpar}.
Dette skal vi bruke til å tolke de partiellderiverte i 
jacobimatrisen til $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$:
\begin{align*}
	f'
	=
	\left( \;
	\begin{matrix}
		\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\[3mm]
		\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}
	\end{matrix}
	\; \right)  
\end{align*}

\begin{oppgave}{1}
	Anta du har et bitte lite kvadrat med hjørner i 
	$(x_1 \pm h,x_2 \pm h)^T$. 
	Anta kraften omtrent konstant på hver av sidekantene og 
	finn det totale arbeidet $f$ gjør på en partikkel som reiser 
	én gang rundt kanten. 
\end{oppgave} 

Analysens fundamentalteorem kommer i mange flere varianter enn den 
du lærte på skolen. 
I denne økten skal vi ta unna en variant som heter \textbf{Greens teorem}.
Den kommer i to ekvivalente versjoner.
La oss studere uttrykket
\begin{align*}
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1} -
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2}.\\[-7mm]
\end{align*}

\begin{oppgave}{2}
	Hvis kvadratet i oppgaven over
	hadde vært basen i en todimensjonal riemannsumskyskraper,
	hva er volumet? 
	Hva er sammenhengen mellom dette volumet og 
	arbeidet du fant?
\end{oppgave} 

\begin{center}
	\includegraphics[scale=.24]{../figurer/L1002195}
\end{center}

\clearpage

Gjorde du forrige side sånn nogenlunde, 
kom du frem til at volumet under 
\begin{align*}
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1} -
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
\end{align*}
på et lite område gir deg arbeidet $f$ gjør på en partikkel som 
reiser rundt kanten av området. 
Greens teorem sier at volumet under den 
på $\Omega$ gir deg arbeidet rundt $\partial \Omega$: 
\begin{align*}
	\iint_\Omega 
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1} -
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
	=
	\int_{\partial \Omega} f \cdot ds
\end{align*}
Her er det selvfølgelig masse betingelser - 
$\partial \Omega$ må være stykkevis glatt, 
enkeltsammenhengende og 
traversert mot klokken, 
og kraftfeltet $f$ må ha 
kontinuerlige partiellderiverte på en åpen 
omegn som inneholder $\partial \Omega$. 
Alt dette står i Arnes bok om du er interessert.


\begin{oppgave}{3}
	En bortadgående laminær vannstrøm utøver en kraft 
	gitt ved 
	\begin{align*}
		f(x) = 
		\left( \;
		\begin{matrix}
			x_2 \\
			0
		\end{matrix}
		\; \right).
	\end{align*}
	Finn det totale arbeidet kraften gjør på noe som reiser langs 
	én gang rundt en sirkel sentrert i $(1,1)^T$ med radius 1. 
	Regn ut arbeidet både direkte og med Greens teorem og dobbeltsjekk at 
	du får det samme svaret. 
\end{oppgave} 

Den laminære vannstrømmen over gir oss faktisk et lurt triks for å 
beregne arealet av $\Omega$.

\begin{oppgave}{4}
	Bruk Greens teorem til å vise at arealet av $\Omega$ er 
	\begin{align*}
		\int_a^b x_1(t)\dot x_2(t)\; dt
	\end{align*}
	dersom $x: [a,b] \to \mathbb{R}^2$ parametriserer $\partial \Omega$ mot klokken. 
	Finn arealet omsluttet av \textbf{asteroiden} $x(t) = (\cos^3 t, \sin^3 t)^T$.
\end{oppgave} 


\begin{center}
	\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1006258}
\end{center}

\clearpage 

I begynnelsen er det ikke så godt å huske om arbeidet per areal er gitt ved 
\begin{align*}
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1} -
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
	\hspace*{10mm}
	\text{eller}
	\hspace*{10mm}
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2} -
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1}
\end{align*}
og det er bare konvensjon som gjør at Greens teorem skrives opp med den første og ikke den andre. 
Derfor skal vi begynne å bruke $\nabla$-operatoren til å lage noen enkle huskeregler. 
Da må vi først ta et gjensyn med en gammel fiende - \textbf{kryssproduktet}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product}
}

\begin{oppgave}{5}
	Kryssproduktet mellom to vektorer $x$ og $y$ kan skrives som et matrise-vektorprodukt
	\begin{align*}
		y\times x = Sx.
	\end{align*}
	der $S \in \mathbb{R}^{3\times 3}$.
	Hva blir $S$?
\end{oppgave}

Matrisen $S$ er lett å huske, 
og gir oss derfor den mest praktiske formelen for kryssproduktet. 
Vi skal få god nytte av denne matrisen dette året. 
Nå skal vi sette inn $\nabla$ for $y$ og definere 
\textbf{rotasjonen}\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)}
} 
til $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$:\\[-8mm]
\begin{align*}
	\nabla \times f =
	\left(\;
	\begin{matrix}
		\displaystyle 0 & -\displaystyle\frac{\partial }{\partial x_3} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial x_2}\\[4mm]
		\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_3} & 0 & -\displaystyle\frac{\partial }{\partial x_1}\\[4mm]
		\displaystyle -\frac{\partial }{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial x_1} & 0 \\[4mm]
	\end{matrix}
	\;\right)
	\left(\;
	\begin{matrix}
		f_1\\[4mm]
		f_2\\[4mm]
		f_3
	\end{matrix}
	\;\right)
	=
	\left(\;
	\begin{matrix}
		\displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3}\\[4mm]
		\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1}\\[4mm]
		\displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
	\end{matrix}
	\;\right)
\end{align*}
Hvis du ser nøye på denne, 
ser du at tredjekomponten er innmaten i dobbeltintegralet i Greens teorem.\footnote{
	Dette er ikke tilfeldig - Greens teorem er et 
	spesialtilfelle av en tredimensjonal variant som kalles Stokes' teorem:\\
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes\%27_theorem}\\
	Dette kommer vi tilbake til. 
}
Vi tenker derfor på uttrykket\\[-4mm]
\begin{align*}
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1} -
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
\end{align*}
som rotasjonen til vektorfeltet\\[-8mm]
\begin{align*}
	f(x_1,x_2)=
	\left(\;
	\begin{matrix}
		f_1(x_1,x_2)\\[1mm]
		f_2(x_1,x_2)\\[1mm]
		0
	\end{matrix}
	\;\right).
\end{align*}
og dette er underforstått slik at vi kan skrive $\nabla \times f$ uansett om $f$ er en funksjon fra 
$\mathbb{R}^2$
til 
$\mathbb{R}^2$
eller en funksjon fra 
$\mathbb{R}^3$
til
$\mathbb{R}^3$.
I førstnevnte tilfelle tenker nok mange på 
rotasjonen som en skalar
siden $\nabla \times f$ alltid er parallell med $x_3$-aksen. 
Dette kommer vi tilbake til i TMA4121.

\begin{minipage}{70mm}
	\begin{oppgave}{6}
		polarkoordinattransformasjonen. 
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
	\begin{oppgave}{7}
		det elektriske feltet fra en punktladning. 
	\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{8}
	den laminære vannstrømmen $f(x) = (x_3,0,0)^T$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
	det meningsløse vektorfeltet $f(x) = (x_2,x_3,x_1)^T$ fra forrige eksamen i TMA4121.
\end{oppgave}

\begin{minipage}{60mm}
	\begin{oppgave}{10}
		et konservativt vektorfelt.
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
	\begin{oppgave}{11}
		$Ax$ der $A\in \mathbb{R}^{3\times 3}$.
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{70mm}
	\begin{oppgave}{12}
		$Ax$ der $A$ er symmetrisk.  
	\end{oppgave}
\end{minipage}

\clearpage 

I økt 3-1 satte vi opp enhetstangent- 
og enhetsnormalvektor til en kurve $\Gamma$, 
og i økt 3-5 fant vi arbeidet en kraft gjør på noe som 
reiser langs $\Gamma$ ved å prikke kraften med enhetstangenten og linjeintegrere.
I forrige økt koblet vi dette integralet på rotasjonen til et vektorfelt. 
Nå skal vi se hva som skjer når vi prikker med normalvektoren istedet for tangentvektoren, 
og koble dette på divergensen til vektorfeltet. 
Det leder til en annen versjon av Greens teorem. 


\begin{oppgave}{1}
	Du står i en elv med vadebukser. 
	Elven har konstant dybde på én meter,
	og elvens fart i meter per sekund er gitt ved $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$. 
	Du har en kurve $\Gamma$ parametrisert ved $x: [a,b] \to \mathbb{R}^2$
	og du lurer på hvor mye vann som krysser denne kurven per tidsenhet. 
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.44]{../figurer/img797}\end{center}


\clearpage 

\textbf{Fluksen}\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Flux}
} 
til vektorfeltet $f$ over $\Gamma$ 
får vi ved å prikke med enhetsnormalvektoren og integrere: 
\begin{align*}
	\int_\Gamma f\cdot N ds = 
	\int_a^b f(x(t)) \cdot N(t)|\dot x(t)|\; dt =
	\int_a^b f_1(x(t))\dot x_2(t) - f_2(x(t))\dot x_1(t) \; dt 
\end{align*}
Men her må vi være litt forsiktige. 
I økt 3-1 satte vi opp normalvektoren som den deriverte av enhetstangenten. 
Grunnen til dette er at 
retningen til normalvektoren forteller hvilken vei kurven krummer og lengden gir oss om kurvens krumning. 

\begin{oppgave}{2}
	Regn ut normalvektoren til $x: [0,2\pi] \to \mathbb{R}^3$ gitt ved
	\begin{align*}
		x(t)= 
		\begin{pmatrix}
			t \\
			\sin t \\
			0
		\end{pmatrix}
	\end{align*}
	og forklar hvorfor vi må være forsiktige med å bruke denne definisjonen av normalvektor i fluksintegralet.
\end{oppgave}

Derfor er vi nødt til å innføre litt ny notasjon. 
Det er vanlig å skrive 
\begin{align*}
	e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \hspace*{10mm}
	e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \hspace*{10mm}
	e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} 
\end{align*}
for standardbasisen i $\mathbb{R}^3$,
og dette skal vi gjøre.
I tråd med denne konvensjonen setter vi $e_n$ til å bety 
\textbf{enhetsnormalvektoren ut fra} $\partial \Omega$. 
Dersom $\Omega \in \mathbb{R}^2$ må vi altså være litt forsiktige med hvordan denne beregnes. 
Det finnes en tilsvarende formel for utnormalvektoren til flater i $\mathbb{R}^3$, 
dette kommer vi tilbake til i økt 3-12. 

\begin{oppgave}{3}
	Finn $e_n$ når $\Omega$ er enhetssirkelskiven i $\mathbb{R}^2$. 
	Hva om $\Omega$ er en ellipse istedet? Enhetskulen i $\mathbb{R}^3$?
\end{oppgave} 


\begin{center}
	\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1006256}
\end{center}

\clearpage

Divergensen 
\begin{align*}
	\nabla \cdot f = 
	\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + 
	\frac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{align*}
gjør en liknende jobb for 
fluksen som rotasjonen gjør for arbeidet. 

\begin{oppgave}{4}
	Ta rektangelet fra forrige økt og anta 
	finn sånn omtrent den totale fluksen ut av rektangelet.
\end{oppgave} 


Divergensen er et mål på hvor mye vektorfeltet ekspanderer i hvert punkt,
og Greens teorem kan også formuleres som at 
volumet under divergensen til $f$ på $\Omega$ 
skal være lik $f$ sin fluks ut av $\partial \Omega$: 
\begin{align*}
	\iint_\Omega 
	\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + 
	\frac{\partial f_2}{\partial x_2}
	=
	\int_{\partial \Omega} f \cdot e_n ds
\end{align*}

\begin{oppgave}{5}
	En bortadgående laminær vannstrøm 
	har hastighet gitt ved
	\begin{align*}
		f(x) = 
		\left( \;
		\begin{matrix}
			x_2 \\
			0
		\end{matrix}
		\; \right).
	\end{align*}
	Finn den totale fluksen ut av  
	sirkelen sentrert i $(1,1)^T$ med radius 1. 
	Regn ut fluksen både direkte og med Greens teorem og dobbeltsjekk at 
	du får det samme svaret. 
\end{oppgave} 


Dersom divergensen til $f$ er null overalt, 
sier vi at $f$ er \text{divergensfritt}. 
Det skjer i den virkelige verden dersom 
$f$ er en inkompressibel væske. 
Vann er for eksempel så og si inkompressibelt, 
mens gass er alt annet enn inkompressibelt. 

\begin{oppgave}{6}
	En viktig klasse skalarfelter 
	har divergensfritt gradientfelt. 
	Hva slags skalarfelter er dette?
\end{oppgave} 

Dersom rotasjonen til $t$ er null, 
sier vi at $f$ er
\textbf{rotasjonsfritt}.
Gravitasjonskraften og coloumbkraften 
er begge rotasjonsfrie.

\begin{oppgave}{7}
	Vis at et konservativt vektorfelt er rotasjonsfritt. 
\end{oppgave} 

\begin{center}
	\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1002183}
\end{center}

\end{document}