\input{preamble} \title{13 - NABLAOPERATOREN} \begin{document} \pagenumbering{gobble} \maketitle Jacobimatrisen til $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ er\\[-8mm] \begin{align*} f' = \frac{\partial f}{\partial x} = \left( \; \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\[3mm] \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\[3mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[3mm] \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\ \end{matrix} \; \right). \end{align*} Fordelen med denne er at mange formler du lærte på skolen, for eksempel kjerneregelen \[ \frac{d}{dx}f(g(x))= g'\left( f \left( x \right) \right) f'\left( x \right) \] eller ettpunktsformelen \begin{align*} p(s) = f(x) + f'(x)(s-x) \end{align*} er identiske for funksjoner fra $\mathbb{R}^m$ til $\mathbb{R}^n$ så lenge du tolker produktene som matriseprodukter. \textbf{Gradienten}\footnote{ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient} } til skalarfeltet $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ skrives\\[-8mm] \begin{align*} \nabla f= \left( \; \begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\[2mm] \frac{\partial f}{\partial x_2}\\[2mm] \frac{\partial f}{\partial x_3} \end{matrix} \; \right) \end{align*} og tar vi gradienten på $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, mener vi den transponerte av jacobimatrisen. \begin{comment} \[ \nabla f= \left( \; %\begin{matrix} % \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_3}\\[3mm] % \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_3}\\[3mm] % \displaystyle \frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_3} %\end{matrix} \begin{matrix} \nabla f_1, \nabla f_2, \nabla f_3 \end{matrix} \;\right) = \left( \; \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_3}{\partial x_1} \\[3mm] \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \frac{\partial f_3}{\partial x_2} \\[3mm] \frac{\partial f_1}{\partial x_3} & \frac{\partial f_2}{\partial x_3}& \frac{\partial f_3}{\partial x_3} \\ \end{matrix} \; \right) \] \end{comment} Nablasymbolet alene kalles en \textbf{operator}:\footnote{ I funksjonalanalyse er de veldig opptatt av om operatoren er glatt.\\ (\url{https://www.youtube.com/watch?v=4TYv2PhG89A}). }\\[-8mm] \begin{align*} \nabla = \left( \; \begin{matrix} \frac{\partial }{\partial x_1} \\[2mm] \frac{\partial }{\partial x_2}\\[2mm] \frac{\partial }{\partial x_3} \end{matrix} \; \right) \end{align*} Fordelen med tenke på nablaoperatoren som en operator er at den kan settes sammen med prikk- og kryssproduktet. \begin{oppgave}{0} La $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$. Finn $\nabla \cdot f$ og $\nabla \times f$. \end{oppgave} \begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019970}\end{center} \clearpage \textbf{Divergensen}\footnote{ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence} } til et vektorfelt er sporet\footnote{ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)} } til jacobimatrisen: \[ \nabla \cdot f = \frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\frac{\partial f_3}{\partial x_3} \] Denne forteller oss noe om vektorfeltets ekspansjon i punktet $x$. \textbf{Rotasjonen}\footnote{ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)} } er: \begin{align*} \nabla \times f = \left(\; \begin{matrix} \displaystyle 0 & -\displaystyle\frac{\partial }{\partial x_3} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial x_2}\\[4mm] \displaystyle \frac{\partial }{\partial x_3} & 0 & -\displaystyle\frac{\partial }{\partial x_1}\\[4mm] \displaystyle -\frac{\partial }{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial x_1} & 0 \\[4mm] \end{matrix} \;\right) \left(\; \begin{matrix} f_1\\[4mm] f_2\\[4mm] f_3 \end{matrix} \;\right) = \left(\; \begin{matrix} \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3}\\[4mm] \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1}\\[4mm] \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2} \end{matrix} \;\right) \end{align*} \begin{comment} \end{comment} I dette kurset skal vi bli bedre kjent med disse. Finn $\nabla f$, $\nabla \cdot f$ og $\nabla \times f$ når $f(x)$ er \begin{minipage}{40mm} \begin{oppgave}{1} $(x_1,x_2,x_3)^T$. \end{oppgave} \end{minipage} \begin{minipage}{40mm} \begin{oppgave}{2} $(x_2,x_3,x_1)^T$ \end{oppgave} \end{minipage} \begin{minipage}{40mm} \begin{oppgave}{3} $(x_3,x_1,x_2)^T$. \end{oppgave} \end{minipage} \begin{minipage}{40mm} \begin{oppgave}{4} $(x_3,x_2,x_1)^T$. \end{oppgave} \end{minipage} \begin{minipage}{80mm} \begin{oppgave}{5} den laminære vannstrømmen $(x_3,0,0)^T$ \end{oppgave} \end{minipage} \begin{minipage}{80mm} \begin{oppgave}{6} coloumbfeltet. \end{oppgave} \end{minipage} I de klassiske fysikkmodellene dukker det gjerne opp kombinasjoner av gradient, divergens og rotasjon. La $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ og $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$. Regn ut: \begin{minipage}{30mm} \begin{oppgave}{7} $\nabla \cdot (\nabla f)$ \end{oppgave} \end{minipage} \begin{minipage}{30mm} \begin{oppgave}{8} $\nabla \times (\nabla f)$ \end{oppgave} \end{minipage} \begin{minipage}{30mm} \begin{oppgave}{9} $\nabla (\nabla \cdot g)$ \end{oppgave} \end{minipage} \begin{minipage}{30mm} \begin{oppgave}{10} $\nabla \cdot (\nabla \times g)$ \end{oppgave} \end{minipage} \begin{minipage}{30mm} \begin{oppgave}{11} $\nabla \times (\nabla \times g)$ \end{oppgave} \end{minipage} Den første av disse kjenner du fra før, nemlig \textbf{laplaceoperatoren}: \begin{align*} \Delta f = \nabla \cdot (\nabla f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2} \end{align*}\\[-4mm] og dersom $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ skriver vi \[ \Delta f = \left(\; \begin{matrix} \Delta f_1 \\ \Delta f_2 \\ \Delta f_3 \end{matrix} \;\right). \] \begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019949}\end{center} \clearpage I fysikklitteratur er det tre basiser for $\mathbb{R}$ som brukes jevnlig - den kartesiske du er vant til, samt \textbf{sylinderkoordinatbasisen} og \textbf{kulekoordinatbasisen}. Basisvektorene i de to siste peker i bestemte retninger knyttet til radiene og vinklene i de sylinder- og kulekoordinatsystemene, og de kan være litt forvirrende i starten siden basisvektorene endres etter hvor i $\mathbb{R}^3$ man befinner seg.\footnote{ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates} } Det finnes også mer avanserte koordinatsystemer, men de får ikke vi bruk for.\footnote{ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_coordinate_system} } I dette kurset skal vi bruke $e$ med en subskript for å indikere forskjellige enhetsvektorer: \begin{itemize} \item[$e_k$]: Standardbasiselement $k$ i $\mathbb{R}^3$. \item[$e_\varphi$]: Rett sør på en kuleflate sentert i origo. \item[$e_\theta$]: Rett øst på samme kuleflate. \item[$e_r$]: Sett $\theta$ og $\varphi$ og gå kulekoordinatradielt ut fra origo. \item[$e_s$]: Sett $\theta$ og gå sylinderkoordinatradielt ut fra $e_3$. \item[$e_n$]: Normalvektor til en flate, utnormal om flaten er lukket. \end{itemize} \begin{oppgave}{12} Sett opp eksplisitte uttrykk for disse.\\ (Hint: Bruk jacobimatrisene til kule- og og sylinderkoordinattransformasjonene.) \end{oppgave} \begin{oppgave}{13} Fordelen med disse alternative basisene er at noen ting blir lettere å skrive opp. Skriv opp coloumbfeltet \[ E \left( x \right) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{ x }{| x |^3} \] i kulekoordinatbasisen. \end{oppgave} Det er praktisk med notasjon for alle disse vektorene, for vi får kompakt notasjon. For eksempel kan rotasjonen skrives \begin{align*} \nabla \times f =& \left( e_1\frac{\partial }{\partial x_1} + e_2\frac{\partial }{\partial x_2} + e_3\frac{\partial }{\partial x_3} \right) \times \left( e_1f_1+e_2f_2+e_3f_3 \right) \end{align*} \begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019957}\end{center} \clearpage Til slutt et viktig poeng om notasjon under koordinatskift. La oss ta det elektriske feltet \[ E \left( x \right) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{ x }{| x |^3} \] fra en punktladning som eksempel. Til nå har jeg slurvet litt og brukt bokstaven $ E $ både for den elektriske feltstyrken og for den matematiske funksjonen som gir den elektriske feltstyrken gitt $x$. Hvis vi er interessert i å finne hvordan $ E $ varierer med $r$, $\theta$ eller $\phi$ er det fristende å skrive \[ E(r,\theta,\phi) \hspace{10mm} \frac{\partial E }{\partial r} \hspace{10mm} \frac{\partial E }{\partial \theta} \hspace{10mm} \frac{\partial E }{\partial \phi}. \] Men dette er litt skummelt, for strengt tatt er \[ E \left( r,\theta, \phi \right) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0\left( \sqrt{r^2 +\theta^2 + \phi^2} \right)^3} \begin{pmatrix} r \\ \theta\\ \phi \end{pmatrix} \] men det vi åpenbart er ute etter, er jo \[ E \left( r\cos \theta \sin \phi, r\sin \theta \sin \phi, r \cos \phi \right) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0r^3} \begin{pmatrix} r\cos \theta \sin \phi \\ r\sin \theta \sin \phi\\ r \cos \phi \end{pmatrix} =\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^3}e_r \] som er noe helt annet. Det helt klart ryddigste er å reservere $E$ til den elekriske feltstyrken, som er en målbar fysisk størrelse, og så bruke egne bokstaver for de forskjellige matematiske funksjonene: \[ E = f\left( x \right) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{ x }{| x |^3} \begin{comment} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0|x|^3} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \end{comment} \hspace{20mm} E = f\left( g \left( r,\theta,\phi \right) \right)= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^3}e_r \] Dette gjøres nesten aldri i praksis, og i en fysikkbok vil det typisk bare stå \[ \frac{\partial E }{\partial x_1} \hspace{10mm} \frac{\partial E }{\partial x_2} \hspace{10mm} \frac{\partial E }{\partial x_3} \hspace*{10mm} \frac{\partial E }{\partial r} \hspace{10mm} \frac{\partial E }{\partial \theta} \hspace{10mm} \frac{\partial E }{\partial \phi} \] om hverandre. Dette er nok én av hovedgrunnene til at elmag og termo og annen fysikk med flere uavhengige variable er vanskelig å forstå i starten. I termo kan de fint skrive både \[ U = U\left( S,V \right) \hspace{10mm} \text{og så plustelig} \hspace{10mm} \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_{p} \] på neste linje. Det glade vanvidd spør du meg. Men skulle man alltid vært nøye på å gi de forskjellige funksjonene hver sin bokstav hadde det også blitt forferdelig mange bokstaver å holde styr på, så derfor har man endt opp med å bruke samme bokstav til både den fysiske størrelsen og virvaret av funksjoner mellom den og andre fysiske størrelser. Dette er viktig å vite om i starten, slik at man kan holde tungen beint i munnen. La oss ta en treningsoppgave. \begin{oppgave}{14} Du har tidligere funnet \[ E '\left( x \right) = \left( \frac{\partial E }{\partial x_1}, \frac{\partial E }{\partial x_2}, \frac{\partial E }{\partial x_3} \right). \] Finn \[ E '\left( r,\theta,\phi \right)= \left( \frac{\partial E }{\partial r}, \frac{\partial E }{\partial \theta}, \frac{\partial E }{\partial \phi} \right). \] \textit{Nå har jeg bevisst misbrukt notasjon.} Bruk kjerneregelen på \[ E = h\left(r, \theta, \phi \right) = f\left( g \left( r,\theta,\phi \right) \right). \] der $g$ er er kulekoordinatfunksjonen. Sett også inn og ta det på direkten og dobbeltsjekk svaret. \begin{comment} \[ x = g(r,\theta,\phi)= \begin{pmatrix} g_1(r,\theta,\phi) \\ g_2(r,\theta,\phi) \\ g_3(r,\theta,\phi) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos \theta \sin \phi \\ r\sin \theta \sin \phi\\ r \cos \phi \end{pmatrix}. \] \end{comment} \end{oppgave} Løsningen til Laplaces likning \begin{align*} \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} = 0 \end{align*} \begin{minipage}{120mm} på rektangelet $[0,\pi] \times [0,\pi]$ med randkrav \[ u(x_1,0)=u(0,x_2)=u(\pi,x_2)=0 \] og \[ u(x_1,\pi)=f(x_1). \] er \[ V(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\sinh nx_2 \sin nx_1, \] der \[ A_n=\frac{2}{\pi \sinh n\pi} \int_{0}^\pi f(x) \sin nx\; dx. \] \end{minipage} \begin{minipage}{60mm} \begin{center} \hspace*{-20mm} \includegraphics[scale=.23]{../figurer/fig_heat.pdf}\\ \small \hspace*{-15mm} Stasjonær varmeflyt, $f(x)=1$. \end{center} \end{minipage} Dette kunne vi regna ut i TMA4106, men det var så mange andre liknende ting der og kurset var stort og hardt nok, så jeg gadd ikke ta det med. Laplaceoperatoren \begin{align*} \Delta = \frac{\partial^2 }{\partial x_1^2}+ \frac{\partial^2 }{\partial x_2^2} \end{align*} for skalarfelt og divergensen \begin{align*} \nabla \cdot f= \frac{\partial f_1}{\partial x_1}+ \frac{\partial f_2}{\partial x_2} \end{align*} til vektorfelt er i slekt med hverandre og dukker opp så ofte i fysikk at vi bør ta en økt om dem. Vi må nesten se hvordan de dukker opp i anvendelser før vi går videre. \begin{oppgave}{0} Skriv opp begge versjonene av Greens teorem dersom $f = \nabla u$ der $u$ er et skalarfelt av to variable. Hva blir fluksen ut av $\Omega$ dersom $u$ er en harmonisk funksjon? \end{oppgave} \begin{center}\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1021044.jpg}\end{center} \clearpage Den andre versjonen \begin{align*} \iint_\Omega \nabla \cdot f = \int_{\partial \Omega} f \cdot e_n \; ds \end{align*} av Greens teorem blir \begin{align*} \iint_\Omega \Delta u = \int_{\partial \Omega} \nabla u \cdot e_n \; ds \end{align*} dersom $f=\nabla u$. Den retningsderiverte $\nabla u \cdot e_n$ dukker opp så ofte at det er smart å ha en egen notasjon: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial e_n} = \nabla u \cdot e_n \end{align*} Når vi studerte den første versjonen av Greens teorem, tolket vi $f$ som kraft, og i den andre versjonen tolket vi $f$ som flyt. Nå skal vi utlede bølgelikningen for en vibrerende membran ved å kombinere tolkningen av $f$ som kraft med den andre versjonen. La oss først repetere bølgelikningen for en streng. \begin{center} \includegraphics[scale=.5]{../figurer/streng-2} \end{center} Vi antar at den horisontale strekkraften $T$ (i newton) er lik overalt, slik at molekylene i den lille lilla biten av strengen kun beveger seg rett opp og ned, ikke frem og tilbake. Dette betyr at massen til den lilla biten er $\rho h$ dersom massetettheten $\rho$ er gitt i kilo per meter. Netto vertikal kraft på biten er $T_1+T_2$, så Newtons andre lov $F=ma$ gir \begin{align*} T_1+T_2 = \rho h \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \end{align*} der $u(x,t)$ er høyden over likevekt. Siden dekomponeringen av strekkraften danner en trekant som er kongruent med trekanten som gir stigningstallet til $u$ med hensyn på $x$, kan vi skrive \begin{align*} T_1+T_2 = T\left( \frac{\partial u}{\partial x}(x+h,t)- \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) \right), \end{align*} og hvis vi deler Newtons andre lov på $h$ og lar $h \to 0$, får vi bølgelikningen for en streng: \begin{align*} \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \end{align*} \begin{comment} \end{comment} Strekkraften på en streng måles i Newton. På gitarstrengpakken står strengestrekket oppgitt i kilo, for strengens stramhet kan sammenlignes med stramheten du får ved å henge et lodd på den. For et membran må vi egentlig ha en ide om noe som kalles \textbf{spenningstensoren}.\footnote{ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor} } Dette er en matrise som i hvert punkt angir \textbf{spenningene}\footnote{ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)} } i et materiale under last. I tre dimensjoner måles disse i Pascal\footnote{ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal_(unit)} } men siden vi har et membran, er det enklere å neglisjere tykkelsen og tenke kraft per meter. Vi skal anta at det finnes en horisontal spenning $T$ som er isotrop og konstant og at den ikke endres når membranet strekkes, analogt til den horisontale strekkraften i forrige utledning. \begin{oppgave}{1} Utled bølgelikningen \begin{align*} \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} \right) \end{align*} for et vibrerende membran, for eksempel et trommeskinn. \\ (Hint: Se på en liten bit $\Omega$ av membranen, finn kraften på $\Omega$ langs $\partial \Omega$, bruk det samme kongruenstrikset som for strengen, og avslutt med Greens teorem.) \end{oppgave} Hvis vi nå går tilbake til å tenke flyt, kan vi også utlede varmelikningen med hjelp fra Greens teorem og Fouriers varmelov \begin{align*} q = -\kappa \nabla u \end{align*} der $q$ er varmefluksen $u$ er temperaturen og $\kappa$ en fysisk konstant som kalles den termiske konduktiviteten.\footnote{ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_conductivity_and_resistivity} } Tenk at du har en plate som er dekket av Glava over og under, slik at varme kun kan strømme langs med platen. \begin{oppgave}{2} Utled varmelikningen \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} \right). \end{align*} \end{oppgave} Vi kan også legge en stein på et trommeskinn. Denne gir et trykk $p$ (målt i pascal) på skinnet. \begin{oppgave}{3} Utled Poissons likning \begin{align*} \frac{p}{T} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} \end{align*} for et trommeskinn i ro med horisontalt strekk $T$ og trykk $p$. \end{oppgave} \begin{oppgave}{4} Laplaces likning $\Delta u=0$ dukker opp som spesialtilfelle av alle disse, på litt forskjellige måter. Hvordan? \end{oppgave} \begin{oppgave}{5} Vis at laplaceoperatoren er \textbf{rotasjonsinvariant}, altså at de rene partiellderiverte summerer til det samme også om du roterer koordinatsystemet. I tre dimensjoner. \end{oppgave} \begin{oppgave}{6} La $\Omega$ være en sirkelskive med radius $r$, sentrert i $x$. Vis at \begin{align*} u(x) = \frac{1}{2\pi r}\int_{\partial \Omega} u\; ds = \frac{1}{\pi r^2}\iint_\Omega u \end{align*} dersom $u$ er harmonisk på et område som inneholder $\Omega$. \end{oppgave} \clearpage \section*{UKENS NØTTER} \begin{oppgave}{1} Utled oppgave 6 fra Cauchys integralformel. \end{oppgave} \begin{oppgave}{2} Finn uttrykket for trommeskinnet på bildet under.\\ (Hint: Anta at skinnet har beholdt sin sirkulære form sett ovenfra.) \end{oppgave} \begin{center} \includegraphics[scale=.11]{../figurer/trommeskinn-1}\\ \small Takk til Lars i TSO for fuktskadd skarptrommeskinn med form ikke helt ulik $f(x) = x_1x_2$. \end{center} \begin{comment} Nå kunne vi løst bølge- og varmelikningen (og for den saks skyld partikkel-i-boks) på rektangulære domener, men dette er såpass likt det envariable greiene vi hadde i 4106, at det er mer interessant å studere noen andre geometrier. \begin{oppgave}{7} Vis at bølgelikningen i polarkoordinater blir \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} \] \end{oppgave} \begin{oppgave}{10} Separer variable $u=x(t)y(r)z(\theta)$ og utled likningene \begin{align*} \ddot x + \lambda x = 0 \\ z'' + \gamma z = 0 \\ y''+\frac{1}{r}y'+\left(\lambda - \frac{\gamma}{r^2}\right)y = 0 \end{align*} \end{oppgave} \begin{oppgave}{11} Det sier seg selv at vinkeldelen $z$ må være $2\pi$-periodisk. Bruk dette til å utlede at $\gamma = n^2$ der $n \in \mathbb N$, og at \[ z(\theta)= a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta \] \end{oppgave} Den siste likningen kan etter variabelskiftet $\rho = \sqrt{\lambda}r$ skrives \[ y''+\frac{1}{\rho}y'+\left(1 - \frac{n^2}{\rho^2}\right)y = 0. \] Å løse denne er for å sitere min svigerfar \say{en helvetes prosedyre}, og løsningene kalles \textbf{besselfunksjonene}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function}} \begin{oppgave}{12} Det finnes ikke noe lukket uttrykk for besselfunksjonene, men du kan anta at de har taylorutviklikng, sette inn i likningen og herje i vei. Prøv. \end{oppgave} Når man skal overføre elektrisk energi med høy frekvens er det upraktisk å bruke ledninger, for man søler den elektriske energien ut i rommet og så lager du returstrømmer og fandens oldemor. I ubåt må for eksempel alle elektriske ledninger tvinnes. Derfor er det vanlig å overføre elektrisk energi på høy frekvens gjennom \textbf{bølgeledere}:\\ \url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_24.html}\\ Dette er bare en hul kanal med stående elektriske bølger, og dersom kanalen er sirkulær, dukker besselfunksjonene i analysen. Du kan faktisk lage en kondensator av en hul sylinder, og da dukker også besselfunksjonene opp:\\ \url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_23.html}\\ \end{comment} \end{document}