\input{preamble} \title{TEMATIME - 44 - H26} \begin{document} \pagenumbering{gobble} \maketitle \section*{NEWTONS AVKJØLINGSLOV} Dette er oppgave 6 fra eksamen i SIF5003 Matematikk 1, 8. desember 1999, den gangen det var lov å lage artige eksamensoppgaver:\footnote{ \url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100/eksamen/sif5003_1999-12-08.pdf} } \begin{quote} Når strømmen går klokken 00.00 den 1. januar år 2000, sitter Kjell Magne på sitt kontor som da holder temperaturen $19.0^\circ$C. Fra dette tidspunkt avtar temperaturen på kontoret i samsvar med Newtons avkjølingslov: Temperaturendringen pr. tidsenhet er proporsjonal med differansen mellom inne- og utetemperatur. Utetemperaturen denne rekordkalde natten er $-36.9^\circ$C. Klokken 01.00 er temperaturen på kontoret falt til $10.8^\circ$C. På Kjell Magnes bord står et glass med vann. Hva er klokken når vannet i glasset begynner å fryse? \end{quote} La $T(t)$ være temperaturen på kontoret $t$ timer etter at strømmen gikk, la $T_0$ være temperaturen ved $t=0$, og la $T_U$ være utetemperaturen. Newtons avkjølingslov er en litt grov, men ganske nyttig modell som sier at temperaturendringen $T'(t)$ er proporsjonal med temperaturforskjellen mellom ute og inne: \[ T'(t)=\alpha \left(T_U-T(t)\right) \qquad T(0)=T_0 \] Proporsjonalitetskonstanten $\alpha > 0$ inneholder all informasjon om hvor fort varmen lekker ut gjennom veggene, og varmekapasiteten til kontoret og så videre. Vi organiserer likningen slik \[ T'(t)+\alpha T(t)=\alpha T_U \] og ganger med $e^{\alpha t}$ på begge sider av likhetstegnet: \[ e^{\alpha t}T'(t)+\alpha e^{\alpha t}T(t)=\alpha T_U e^{\alpha t}. \] Venstresiden er nå nøyaktig det vi får når vi deriverer $e^{\alpha t}T(t)$ med produktregelen, så likningen kan skrives \[ \frac{d}{dt}\left( e^{\alpha t}T(t) \right)=\alpha T_U e^{\alpha t}. \] Nå integrerer vi begge sider og får \[ e^{\alpha t}T(t)=T_U e^{\alpha t}+c \] der $c$ er en vilkårlig konstant. Ganger vi med $e^{-\alpha t}$ på begge sider, står $T(t)$ alene: \[ T(t)=T_U+ce^{-\alpha t}. \] Initialkravet $T(0)=T_0$ gir $T_0=T_U+c$, altså $c=T_0-T_U$, og vi sitter igjen med \[ T(t)=T_U+\left(T_0-T_U\right)e^{-\alpha t}. \] Når $t$ går mot uendelig, går $T(t)$ mot $T_U$, så kontoret ender til slutt opp like kaldt som ute. Løsningsteknikken kalles integrerende faktor, men det er et litt misvisende navn, for penn-og-papir-løsningsteknikker for differensiallikninger består stort sett i å gange likningen med et eller annet og integrere. Dette prinsippet er enkelt å forstå, men tar en del trening å trene opp et øye for hva man skal gange med for å klare å integrere. Med $T_0=19.0$ og $T_U=-36.9$ er \[ T(t)=-36.9+55.9e^{-\alpha t}, \] og siden $T(1)=10.8$, er $55.9e^{-\alpha}=47.7$, altså $\alpha=\ln(55.9/47.7)\approx 0.159$ per time. Vannet begynner å fryse når $T(t)=0$, altså når $55.9e^{-\alpha t}=36.9$, som gir \[ t=\frac{\ln(55.9/36.9)}{\ln(55.9/47.7)}\approx 2.62. \] Klokken er da omtrent 02.37. \section*{LAVPASSFILTERET} Nå tar vi en helt annen modell som leder til nøyaktig samme differensiallikning. En motstand og en kondensator som kobles i serie med en spenningskilde, kalles et lavpassfilter om spenningen $v(t)$ måles i punktet markert $v(t)$: \begin{center} \begin{circuitikz} \draw (0,3) to [R] (1,3) to [short,-*] (2,3) to [C] (4,3) to (4,1) to (0,1); \draw (-2,3) to [open,v=$f(t)$] (-2,1); \draw node at (1,2.5) {$R$}; \draw node at (2.5,2.45) {$C$}; \draw node at (2,3.5) {$v(t)$}; \draw (0,3) to [short] (-1,3); \draw (0,1) to [short] (-1,1); \draw (-1,3) to [V] (-1,1); \draw node[ground] at (-1,1) {}; \end{circuitikz} \end{center} Kirchhoffs spenningslov og elementlovene for motstand og kondensator gir \[ RC v'(t) + v(t)=f(t) \qquad v(0)=v_0. \] La oss først sette $f=0$ og løse det enkleste problemet \[ RC v'(t) + v(t)=0 \qquad v(0)=v_0. \] Vi setter $x(t) = RCv(t)$ og får \[ x(t)=ce^{-t/RC}. \] Initialkravet $v(0)=v_0$ gir $x(0)=RCv_0$, slik at \[ x(t)=RCv_0e^{-t/RC} \qquad \text{eller} \qquad v(t)=v_0e^{-t/RC}. \] Når $t$ går mot uendelig, går $v(t)$ mot null, så med kilden skrudd av lades kondensatoren ut gjennom motstanden. \section*{RADIOAKTIV NEDBRYTNING} Radiokarbondatering modelleres av akkurat den samme likningen som lavpassfilteret med kilden skrudd av.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Radiocarbon_dating}} Dersom $t$ måles i år og $x(t)$ er C-14-konsentrasjonen, tilfredsstiller $x$ likningen \[ x'(t) = - \frac{\ln 2}{5700} x(t) \] der $\lambda = \ln (2)/5700$ kalles \textbf{desintegrasjonskonstanten} eller \textbf{nedbrytningskonstanten}. La oss finne ut omtrent når et dyr avgikk med døden dersom liket inneholder en tiendedel av min C-14-konsentrasjon. (Jeg lever ennå.) Vi vet at løsningen er \[ x(t) = x_0e^{-\lambda t} = x_0 2^{-t/5700}. \] Nå er det irrelevant hva $x_0$ er, så lenge vi finner det tidspunktet der $x(t)$ er nede i en tiendedel av $x_0$, som gir likningen \[ \frac{1}{10} = 2^{-t/5700} \] som gir \[ \text{DYRETS DØD} = t = 5700 \frac{\ln 10}{\ln 2}. \] Dyret døde altså for om lag 19000 år siden. Dette er omtrentlig, for C-14-konsentrasjonen var ikke den samme da som nå, og forskere krangler ennå om hva det nøyaktige C-14-innholdet i atmosfæren har vært de siste 50000 årene. C-14 dannes når nøytroner fra kosmisk stråling kræsjer med N-14-isotoper høyt oppe i troposfæren, men et par atombombesprengninger (som produserer mye C-14) og massevis av $\ce{CO2}$ fra fossilt brennstoff (som produserer mye C-12) har gjort alt litt komplisert. Tritium\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Isotopes_of_hydrogen}} har halveringstid på 12 år og 3 måneder. Dersom $t$ måles i år, skal mengden tritium halveres hver gang det har gått $12.25$ år, så desintegrasjonskonstanten $\lambda$ til tritium må tilfredsstille \[ \frac{1}{2} = e^{-12.25\lambda } \] som gir $\lambda = \left( \ln 2 \right)/12.25 \approx 0.057$. \section*{ATMOSFÆRETRYKK} La oss finne ut hvordan trykket varierer med høyden i en høy og tynn sylinder dersom den er fylt av en ideell gass.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_gas_law}} Jeg skal bruke den ideelle gasslov\footnote{Jeg skriver NTk istedet for NkT. Det er lettere å huske siden det rimer på \say{NTH}} \[ pV = NTk. \] Hvis vi antar at trykkforskjellen mellom $h$ og $h+dh$ kun skyldes vekten av gassen mellom disse to høydene, kan vi skrive (trykket er høyere ved $h$ enn ved $h+dh$) \[ p(h)-p(h+dh) = \frac{mgN}{V} dh \] der $N$ er antall gassmolekyler mellom $h$ og $h+dh$, $m$ er massen til hvert molekyl, og $g$ er tyngdeakselerasjonen. Jeg har også brukt at arealet av tverrsnittet kan skrives $V/dh$, der $V$ er volumet mellom $h$ og $h+dh$. La oss nå bruke den ideelle gasslov, og dele på $dh$: \begin{minipage}{112mm} \[ \frac{p(h+dh)-p(h)}{dh} = -\frac{mgp}{Tk} \] Dersom vi lar $dh \to 0$ og antar at $T$ er konstant, får vi differensiallikningen \[ p'\left( h \right) = -\frac{mg}{Tk}p(h). \] \end{minipage} \begin{minipage}{35mm} \begin{center} \includegraphics[scale=.3]{../figurer/trykk} \end{center} \end{minipage} Anta at dette er en modell for trykket i atmosfæren, der $h$ er høyden over havet. Likningen er den samme som for radioaktiv nedbrytning, med $mg/Tk$ i rollen til $\lambda$ og $h$ i rollen til $t$, så trykket som funksjon av høyden over havet er \[ p(h)=p_0e^{-mgh/Tk} \] der $p_0$ er trykket ved havoverflaten. Denne modellen er ikke så god, ser her:\\ \url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_40.html} \section*{E. COLI} Prokaryoter og mange typer sopp (for eksempel ølgjær) deler seg ved såkalt avsnøring; dette betyr at de kloner seg selv fra tid til annen.\footnote{\url{https://snl.no/celledeling}} \textit{E. Coli} deler seg for eksempel omtrent hvert tjuende minutt ved vår kroppstemperatur 310 K. La $x(t)$ være antall bakterier ved tiden $t$. Dersom bakteriene alltid deler seg i to etter det samme tidsintervallet, er endringen $x'(t)$ proporsjonal med antall bakterier $x(t)$: \[ x'(t)=\lambda x(t) \qquad x(0)=x_0 \] I biologi kalles $\lambda$ \textbf{vekstraten}. Dersom $t$ måles i 20-minutters inkrementer blir $\lambda=\ln 2$, slik at \[ x(t) = x_0 e^{\lambda t} = x_0 e^{\left( \ln 2 \right)t} = x_0 2^{t}. \] Dersom $t$ måles i sekunder,\footnote{SI-enheter har en viss forrang over andre enheter; en gang krasjet visst en ubemannet marssonde fordi en gjeng med amerikanere hadde skrevet noe software der det var brukt fot og pund i stedet for meter og kilogram.} skal antall bakterier dobles hver gang det har gått $1200$ sekunder. Vi kan egentlig gjøre det enkelt og si at det skal dobles fra $t=0$ til $t=1200$: \[ 2 = e^{1200\lambda } \] som gir $\lambda = \left( \ln 2 \right)/1200$. Her er skjermdumper av \url{https://www.youtube.com/watch?v=gEwzDydciWc}\\ \begin{center} \includegraphics[scale=.3]{../figurer/ecoli-1} \includegraphics[scale=.3]{../figurer/ecoli-2} \includegraphics[scale=.3]{../figurer/ecoli-3} \includegraphics[scale=.3]{../figurer/ecoli-4} \includegraphics[scale=.3]{../figurer/ecoli-5} \includegraphics[scale=.3]{../figurer/ecoli-6} \includegraphics[scale=.3]{../figurer/ecoli-7} \end{center} \begin{minipage}{70mm} \section*{TIDSKONSTANTEN} Ett og samme initialverdiproblem \[ x'(t) + \lambda x(t) = \beta \qquad x(0) = x_0 \] med løsning \[ x(t) = \left( x_0-\frac{\beta}{\lambda} \right)e^{-\lambda t} + \frac{\beta}{\lambda} \] er en modell for så mange forskjellige ting at det er galskap å bli ingeniør uten å lære seg det. Til høyre er et generisk plot. \end{minipage} \begin{minipage}{78mm} \begin{center} \includegraphics[scale=.29]{../figurer/lti-1} \end{center} \end{minipage} Vi kaller $1/\lambda$ \textbf{tidskonstanten} til differensiallikningen.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Time_constant}} Siden $1/e \approx 0.36787944117$, ser vi at ved $t=1/\lambda$, har $x$ nådd om lag 63 prosent av veien fra $x_0$ til $\beta/\lambda$. Dette initialverdiproblemet er forresten et eksempel på et \textbf{lineært tidsinvariant system}\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_time-invariant_system}} og hvis du sier til en gammel ingeniør at du har et LTI-system med tidskonstant sånn og sånn, vil figuren over umiddelbart dukke opp på vedkommendes hjernebark. Kontoret til Kjell Magne har tidskonstant $1/\alpha \approx 6.3$ timer, og lavpassfilteret har tidskonstant $RC$. For radioaktiv nedbrytning er tidskonstanten $1/\lambda$, altså halveringstiden delt på $\ln 2$: omtrent 8200 år for C-14 og 17.7 år for tritium. I trykkmodellen er det høyden som spiller rollen til tiden, så der er tidskonstanten en høyde, nemlig $Tk/mg$, som er omtrent 8 kilometer for luft. \section*{LAVPASSFILTER MED SPENNINGSKILDE} Lavpassfilteret med spenningskilde er \[ x'(t) + \frac{1}{RC} x(t)=f(t) \] og integrerende faktor gir \[ e^{t/RC}x(t)-x(0)=\int_0^t f(s)e^{s/RC}\; ds. \] Bruker vi $x(0)=RCv_0$ og løser for $x(t)$, får vi \begin{align*} x(t)&=RCv_0e^{-t/RC}+e^{-t/RC}\int_0^t f(s)e^{s/RC}\; ds \\[3mm] &=RCv_0e^{-t/RC}+\int_0^t f(s)e^{-(t-s)/RC}\; ds. \end{align*} Integralet kalles en \textbf{folding} eller \textbf{konvolusjon} og deler vi på $RC$, får vi spenningen over kondensatoren: \[ v(t)=v_0e^{-t/RC}+\frac{1}{RC}\int_0^t f(s)e^{-(t-s)/RC}\; ds. \] Et relevant regneeksempel for linjer som må gjennom kretsteori, er $f(t)=\cos(t)$, og der $v_0=0$. Da gir formelen over \[ v(t)=\frac{1}{RC}\int_0^t \cos(s)e^{-(t-s)/RC}\; ds=\frac{1}{RC}e^{-t/RC}\int_0^t \cos(s)e^{s/RC}\; ds. \] Integralet regner vi ut med delvis integrasjon to ganger, der vi begge ganger deriverer $e^{s/RC}$: \begin{align*} \int_0^t \cos(s)e^{s/RC}\; ds&=\sin(t)e^{t/RC}-\frac{1}{RC}\int_0^t \sin(s)e^{s/RC}\; ds \\[3mm] &=\sin(t)e^{t/RC}+\frac{1}{RC}\cos(t)e^{t/RC}-\frac{1}{RC}-\frac{1}{(RC)^2}\int_0^t \cos(s)e^{s/RC}\; ds. \end{align*} Nå er vi tilbake til integralet vi startet med, så vi kan løse likningen for det: \[ \int_0^t \cos(s)e^{s/RC}\; ds=\frac{RC\left( \cos(t)+RC\sin(t) \right)e^{t/RC}-RC}{1+(RC)^2}. \] Ganger vi med $e^{-t/RC}$ og deler på $RC$, får vi \[ v(t)=\frac{\cos(t)+RC\sin(t)-e^{-t/RC}}{1+(RC)^2}. \] Leddet med $e^{-t/RC}$ dør ut, og igjen står en svingning med samme frekvens som kilden. Dette integralet blir enklere å regne med Eulers formel, så det er lurt å vende tilbake det. \section*{LAVPASSFILTER MED POTMETER} Det er vanlig å utvide denne teknikken også til å inkludere initialverdiproblemer på formen \[ x'(t) + a(t) x(t)=f(t) \qquad x(0)=x_0 \] som oppstår dersom du for eksempel bytter ut motstanden med et potmeter som du skrur på mens strømmen går, eller kondensatorplater som endrer avstand over tid eller noe annet slikt. Løsningsteknikken er den samme, men den integrerende faktoren er mer komplisert: \[ \exp \left( \int_0^t a(s)\; ds \right) \] Prosedyren gir \begin{align*} x(t)&=x_0\exp \left( -\int_0^t a(s)\; ds \right)+\exp \left( -\int_0^t a(s)\; ds \right)\int_0^t f(u)\exp \left( \int_0^u a(s)\; ds \right)\; du \\[3mm] &=x_0\exp \left( -\int_0^t a(s)\; ds \right)+\int_0^t f(u)\exp \left( -\int_u^t a(s)\; ds \right)\; du. \end{align*} men det er antagelig enklere for studentene om vi presenterer teknikken gjennom eksempler. Jeg kommer bare på ett eksempel jeg har hatt bruk for i grunnutdanninga - den som dukker opp når man regner ut fourieromvendingen til standardnormalfordelingen: \[ x'(t) + tx(t)= 0 \] Her er $f=0$ og $a(t)=t$. Da er \[ \int_0^t a(s)\; ds=\int_0^t s\; ds=\frac{t^2}{2}, \] så den integrerende faktoren er $e^{t^2/2}$, og formelen over gir \[ x(t)=x_0e^{-t^2/2} \] der $x_0=x(0)$. \section*{PENDELEN} En pendel som henger fra taket og dingler uten friksjon eller luftmotstand, tilfredsstiller ifølge Newtons andre lov \[ \theta''(t)+\frac{g}{l}\sin \theta(t)=0, \] der $\theta$ er vinkelutslaget med loddlinjen, $l$ er pendelens lengde og $g$ er tyngdeakselerasjonen. Her er $ml^2 \theta'(t)$ der $m$ er massen til pendelen en fornuftig integrerende faktor, siden vi kan integrere og få \[ \frac{1}{2}m\left( l\theta'(t) \right)^2-mgl\cos \theta(t)=c \] der $c$ er en konstant. Venstresiden er summen av kinetisk og potensiell energi så her har vi likningen for konservert energi. (Jeg lurte fælt på dette på dette når jeg gikk på gymnaset.) \section*{SKIPET} \definecolor{gzblue}{HTML}{0072B2} \definecolor{gzverm}{HTML}{D55E00} \definecolor{gzsky}{HTML}{56B4E9} \definecolor{gzgrey}{HTML}{7F7F7F} \begin{minipage}{95mm} Vi fester en loddrett og masseløs stang med lengde $l$ til gulvet med en torsjonsfjær med stivhet $k$, og setter en punktmasse $m$ på toppen. Fjæren leverer et moment $k\theta$ som er proporsjonalt med utslagsvinkelen $\theta$ fra loddlinjen og drar stangen tilbake, mens tyngdekraften gir momentet $mgl\sin \theta$, som drar den lenger ut. \end{minipage} \begin{minipage}{50mm} \begin{center} \begin{tikzpicture}[font=\footnotesize] \draw[thick] (-1.4,0) -- (1.6,0); \foreach \x in {-1.2,-1.0,...,1.6} \draw (\x,0) -- (\x-0.2,-0.2); \draw[densely dotted] (0,0) -- (0,2.7); \draw[thick] plot[domain=0:1080, samples=120, variable=\t, smooth] ({(0.05+0.00025*\t)*cos(\t)}, {(0.05+0.00025*\t)*sin(\t)}); \node at (-0.55,0.45) {$k$}; \draw[thick] (0,0) -- (0.821,2.255) node[midway, right=2pt] {$l$}; \fill (0.821,2.255) circle (3pt) node[above right=1pt] {$m$}; \draw (0,1.5) arc (90:70:1.5) node[midway, above] {$\theta$}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{minipage} Newtons andre lov gir \[ ml^2\theta''(t)=mgl\sin \theta(t)-k\theta(t). \] Ganger vi med $\theta'(t)$ og integrerer, får vi \[ \frac{1}{2}m\left( l\theta'(t) \right)^2+\frac{1}{2}k\theta(t)^2+mgl\cos \theta(t)=c. \] Her er $mgl\cos \theta$ den potensielle energien til massen, siden den sitter $l\cos \theta$ over gulvet, og $\frac{1}{2}k\theta^2$ er energien som er lagret i fjæren. For små utslag er $\sin \theta \approx \theta$, og da står det \[ ml^2\theta''(t)+\left( k-mgl \right)\theta(t)=0. \] Stangen svinger rundt loddlinjen hvis $k>mgl$, og velter hvis $k|, thin] (0,-0.34) -- (67.5,-0.34) node[midway, above] {stabilitetsområdet}; \end{tikzpicture} \end{center} Frem til dekkskanten går under vann ved $26.6^\circ$, følger kurven den stiplede formelen for et skip med loddrette sider, og den ligger over tangenten $GM\varphi$. Så flater den ut, når toppen $1.04$ meter ved $39^\circ$ og krysser null ved $67.5^\circ$. Krenger lekteren mer enn det, kantrer den. Ganger vi rullelikningen med $\varphi'(t)$ og integrerer, får vi \[ \frac{1}{2}I\varphi'(t)^2+\Delta \int_0^{\varphi(t)} GZ(\psi)\; d\psi=c. \] Den potensielle energien er altså vekten av skipet ganger arealet under $GZ$-kurven. Arealet frem til $67.5^\circ$ er $0.65$ m$\cdot$rad, så en bølge må tilføre energien $0.65\,\Delta$ for å kantre lekteren. Derfor stiller IMO krav til arealet under kurven:\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/International_Code_on_Intact_Stability}} minst $0.055$ m$\cdot$rad frem til $30^\circ$ og minst $0.030$ m$\cdot$rad mellom $30^\circ$ og $40^\circ$. Lekteren har $0.18$ og $0.17$. \section*{TORRICELLIS LOV} I modelleringsforelesningen i fjor lagde jeg et enkelt eksperiment: Jeg stakk hull i bunnen på en tom ølboks, skar ut en loddrett stripe i siden og teipet over, slik at man kunne se vannstanden $h(t)$ mens boksen tømtes. Så prøvde jeg to modeller. I den første antar vi bare at endringsraten til vannstanden er proporsjonal med vannstanden: \[ h'(t)=-\lambda h(t) \qquad h(0)=h_0. \] Dette er samme likning som for radioaktiv nedbrytning, så løsningen er \[ h(t)=h_0e^{-\lambda t}. \] I den andre antar vi at den kinetiske energien til hvert vannmolekyl som går ut gjennom hullet, er hentet fra den potensielle energien til et tilsvarende vannmolekyl i det øverste laget i boksen. Har molekylet masse $m$ og fart $v$ ut av hullet, betyr det at \[ \frac{1}{2}mv^2=mgh \] der $g$ er tyngdeakselerasjonen. Dette gir \textbf{Torricellis lov}:\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Torricelli's_law}} \[ v=\sqrt{2gh}. \] Vannet kommer altså ut av hullet like fort som om det hadde falt fritt fra overflaten. Vannvolumet i boksen er $Bh(t)$, der $B$ er arealet av tverrsnittet til boksen, og det minker med $Av$ per tidsenhet, der $A$ er arealet av hullet: \[ Bh'(t)=-A\sqrt{2gh(t)} \qquad h(0)=h_0. \] Prinsippet om å gange likningen med et eller annet og integrere virker fremdeles, det bare heter separabel likning istedet. Vi deler på $2B\sqrt{h(t)}$: \[ \frac{h'(t)}{2\sqrt{h(t)}}=-\frac{A}{B}\sqrt{\frac{g}{2}}. \] Venstresiden er nå nøyaktig det vi får når vi deriverer $\sqrt{h(t)}$ med kjerneregelen, så likningen kan skrives \[ \frac{d}{dt}\sqrt{h(t)}=-\frac{A}{B}\sqrt{\frac{g}{2}}. \] Nå integrerer vi begge sider fra $0$ til $t$ og får \[ \sqrt{h(t)}-\sqrt{h_0}=-\frac{A}{B}\sqrt{\frac{g}{2}}\; t. \] Boksen er tom når $\sqrt{h(t)}=0$, altså etter tømmetiden \[ T=\frac{B}{A}\sqrt{\frac{2h_0}{g}}, \] og frem til da er \[ h(t)=h_0\left( 1-\frac{t}{T} \right)^2. \] Den første modellen sier at boksen aldri blir helt tom, mens Torricellis lov sier at vannstanden følger en parabel med bunnpunkt akkurat idet boksen er tom. Jeg fikk en student i hver parallell til å filme vannstanden etter som boksen tømtes, og så notere ned tidspunkter mot vannstand og så sjekket vi begge modeller. Det var faktisk den første modellen som spådde vannstanden best - Torricelli gjør noen antagelser som sjelden stemmer. \section*{LOGISTISK VEKST} Ecolimodellen \[ x'(t) = ax(t) \qquad x(0) = x_0 \qquad a > 0 \] spår eksponensiell vekst for all fremtid. Men som David Attenborough i 2013 uttalte under et foredrag i The Royal Geographical Society:\\ \say{Anyone who thinks that you can have infinite growth in a finite environment is either a madman or an economist.}\footnote{Sitatets opprinnelse er noe usikker. Det var nok ikke han som fant det på.}\\ Dyr som formerer seg kan sjelden fortsette med det uten å før eller siden oppleve noen som helst form for begrensning i veksten.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gombe_Chimpanzee_War}} Den enkleste utvidelsen for å inkorporere dette i modellen, er å erstatte $a$ med en positiv funksjon som har et nullpunkt i den bestanden $x$ som maksimalt kan opprettholdes på området. Hvis vi gjør det enkelt og sier at denne funksjonen skal være en rett linje, får vi det \textbf{logistiske problemet}\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function}} \[ x'(t)=a\left( 1-x(t)/k \right)x(t) \qquad x(0) = x_0 \qquad a >0,\; k > 0 \] der $k$ er en konstant som kalles \textbf{bærekapasiteten}. Vi delbrøksoppspalter \[ \frac{x'(t)}{x(t)}+\frac{x'(t)}{k-x(t)}=a. \] Så lenge $0