\input{preamble}

\title{13 - NABLAOPERATOREN}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Jacobimatrisen til $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ er\\[-8mm]
\begin{align*}
 f'
=
\frac{\partial f}{\partial x}
=
\left( \;
\begin{matrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\[3mm]
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\[3mm]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[3mm]
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\
\end{matrix}
\; \right).
\end{align*}
Fordelen med denne er at mange formler du 
lærte på skolen, 
for eksempel kjerneregelen
\[
	\frac{d}{dx}f(g(x))=  g'\left( f \left( x \right) \right)   f'\left( x \right)
\]
eller ettpunktsformelen 
\begin{align*}
	p(s) = f(x) + f'(x)(s-x)
\end{align*}
er identiske for funksjoner fra 
$\mathbb{R}^m$
til 
$\mathbb{R}^n$
så lenge du tolker produktene som matriseprodukter.
\textbf{Gradienten}\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient}
} 
til skalarfeltet $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ 
skrives\\[-8mm]
\begin{align*}
	\nabla f= 
    \left( \;
    \begin{matrix}
	\frac{\partial f}{\partial x_1} \\[2mm]
	\frac{\partial f}{\partial x_2}\\[2mm]
	\frac{\partial f}{\partial x_3}
    \end{matrix}
    \; \right)
\end{align*}
og tar vi gradienten på $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$,
mener vi den transponerte av jacobimatrisen.
\begin{comment}
\[
	\nabla f= 
	\left( \;
    %\begin{matrix}
	   % \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_3}\\[3mm]
	   % \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_3}\\[3mm]
	   % \displaystyle \frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_3}
    %\end{matrix}
    \begin{matrix}
	    \nabla f_1, 
	    \nabla f_2, 
	    \nabla f_3
    \end{matrix}
	\;\right)
    =
    \left( \;
    \begin{matrix}
    \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_3}{\partial x_1} \\[3mm]
    \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \frac{\partial f_3}{\partial x_2} \\[3mm]
    \frac{\partial f_1}{\partial x_3} & \frac{\partial f_2}{\partial x_3}& \frac{\partial f_3}{\partial x_3} \\
    \end{matrix}
    \; \right)
\]
\end{comment}
Nablasymbolet alene  kalles en \textbf{operator}:\footnote{
    I funksjonalanalyse er de veldig opptatt av om operatoren er glatt.\\ 
    (\url{https://www.youtube.com/watch?v=4TYv2PhG89A}).
}\\[-8mm]
\begin{align*}
	\nabla = 
    \left( \;
    \begin{matrix}
	\frac{\partial }{\partial x_1} \\[2mm]
	\frac{\partial }{\partial x_2}\\[2mm]
	\frac{\partial }{\partial x_3}
    \end{matrix}
    \; \right)
\end{align*}
Fordelen med tenke på nablaoperatoren som en operator er at den kan settes sammen med prikk- og kryssproduktet.

\begin{oppgave}{0}
    La $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$. Finn $\nabla \cdot f$ og 
    $\nabla \times f$.
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019970}\end{center}

\clearpage

\textbf{Divergensen}\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence}
} 
til et vektorfelt er sporet\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)}
} 
til jacobimatrisen:
\[
\nabla \cdot   f = \frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\frac{\partial f_3}{\partial x_3}
\]
Denne forteller oss noe om vektorfeltets ekspansjon i punktet $x$. 
\textbf{Rotasjonen}\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)}
} 
er:
\begin{align*}
\nabla \times f =
	\left(\;
    \begin{matrix}
	\displaystyle 0 & -\displaystyle\frac{\partial }{\partial x_3} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial x_2}\\[4mm]
	\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_3} & 0 & -\displaystyle\frac{\partial }{\partial x_1}\\[4mm]
	\displaystyle -\frac{\partial }{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial x_1} & 0 \\[4mm]
    \end{matrix}
	\;\right)
	\left(\;
    \begin{matrix}
	f_1\\[4mm]
	f_2\\[4mm]
	f_3
    \end{matrix}
	\;\right)
	=
	\left(\;
    \begin{matrix}
	\displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3}\\[4mm]
	\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1}\\[4mm]
	\displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
    \end{matrix}
	\;\right)
\end{align*}
\begin{comment}
\end{comment}
I dette kurset skal vi bli bedre kjent med disse. 
Finn $\nabla f$, $\nabla \cdot f$ og $\nabla \times f$ når $f(x)$ er 

\begin{minipage}{40mm}
    \begin{oppgave}{1}
        $(x_1,x_2,x_3)^T$.
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
    \begin{oppgave}{2}
        $(x_2,x_3,x_1)^T$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
    \begin{oppgave}{3}
        $(x_3,x_1,x_2)^T$.
    \end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{minipage}{40mm}
    \begin{oppgave}{4}
        $(x_3,x_2,x_1)^T$.
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
    \begin{oppgave}{5}
        den laminære vannstrømmen 
        $(x_3,0,0)^T$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
    \begin{oppgave}{6}
        coloumbfeltet.
    \end{oppgave}
\end{minipage}


I de klassiske fysikkmodellene 
dukker det gjerne opp kombinasjoner av gradient, 
divergens og rotasjon.
La $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ og $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$.
Regn ut: 

\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{7}
        $\nabla \cdot (\nabla f)$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{8}
        $\nabla \times (\nabla f)$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{9}
        $\nabla (\nabla \cdot g)$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{10}
        $\nabla \cdot (\nabla \times g)$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{11}
        $\nabla \times (\nabla \times g)$
    \end{oppgave}
\end{minipage}

Den første av disse kjenner du fra før, 
nemlig \textbf{laplaceoperatoren}: 
\begin{align*}
    \Delta f = \nabla \cdot (\nabla f) = 
	\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} +
	\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} +
	\frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2}
\end{align*}\\[-4mm]
og dersom $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ skriver vi
\[
    \Delta f =
    \left(\;
    \begin{matrix}
        \Delta f_1 \\
        \Delta f_2 \\
        \Delta f_3 
    \end{matrix}
    \;\right).
    \]



\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019949}\end{center}

\clearpage

I fysikklitteratur er det tre basiser for $\mathbb{R}$ som brukes jevnlig - 
den kartesiske du er vant til, samt \textbf{sylinderkoordinatbasisen} og \textbf{kulekoordinatbasisen}.
Basisvektorene i de to siste peker i bestemte retninger knyttet 
til radiene og vinklene i de sylinder- og kulekoordinatsystemene,
og de kan være litt forvirrende i starten siden basisvektorene endres 
etter hvor i $\mathbb{R}^3$ man befinner seg.\footnote{
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates}
}
Det finnes også mer avanserte koordinatsystemer, 
men de får ikke vi bruk for.\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_coordinate_system}
}
I dette kurset skal vi bruke $e$ med en subskript for å indikere forskjellige enhetsvektorer:

\begin{itemize}
    \item[$e_k$]: Standardbasiselement $k$ i $\mathbb{R}^3$.
    \item[$e_\varphi$]: Rett sør på en kuleflate sentert i origo. 
    \item[$e_\theta$]: Rett øst på samme kuleflate.
    \item[$e_r$]: Sett $\theta$ og $\varphi$ og gå kulekoordinatradielt ut fra origo.
    \item[$e_s$]: Sett $\theta$ og gå sylinderkoordinatradielt ut fra $e_3$.
    \item[$e_n$]: Normalvektor til en flate, utnormal om flaten er lukket.
\end{itemize}


\begin{oppgave}{12}
    Sett opp eksplisitte uttrykk for disse.\\
    (Hint: 
    Bruk jacobimatrisene til kule- og
    og sylinderkoordinattransformasjonene.)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{13}
    Fordelen med disse alternative basisene er at noen ting blir lettere å skrive opp. 
    Skriv opp coloumbfeltet
    \[
		E \left(  x  \right) =
	    \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
		\frac{ x }{| x |^3}
    \]
    i kulekoordinatbasisen.
\end{oppgave}

Det er praktisk med notasjon for alle disse vektorene, 
for vi får kompakt notasjon. 
For eksempel kan rotasjonen skrives
\begin{align*}
\nabla \times f =&
	\left( 
	e_1\frac{\partial }{\partial x_1} +
	e_2\frac{\partial }{\partial x_2} +
	e_3\frac{\partial }{\partial x_3}
	\right)
    \times
	\left( e_1f_1+e_2f_2+e_3f_3 \right)
\end{align*}


\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019957}\end{center}

\clearpage 

Til slutt et viktig poeng om notasjon under koordinatskift.
La oss ta det elektriske feltet 
\[
		 E \left(  x  \right) =
	 \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
		\frac{ x }{| x |^3}
\]
fra en punktladning som eksempel.
Til nå har jeg slurvet litt og brukt bokstaven $ E $ 
både for den elektriske feltstyrken og for 
den matematiske funksjonen som gir den elektriske feltstyrken gitt $x$.
Hvis vi er interessert i å finne hvordan $ E $ varierer med $r$, $\theta$ eller $\phi$
er det fristende å skrive
\[
    E(r,\theta,\phi)
		\hspace{10mm}
		\frac{\partial  E }{\partial r}
		\hspace{10mm}
		\frac{\partial  E }{\partial \theta}
		\hspace{10mm}
		\frac{\partial  E }{\partial \phi}.
\]
Men dette er litt skummelt,
for strengt tatt er 
\[
		 E 
		\left( r,\theta, \phi \right)
=
	 \frac{q}{4\pi \epsilon_0\left( \sqrt{r^2 +\theta^2 + \phi^2} \right)^3}
		\begin{pmatrix}
r \\
\theta\\
\phi
\end{pmatrix}
\]
men det vi åpenbart er ute etter, er jo
\[
		 E 
		\left( r\cos \theta \sin \phi, r\sin \theta \sin \phi, r \cos \phi \right)
=
	 \frac{q}{4\pi \epsilon_0r^3}
		\begin{pmatrix}
r\cos \theta \sin \phi \\
r\sin \theta \sin \phi\\
r \cos \phi
\end{pmatrix}
=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^3}e_r
\]
som er noe helt annet.
Det helt klart ryddigste er å reservere $E$ til den elekriske feltstyrken, 
som er en målbar fysisk størrelse, 
og så bruke egne bokstaver for de forskjellige matematiske funksjonene:
\[
		 E 
		=
		f\left(  x  \right) =
			 \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
		\frac{ x }{| x |^3}
		\begin{comment}
		=
			 \frac{q}{4\pi \epsilon_0|x|^3}
		\begin{pmatrix}
			x_1\\
			x_2\\
			x_3
		\end{pmatrix}
		\end{comment}
		\hspace{20mm}
        E  =
		f\left(  g \left( r,\theta,\phi \right) \right)=
\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^3}e_r
\]
Dette gjøres nesten aldri i praksis,
og i en fysikkbok vil det typisk bare stå
\[
		\frac{\partial  E }{\partial x_1}
		\hspace{10mm}
		\frac{\partial  E }{\partial x_2}
		\hspace{10mm}
		\frac{\partial  E }{\partial x_3}
		\hspace*{10mm}
        \frac{\partial  E }{\partial r}
		\hspace{10mm}
		\frac{\partial  E }{\partial \theta}
		\hspace{10mm}
		\frac{\partial  E }{\partial \phi}
\]
om hverandre.
Dette er nok én av hovedgrunnene til at
elmag og termo og annen fysikk med flere uavhengige variable er vanskelig å forstå i starten.
I termo kan de fint skrive både 
\[
		U = U\left( S,V \right)
\hspace{10mm}
\text{og så plustelig}
\hspace{10mm}
		\left(  \frac{\partial U}{\partial V}\right)_{p}
\]
på neste linje.
Det glade vanvidd spør du meg. 
Men skulle man alltid vært nøye på å gi de forskjellige funksjonene hver sin bokstav
hadde det også blitt forferdelig mange bokstaver å holde styr på,
så derfor har man endt opp med å bruke samme bokstav til både den 
fysiske størrelsen og virvaret av funksjoner mellom den og andre fysiske størrelser.
Dette er viktig å vite om i starten,
slik at man kan holde tungen beint i munnen.
La oss ta en treningsoppgave.

\begin{oppgave}{14}
Du har tidligere funnet
		\[
				 E '\left(  x  \right) =
		\left( \frac{\partial  E }{\partial x_1},
		\frac{\partial  E }{\partial x_2},
		\frac{\partial  E }{\partial x_3} \right).
\]
Finn
\[
		 E '\left( r,\theta,\phi \right)=
		\left(
				\frac{\partial  E }{\partial r},
		\frac{\partial  E }{\partial \theta},
		\frac{\partial  E }{\partial \phi}
\right).
\]
\textit{Nå har jeg bevisst misbrukt notasjon.}
Bruk kjerneregelen på
		\[
				 E  =
		h\left(r, \theta, \phi \right) =
		f\left(  g \left( r,\theta,\phi \right) \right).
		\]
der $g$ er er kulekoordinatfunksjonen. 
Sett også inn og ta det på direkten og dobbeltsjekk svaret.
\begin{comment}
\[
 x = g(r,\theta,\phi)=
\begin{pmatrix}
g_1(r,\theta,\phi) \\
g_2(r,\theta,\phi) \\
g_3(r,\theta,\phi)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
r\cos \theta \sin \phi \\
r\sin \theta \sin \phi\\
r \cos \phi
\end{pmatrix}.
\]
\end{comment}
\end{oppgave}



Løsningen til Laplaces likning
\begin{align*}
    \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+
    \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} = 0
\end{align*}
\begin{minipage}{120mm}
på rektangelet $[0,\pi] \times [0,\pi]$ med randkrav 
\[
u(x_1,0)=u(0,x_2)=u(\pi,x_2)=0
\]
og
\[
u(x_1,\pi)=f(x_1).
\]
er
\[
V(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\sinh nx_2 \sin nx_1,
\]
der
\[
A_n=\frac{2}{\pi \sinh n\pi}  \int_{0}^\pi f(x) \sin nx\; dx.
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
\begin{center}
    \hspace*{-20mm}
\includegraphics[scale=.23]{../figurer/fig_heat.pdf}\\
\small \hspace*{-15mm} Stasjonær varmeflyt, $f(x)=1$. 
\end{center}
\end{minipage}

Dette kunne vi regna ut i TMA4106, 
men det var så mange andre liknende ting der og kurset var stort og hardt nok, 
så jeg gadd ikke ta det med. 
Laplaceoperatoren
\begin{align*}
    \Delta = 
    \frac{\partial^2 }{\partial x_1^2}+
    \frac{\partial^2 }{\partial x_2^2}
\end{align*}
for skalarfelt og divergensen 
\begin{align*}
    \nabla \cdot f=
    \frac{\partial f_1}{\partial x_1}+
    \frac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{align*}
til vektorfelt
er i slekt med hverandre og dukker opp så ofte i fysikk 
at vi bør ta en økt om dem. 
Vi må nesten se hvordan de dukker opp i anvendelser før vi går videre. 

\begin{oppgave}{0}
    Skriv opp begge versjonene av Greens teorem dersom $f = \nabla u$ der $u$ er et skalarfelt av to variable. 
    Hva blir fluksen ut av $\Omega$ dersom $u$ er en harmonisk funksjon?
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1021044.jpg}\end{center}

\clearpage

Den andre versjonen 
\begin{align*}
    \iint_\Omega \nabla \cdot f = \int_{\partial \Omega} f \cdot e_n \; ds
\end{align*}
av Greens teorem blir 
\begin{align*}
    \iint_\Omega \Delta u = \int_{\partial \Omega} \nabla u \cdot e_n \; ds
\end{align*}
dersom $f=\nabla u$. Den retningsderiverte $\nabla u \cdot e_n$ dukker opp så ofte at det er smart å ha en egen notasjon: 
\begin{align*}
    \frac{\partial u}{\partial e_n} = \nabla u \cdot e_n 
\end{align*} 
Når vi studerte den første versjonen av Greens teorem, 
tolket vi $f$ som kraft, 
og i den andre versjonen tolket vi $f$ som flyt. 
Nå skal vi utlede bølgelikningen for en vibrerende membran ved å 
kombinere tolkningen av $f$ som kraft med den andre versjonen. 
La oss først repetere bølgelikningen for en streng.
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=.5]{../figurer/streng-2}
    \end{center}
    Vi antar at den horisontale strekkraften $T$ (i newton) er lik overalt, 
    slik at molekylene i den lille lilla biten av strengen kun beveger seg rett opp og ned, 
    ikke frem og tilbake. 
    Dette betyr at massen til den lilla biten er $\rho h$
    dersom massetettheten $\rho$ er gitt i kilo per meter.
    Netto vertikal kraft på biten er $T_1+T_2$, 
    så Newtons andre lov $F=ma$ gir 
    \begin{align*}
        T_1+T_2 = \rho h \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
    \end{align*}
    der $u(x,t)$ er høyden over likevekt.
    Siden dekomponeringen av strekkraften 
    danner en trekant som er kongruent med trekanten som gir 
    stigningstallet til $u$ med hensyn på $x$, 
    kan vi skrive
    \begin{align*}
        T_1+T_2 = 
        T\left( \frac{\partial u}{\partial x}(x+h,t)- \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) \right),
    \end{align*}
    og hvis vi deler Newtons andre lov på $h$ og lar $h \to 0$,
    får vi bølgelikningen for en streng: 
    \begin{align*}
        \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =
        T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 
    \end{align*}

\begin{comment}
\end{comment}

    Strekkraften på en streng måles i Newton. 
    På gitarstrengpakken står strengestrekket oppgitt i kilo,
    for strengens stramhet kan sammenlignes med stramheten du får 
    ved å henge et lodd på den. 
    For et membran må vi egentlig ha en ide om noe som kalles 
    \textbf{spenningstensoren}.\footnote{
        \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor}
    }
    Dette er en matrise som i hvert punkt angir \textbf{spenningene}\footnote{
        \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)}
    } 
    i et materiale under last. 
    I tre dimensjoner måles disse i Pascal\footnote{
        \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal_(unit)}
    }
    men siden vi har et membran, 
    er det enklere å neglisjere tykkelsen og tenke kraft per meter. 
    Vi skal anta at det finnes en horisontal spenning $T$ som er isotrop og konstant og at den ikke endres når membranet strekkes, 
    analogt til den horisontale strekkraften i forrige utledning.

\begin{oppgave}{1}
    Utled bølgelikningen 
    \begin{align*}
        \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =
        T\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}  \right)
    \end{align*}
    for et vibrerende membran, 
    for eksempel et trommeskinn. \\ 
    (Hint: Se på en liten bit $\Omega$ av membranen,
    finn kraften på $\Omega$ langs $\partial \Omega$, 
    bruk det samme kongruenstrikset som for strengen, 
    og avslutt med Greens teorem.)
\end{oppgave}

Hvis vi nå går tilbake til å tenke flyt, 
kan vi også utlede varmelikningen med hjelp fra Greens teorem 
og Fouriers varmelov
\begin{align*}
    q = -\kappa \nabla u
\end{align*}
der $q$ er varmefluksen 
$u$ er temperaturen og $\kappa$ en fysisk konstant som kalles den termiske konduktiviteten.\footnote{  
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_conductivity_and_resistivity}
}
Tenk at du har en plate som er dekket av Glava over og under, 
slik at varme kun kan strømme langs med platen. 

\begin{oppgave}{2}
    Utled varmelikningen 
    \begin{align*}
        \frac{\partial u}{\partial t} =
        \alpha\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}  \right).
    \end{align*}
\end{oppgave}

Vi kan også legge en stein på et trommeskinn. 
Denne gir et trykk $p$ (målt i pascal) på skinnet. 

\begin{oppgave}{3}
    Utled Poissons likning
    \begin{align*}
        \frac{p}{T} =
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}  
    \end{align*}
    for et trommeskinn i ro med horisontalt strekk $T$ og trykk $p$.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{4}
Laplaces likning $\Delta u=0$
dukker opp som spesialtilfelle av alle disse, 
på litt forskjellige måter. 
Hvordan?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
    Vis at laplaceoperatoren er \textbf{rotasjonsinvariant},
    altså at de rene partiellderiverte summerer til det samme også om du roterer koordinatsystemet. 
    I tre dimensjoner. 
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{6}
    La $\Omega$ være en sirkelskive med radius $r$, 
    sentrert i $x$. 
    Vis at 
    \begin{align*}
        u(x) = \frac{1}{2\pi r}\int_{\partial \Omega} u\; ds = 
        \frac{1}{\pi r^2}\iint_\Omega u 
    \end{align*}
    dersom $u$ er harmonisk på et område som inneholder $\Omega$. 
\end{oppgave}

\clearpage

\section*{UKENS NØTTER}

\begin{oppgave}{1}
    Utled oppgave 6 fra Cauchys integralformel.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
    Finn uttrykket for trommeskinnet på bildet under.\\ 
    (Hint: Anta at skinnet har beholdt sin sirkulære form sett ovenfra.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.11]{../figurer/trommeskinn-1}\\
\small Takk til Lars i TSO for fuktskadd skarptrommeskinn med form ikke helt ulik $f(x) = x_1x_2$. 
\end{center}






\begin{comment}
Nå kunne vi løst bølge- og varmelikningen 
(og for den saks skyld partikkel-i-boks) 
på rektangulære domener, 
men dette er såpass likt det envariable greiene 
vi hadde i 4106, 
at det er mer interessant å studere noen andre geometrier. 

\begin{oppgave}{7}
Vis at bølgelikningen i polarkoordinater blir 
\[ 
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{10}
Separer variable $u=x(t)y(r)z(\theta)$ og utled likningene 
\begin{align*}
\ddot x + \lambda x = 0 \\
z'' + \gamma z = 0 \\
y''+\frac{1}{r}y'+\left(\lambda - \frac{\gamma}{r^2}\right)y = 0
\end{align*}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{11}
Det sier seg selv at vinkeldelen $z$ må være $2\pi$-periodisk. 
Bruk dette til å utlede at $\gamma = n^2$ der $n \in \mathbb N$, 
og at 
\[
z(\theta)= a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta
\]
\end{oppgave}

Den siste likningen kan etter variabelskiftet  $\rho = \sqrt{\lambda}r$ skrives 
\[
y''+\frac{1}{\rho}y'+\left(1 - \frac{n^2}{\rho^2}\right)y = 0.
\]
Å løse denne er for å sitere min svigerfar \say{en helvetes prosedyre},
og løsningene kalles \textbf{besselfunksjonene}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function}}

\begin{oppgave}{12}
Det finnes ikke noe lukket uttrykk for besselfunksjonene,
men du kan anta at de har taylorutviklikng, 
sette inn i likningen og herje i vei. 
Prøv.
\end{oppgave}


Når man skal overføre elektrisk energi med høy frekvens er det upraktisk å bruke ledninger, 
for man søler den elektriske energien ut i rommet og så lager du returstrømmer og fandens oldemor. 
I ubåt må for eksempel alle elektriske ledninger tvinnes. 
Derfor er det vanlig å overføre elektrisk energi på høy frekvens gjennom \textbf{bølgeledere}:\\
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_24.html}\\
Dette er bare en hul kanal med stående elektriske bølger,
og dersom kanalen er sirkulær, 
dukker besselfunksjonene i analysen. 
Du kan faktisk lage en kondensator av en hul sylinder, 
og da dukker også besselfunksjonene opp:\\
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_23.html}\\

\end{comment}

\end{document}
