\input{preamble}

\title{10 - VOLUM}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%husk numerisk integrasjon i to variable

\maketitle

%konvolusjonsteorem for laplace
%gjennomsnittsverdi
\begin{comment}
\begin{oppgave}
Ole Bjørn har bygget et hus med en interessant grunnflate og skrått tak. 
Grunnflaten er området som er innesluttet mellom kurvene $y=x^2$ og $x=y^2$, 
og taket er gitt ved 
\[
f(x,y)=x+y.
\]
    \begin{punkt}
Finn volumet til huset.
    \end{punkt}
    \begin{punkt}
I huset skal det inn en
kjøkkenbenk formet som området avgrenset av $x_1=0$, $x_1=1$, $x_2=0$ og $x_2=\sin x_1$. 
Den har konstant massetetthet.
Beregn massesenteret til kjøkkenbenken.
%\footnote{Ole Bjørn ønsker å balansere kjøkkenbenken på en finger i forbindelse med en jubileumskonkurranse i byggevarebutikken. }
    \end{punkt}

\end{oppgave}
\end{comment}

\begin{minipage}{120mm}
Du bygger videre på din stilige grillhytte med grunnflate $\Omega$
og tak formet som den ideelle gasslov $f(x) = x_1x_2$.
I forrige økt regnet vi ut arealet av den krumme veggen - 
nå skal vi regne ut volumet av hytten. 
Volumet under grafen til $f: \Omega \to \mathbb{R}$ skrives 
\[
\iint_\Omega f
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\includegraphics[scale=.17]{../figurer/arkitektonisk-perle-1}
\end{minipage}\\
og beregnes ikke ulikt volumet av et omdreiningslegeme,
så la oss varme opp med å repetere dette.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Solid_of_revolution}
}
Hvis du dreier 
$f:[a,b]\to \mathbb R$ én gang om $x$-aksen,
får du en slags pølse med variabel tykkelse. 
Volumet er
\begin{align*}
	V = \pi \int_a^b f^2(x)  \; dx
\end{align*}
fordi arealet av pølsens tverrsnitt er gitt ved
\begin{align*}
	A(x) = \pi f^2(x)
\end{align*}
og hvis 
du integrerer en funksjon som angir et areal, 
blir resultatet et volum.

\begin{oppgave}{1}
	Drei litt på en bit av sinuskurven,
	for eksempel mellom to av nullpunktene,
	og finn volumet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
	Vis at volumet til en kule med radius $r$ er $\frac{4\pi}{3}r^3$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
	Regn ut volumet av Gabriels trompet, altså $f: (1,\infty) \to \mathbb{R}$ gitt ved $f(x) = 1/x$.
\end{oppgave}


Nøkkelen til å forstå 
volumet av omdreiningslegemer, 
er å forstå tverrsnittsfunksjonen $A$. 
Du må tenke at du har kappet omdreiningslegemet med motorsag 
og så gir $A(x)$ arealet av tverrsnittet, 
og så integrerer du denne for å få volumet. 
Dobbeltintegraler fungerer akkurat på samme måte, 
men $A(x)$ beregnes litt annerledes. 
	La oss nå finne tverrsnittet av grillhytten. 

\begin{minipage}{130mm}
\begin{oppgave}{4}
	Du kapper grillhytten i to med en enorm sag. 
	Du tar en bestemt verdi for $x_1$ og kapper parallelt med $x_2$-aksen. 
	Hva er $A(x_1)$?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
	Hva blir volumet?
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\includegraphics[scale=.14]{../figurer/arkitektonisk-perle-2}
\end{minipage}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.17]{../figurer/L1020902-Pano}
\end{center}

\clearpage

La oss beregne noen flere volumer. 
Dersom $\Omega$ er et rektangel blir det det veldig greit;
la oss finne volumet under den ideelle gasslov når
$\Omega = [0,1] \times [0,2]$:
\begin{align*}
\iint_\Omega f 
=\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}x_1x_2 \; dx_1dx_2
=\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}x_1x_2 \; dx_1\right)dx_2.
\end{align*}
Dette kalles et \textbf{iterert integral}, 
for det er et integral inni et annet integral. 
Det innerste integralet gir tverrsnittet som funksjon av $x_2$: 
\begin{align*}
	A(x_2) = \int_{0}^{1}x_1x_2 \; dx_1 
\end{align*}

\begin{oppgave}{6}
	Hvilken vei gikk motorsaga nå?
	Finn volumet. 
\end{oppgave}

\begin{comment}
Først tar vi det innerste integralet. 
Det er med hensyn på $x$, 
fordi $dx$ står innerst. 
Vi går fremad med samme taktikk som ved partiellderivasjon;
man integrerer med hensyn på $x$, 
og later som om $y$ er en konstant:

\begin{equation*}
\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}xy \; dx\right)dy=
\int_{0}^{2}\left[ \frac{1}{2}x^{2}y \;\right]_{x=0}^{x=1} dy= 
\int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2}\cdot 1^{2}\cdot y - \frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cdot y\; \right) dy=
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y \; dy
\end{equation*}

Tenk nå at du for hver $y$-verdi har saget volumet i to med en motorsag, 
parallelt  med $x$-aksen.
Funksjonen 
\[
\int_{0}^{1}xy \; dx = \frac{1}{2}y,
\]
altså det innerste integralet.
gir  arealet av tverrsnittet av volumet vi  beregner.
Hvis du skjønte riemannsumtankegangen i forrige semester,
skjønte du forhåpentligvis at dersom man har en funksjon som beskriver
arealet av tverrsnittet av et volum, 
finner man det totale volumet ved å integrere tverrsnittsfunksjonen:

\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y \; dy=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}y^{2}\; \right]_{y=0}^{y=2}=1
\end{equation*}


\clearpage
\end{comment}

Det er viktig å forstå at motorsaga 
kan gå begge veier - du velger selv.\footnote{
	Eller, ikke helt faktisk. 
	Det finnes patologiske tilfeller der du må være forsiktig, 
	men de kommer ikke du til å se noe til. 
	Sjekk ut \textbf{Fubinis teorem}\\
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini's_theorem}\\
	om du er interessert.
}

\begin{oppgave}{7}
	Beregn volumet med motsatt integrasjonsrekkefølge.
\end{oppgave}

Det som kan gjøre dobbeltintegraler litt knotete,
er at integrasjonsområdet $\Omega$ kan være mer komplisert enn et rektangel.
La oss prøve trekanten med hjørner i 
$(0,0)^T$,
$(1,0)^T$ og
$(0,2)^T$.
Knotet er at du 
får et funksjonsuttrykk i en integrasjonsgrense i det innerste integralet.

\begin{oppgave}{8}
	Sett opp integralet og beregn volumet. 
	Prøv begge veier.
\end{oppgave}

Her er en oppgave fra konten 2024: 

\begin{oppgave}{9}
	La $f: \Omega \to \mathbb{R}^2$ være gitt ved
	\[
		f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2+x_1x_2-3x_1-3x_2+3.
	\]
	der $\Omega$ er trekanten med hjørner i $(0,0)$, $(3,0)$ og $(3,4)$.
	Finn volumet under grafen til $f$.
\end{oppgave}


\begin{comment}
\begin{equation*}
\iint_\Omega f=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1-y}xy \; dx \right) dy
\end{equation*}

Akkurat som isted, 
angir det innerste integralet arealet av tverrsnittet til volumet vi beregner, 
men nå skal  vi bare integrere ut til linjen $x=1-y$, 
ikke helt ut til $x=1$. 
Vi integrerer:

\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{1-y}xy \; dx\right) dy=
\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{2}x^{2}y\right)_{x=0}^{x=1-y}  \; dy= 
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-y)^{2}y  \; dy
\end{equation*}

Vi integrerer så tverrsnittsfunksjonen:

\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-y)^{2}y  \; dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y-2y^{2}+y^{3}  \; dy=
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}y^{2}-\frac{2}{3}y^{3}+\frac{1}{4}y^{4}\right)_{y=0}^{y=1}=\frac{1}{24}
\end{equation*}
\end{comment}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1020902}
\end{center}



\clearpage

Finn volumet under $f(x) = x_1x_2$ når $\Omega$ er 
(sett opp begge veier)

\begin{oppgave}{10}
	trekanten 
	med hjørner i 
	$(0,0)^T$,
	$(1,1)^T$ og
	$(2,0)^T$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
	diamanten med 
	med hjørner i 
	$(1,0)^T$,
	$(0,1)^T$,
	$(-1,0)^T$ og
	$(0,-1)^T$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
	området mellom parabelen $x_2 = 1-x_1^2$ og $x_1$-aksen. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{13}
	området mellom $x_2 = 1-x_1^3$ og $x_1$-aksen og $x_2$-aksen. 
\end{oppgave}


Og noen ganger trenger man ikke integrere - 
volumformlene fra ungdommsskolen gjør jobben.
La $a$ være en konstant, og finn 

\begin{minipage}{50mm}
	\begin{oppgave}{14}
		$\displaystyle \iint_{| x |^2 \leq a^2}a-| x |\;dx$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
	\begin{oppgave}{15}
		$\displaystyle \iint_{| x |^2 \leq a^2} \sqrt{a^2-| x |^2}\;dx$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
	\begin{oppgave}{16}
		$\displaystyle \iint_{| x |^2 \leq a^2} a\;dx$
	\end{oppgave}
\end{minipage}

Noen ganger kan det blir vel grisete. 

\begin{oppgave}{17}
	Finn volumet av grillhytten dersom taket er gitt ved $h(x) = - x_1^2 - x_1x_2 - 2x_2^2 + 4 x_1 + 6x_2 + 8$. 
\end{oppgave}

Eller kanskje du må bruke noen gamle triks.

\begin{oppgave}{18}
Vis at 
	\begin{equation*}
		\iint_\Omega \frac{dx}{1-x_1x_2} = \frac{\pi^2}{6}
	\end{equation*}
	der $\Omega$ er enhetskvadratet i $\mathbb{R}^2$.
\end{oppgave}

Flere oppgaver her:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105/2024v/interaktiv_6.pdf}\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105/2024v/plenumsregning_6.pdf}





\begin{center}
\includegraphics[scale=.17]{../figurer/L1020912-Pano}
\end{center}

\clearpage
I denne økten skal vi studere 
funksjoner fra 
$\mathbb{R}^2$
til 
$\mathbb{R}^2$,
men vi skal tenke litt annerledes på dem enn i vektorfeltøkten,
og motivasjonen er en helt annen.
Hvis du fikk til oppgave 17 i forrige økt, 
skrev du opp at volumet er  
\[
	\iint_\Omega f \; dS = 
	\int_0^4 
	\int_{0}^{\frac{3}{4}\sqrt{(16 - x_1^2)}}
	- x_1^2 - x_1x_2 - 2x_2^2 + 4 x_1 + 6x_2 + 8
	\;dx_2dx_1.
\]
Dette integralet er et svineri å beregne for hånd. 
Men integralet
\[
	\iint_\Omega f  = 
	\int_0^1 
	\int_{0}^{\pi/2}
	(- 16r^2\cos^2 \theta - 12r^2\cos \theta \sin \theta - 2r^2\sin^2\theta + 16r\cos\theta + 18\sin\theta + 8)
	\;12rdrd\theta
\]
gir det samme volumet og er trivielt å beregne 
så lenge du husker Eulers formel. 
Nå skal vi se på hvordan vi kommer frem til denne formen.
Akkurat som i forrige økt, 
skal gå helt tilbake til envariabel kalkulus
og repetere litt. 
Arealet av enhetsirkelen er 
\begin{align*}
	4\int_{0}^1 \sqrt{1-x^2}\; dx. 
\end{align*}
Dette integralet er heller ikke så lett å beregne for hånd med mindre du husker en svær integrasjonstabell,
men substitusjonen 
\begin{align*}
	x = \sin \theta \hspace*{10mm} du = \cos \theta \; d\theta 
\end{align*}
gjør susen: 
\begin{align*}
	4\int_{0}^1 \sqrt{1-x^2}\; dx =& 
	\;4\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta \; d\theta\\[2mm]
	=&
	\;4\int_{0}^{\pi/2} \cos^2\theta \; d\theta\\[2mm]
	=&
	\;2\int_{0}^{\pi/2} 1+\cos(2\theta) \; d\theta = \pi
\end{align*}


\begin{oppgave}{1}
	Regn ut arealet av en ellipse med halvakser $a$ og $b$. 
	En liknende substitusjon gjør vei i vellinga.
\end{oppgave}


\begin{center}\includegraphics[scale=.13]{../figurer/L1021921-Pano}\end{center}

\clearpage

Vi kan fikse krøkkete dobbeltintegraler 
på liknende vis, 
men da må vi se funksjoner fra $\mathbb{R}^2$ til $\mathbb{R}^2$ 
som \textbf{koordinatavbildning} 
istedet for vektorfelt. 
Finn bildet av enhetskvadratet under
lineæravbildningen 
$
	g(x) = Ax 
$
når $A$ er\\[3mm]
\begin{minipage}{26mm}
	\begin{oppgave}{2-1}
		$
			\begin{pmatrix}
				2 & 1 \\
				1 & 2 \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{26mm}
	\begin{oppgave}{2-2}
		$
			\begin{pmatrix}
				2 & 0 \\
				0 & 2 \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{26mm}
	\begin{oppgave}{2-3}
		$
			\begin{pmatrix}
				2 & 0 \\
				0 & 1 \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{26mm}
	\begin{oppgave}{2-4}
		$
			\begin{pmatrix}
				0 & 1 \\
				1 & 0 \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{26mm}
	\begin{oppgave}{2-5}
		$
			\begin{pmatrix}
				1 & 1 \\
				1 & 1 \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{minipage}{42mm}
	\begin{oppgave}{2-6}
		$
			\begin{pmatrix}
				\cos \alpha & -\sin \alpha \\
				\sin \alpha & \cos \alpha \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{48mm}
	\begin{oppgave}{2-7}
		$
			\begin{pmatrix}
				2\cos \alpha & -2\sin \alpha \\
				2\sin \alpha & 2\cos \alpha \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
	\begin{oppgave}{2-8}
		$
			\begin{pmatrix}
				2\cos \alpha & -\sin \alpha \\
				2\sin \alpha & \cos \alpha \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}

Når vi bytta koordinater i enhetssirkelintegralet på første side, 
måtte vi gange med $\cos \theta$ som kompensasjon for at 
$\sin \theta$ reiser fra 0 til 1 
på en litt annen måte enn identitetsfunksjonen gjør
- 
identitetsfunksjonen går med jevn fart fra 0 til 1, 
mens sinusfunksjonen går 
saktere og saktere mot 1 etterhvert som $\theta$ nærmer seg $\pi/2$. 
Dette kommer vi til å måtte kompensere for i dobbeltintegraler også, 
og da er det viktig å forstå at avbildninger strekker og krymper ting. 

\begin{oppgave}{3}
	Finn arealet av alle bildene i oppgavene over.
\end{oppgave}

\begin{minipage}{120mm}
Hvis du skjønte arealkompensasjonsideen, 
har du nøkkelen til å forstå dobbeltintegral over 
tilsynelatende kompliserte definisjonsområder.
Hvis du tenker på en todimensjonal riemannsum som en masse små skyskrapere
med kvadratisk grunnflate
(til høyre ser du et litt patetisk forsøk på å illustrere den ideelle gasslov 
$
f( x)=x_1x_2
$
), 
kan du tenke at koordinatavbildningen forvrenger grunnflatene, 
og da må du gange alle de små volumene med arealfaktoren. 
Finn volumet under den ideelle gasslov
når
$\Omega$ er 
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.12]{../figurer/skyskraper}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{oppgave}{4}
parallellogrammet med hjørner i 
$(0,0)^T$,
$\left( 2,1 \right)^T$,
$\left( 1,2 \right)^T$
og $\left( 3,3 \right)^T$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
	et kvadrat med hjørner i 
	$(0,0)^T$,
	$\left( \sqrt{3}/2,1/2 \right)^T$,
	$\left( -1/2,\sqrt{3}/2 \right)^T$
	og $\left( 1/2,-\sqrt{3}/2 \right)^T$,
	altså enhetskvadratet rotert tretti grader.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
	de andre bildene i oppgave 2 over, 
	samt diamanten fra oppgave 11 i forrige økt. 	
\end{oppgave}



I oppgavene over er 
arealutvidelsesfaktoren konstant
siden $g(x) = Ax$ er en lineæroperator.
For øvrig heter det ikke egentlig \say{arealutvidelsesfaktoren}, 
det var bare et ord jeg fant på.
Det heter egentlig \textbf{jacobideterminanten}\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant}
},
fordi det er determinanten til jacobimatrisen.

\begin{oppgave}{7}
	Finn jacobideterminanten til $g(x) = Ax$ der $A$ er en kvadratisk matrise.
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1020519}\end{center}

\clearpage

På forrige side var alt lineæroperatorer. 
Disse hjelper oss til å takle situasjoner der $\Omega$ 
er et parallellogram. 
For å takle volumet av grillhytten trenger vi noe litt mer komplisert, 
men trikset er det samme,
nenmlig å
finne en koordinatavbildning fra $\mathbb R^2$ til $\mathbb R^2$
slik at $\Omega$ 
\textit{er verdimengden 
til koordinatavbildningen 
dersom definisjonsmengden
er rektangulær}.
Et av de enkleste eksemplene kjenner du allerede godt, 
nemlig $g: [0,\infty)\times [0,2\pi) \to \mathbb R^2$ gitt ved
\[
 x= g(r,\theta)=
\begin{pmatrix}
g_1(r,\theta) \\
g_2(r,\theta) 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
r\cos \theta \\
r\sin \theta
\end{pmatrix}.
\]
Koordinatparet $(r,\theta)$ kalles \textbf{polarkoordinater},
og $g$ kalles \textbf{polarkoordinatavbildningen}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system}
}
Det er ikke så vanlig å tilordne noen bestemt bokstav til koordinatavbildninger, 
men jeg har valgt å bruke bokstaven $g$ inntil videre. 
Det vanligste er å bare skrive $x(r,\theta)$ eller noe sånt.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_common_coordinate_transformations}
}
Dette er kjappere å skrive, 
men kan lede inn i tvetydighet. 



\begin{oppgave}{8}
Regn ut jacobideterminanten til polarkoordinatavbildningen
og finn volumet under den ideelle gasslov når 
$\Omega$ er den delen av enhetssirkelskiven som ligger i første kvadrant.
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{9}
Et område $\Omega$ er begrenset av
\[
	1\leq r \leq 2 \hspace{10mm} \frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3\pi}{4} .
\]
Skisser $\Omega$ og
og finn volumet under den ideelle gasslov på $\Omega$. 
\end{oppgave}

Akkurat som linjeintegraler over skalarfelt kan tolkes som massen 
til en tråd der skalarfeltet gir massetettheten, 
kan dobbeltintegraler tolkes som massen til 
en flat ting $\Omega$ dersom $f$ er massetettheten i vekt per areal: 
\begin{align*}
	m = \iint_\Omega f
\end{align*}
\textbf{Massesenteret}\footnote{
	\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_18.html}
} 
er gitt ved 
\begin{align*}
	\frac{1}{m}\iint_\Omega xf(x)\; dx = 
	\frac{1}{m}
	\left( \;
		\begin{matrix}
			\iint_\Omega x_1f(x)\;dx \\[3mm]
			\iint_\Omega x_2f(x)\;dx 
		\end{matrix}
	\; \right).
\end{align*}
Anta konstant massetetthet, 
og finn massesentrene til 

\begin{minipage}{70mm}
\begin{oppgave}{10}
alle områdene på forrige side.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{11}
et kakestykke.
\end{oppgave}
\end{minipage}

Det er ellers ikke bare i dobbeltintegraler 
koordinattransformasjoner er nyttige.
Fysikere simpelthen \textit{elsker}
områder med radiell symmetri, 
for det første fordi slike områder er 
lette å gjøre beregninger på, 
antagelig også fordi de er lett å produsere. 
En overfres eller en drill lager jo sirkulære hull. 
Det er nok billigere å produsere strømkabler med 
sirkulære enn elliptiske tverrsnitt. 

\begin{oppgave}{12}
	Fysikere elsker også Laplaces likning. 
Vis at laplaceoperatoren blir
\[ 
\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
%=u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta \theta}
\]
i polarkoordinater,
og finn alle løsninger av laplaces likning som ikke avhenger av $\theta$. 
\end{oppgave}


\clearpage

I uttrykket for standardnormalfordelingen
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\; dx
\]
er det en multiplikasjonsfaktor $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$,
som skyldes at arealet under en sannsynlighetstetthet må være 1.
Det sies at Lord Kelvin\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Lord_Kelvin}
} 
under en forelesning spurte ut i salen 
om det var noen som visste hva en matematiker var for noe. 
Ingen svarte. 
Da skrev han opp likningen 
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\; dx=\sqrt{\pi},
\]
pekte på den og sa:\\[2mm]
\say{En matematiker er en som synes dette er like innlysende som 
det er for deg at $2\cdot 2 = 4$.}



\begin{oppgave}{13}
Vi vet at $e^{-x^2/2}$ ikke kan antideriveres på noen enkel måte,
men nå kan vi få has på integralet over allikevel.
Regn ut at
\[
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\; dx=\sqrt{\pi}
\]
ved å beregne $I^2$ med polarkoordinater.
\end{oppgave}


Det finnes mange smarte koordinatavbildninger. 
Husk at tommelfingerregelen for å finne korrekt koordinatavbildning er at 
$\Omega$ skal være bildet av et gunstig område, 
helst et rektangel. 


\begin{oppgave}{14}
Finn en gunstig koordinatavbildning dersom $\Omega$ er ellipsen
\[
\frac{x^2}{a^2}
+
\frac{y^2}{b^2}
\leq 1
\]
og finn volumet av grillhytten.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{15}
Du går en skitur på en øy gitt ved  
\begin{align*}
	h(x)=1-x_1^2-x_1x_2-x_2^2	
\end{align*}
der $h(x)=0$ er havnivået. 
Hva slags kurver er ekvidistanselinjene?
Finn øyas totale volum.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{16}
	Finn volumet under den ideelle gasslov når $\Omega$ er 
	området mellom parablene 
	\begin{align*}
	x_2=x_1^2, 
	\hspace*{10mm}
	x_2=2x_1^2,
	\hspace*{10mm}
	x_1=x_2^2 
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	x_1=2x_2^2.
	\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{17}
	Her er en gammel eksamensoppgave.
    La $f: \Omega \to \mathbb{R}^2$ være gitt ved
    \[
        f(x_1,x_2)=x_1 + 2x_2 + 4
    \]
    der $\Omega$ er ellipseskiven gitt ved 
    \[
    \frac{\left( x_1+x_2 \right)^2}{4} + \left( x_1-x_2 \right)^2 \leq 1.
    \]
    Finn volumet under grafen til $f$.

\end{oppgave}





\end{document}
