\input{preamble}

\title{TEMATIME - 44 - H25}


\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

%MTDT, MTENERG, MTTK, MTELSYS



La oss si at vi har en kokt elgtunge med temperatur $T(t)$
som ved tiden $t=0$ har temperaturen $T_0$,
og så setter vi den inn i et kjøleskap med temperatur $T_k$.
Newtons avkjølingslov er en litt grov, 
men ganske nyttig\footnote{Jeg har brukt Newtons avkjølingslov med hell et par ganger når jeg skulle brygge øl og ikke hadde spiralkjøler.
Vørteren må kjøles fra 373 til 298 K (da skal gjæren oppi),
og dette tar noen timer.
Dersom du måler temperaturen på minst to forskjellige tidspunkt,
kan du estimere $\alpha$ og så gjøre et anslag på når temperaturen er riktig.
Dette er gunstig,
for da kan man gjøre noe annet i mellomtiden.}
modell som sier at temperaturendringen $\dot T(t)$
er proporsjonal med temperaturforskjellen mellom kjøleskapet og elgtungen:
\[
\dot{T}(t)=\alpha \left(T_K-T(t)\right) \qquad T(0)=T_0
\]
Proporsjonalitetskonstanten $\alpha > 0$ inneholder all informasjon om hvor fort
varmeflyten går mellom elgtungen og omgivelsene,
og varmekapasiteten til elgtungen og så videre.
Fra eksamen i TMA4100:

\begin{oppgave}{1}
En elgtunge med temperatur $6^\circ$C
settes på kjøkkenbenken.
Etter to timer er temperaturen steget til $13^\circ$C,
og lufttemperaturen i kjøkkenet var $20^\circ$C. 
Finn $\alpha$ og lag et plot av temperaturen.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
Da temperaturen var $15^\circ$C, 
ble elgtungen satt inn igjen i kjøleskapet. 
En time senere var temperaturen i tungen sunket til $12^\circ$C. 
Hva var temperaturen i kjøleskapet?
Anta samme $\alpha$ som i forrige oppgave.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{Klassiker!}
Oppgave 7 herfra:\\[1mm] \url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100/eksamen/tma4100_2013h.pdf}
\end{oppgave}

La oss nå si at du tar den nytrekte elgtungen med temperatur på 
88 grader og nedsenker den i en bøtte med vann fra springen på 4 grader 
(dette er nødvendig om det skal gå lett å dra av skinnet)
og setter bøtta ut på verandaen, 
der det er 0 grader, 
gir Newtons avkjølingslov differensiallikningene
\begin{align*}
	\dot x_1=&\; \alpha_1 \left( x_2 - x_1 \right)\\
	\dot x_2=&\; \alpha_1 \left( x_1 - x_2 \right) + \alpha_2 \left( 0 - x_2 \right)
\end{align*}
der $x_1$ er temperaturen i elgtungen,
$x_2$ er temperaturen i vannet, 
$\alpha_1$ er varmeoverføringskoeffisienten mellom vannet og tungen og
og $\alpha_2$ er varmeoverføringskoeffisienten mellom vannet og luften på verandaen.

\begin{oppgave}{3}
	Høyresiden i dette likningssystemet er et matriseprodukt på formen $A\V x$. 
	Finn $A$. 
\end{oppgave}

La oss sette $\alpha_1 = \alpha_2 = 1$
eller $L_1=L_2=1$, 
$R_2=R_3=1$ og
$R_1=0$,
slik at vi får et litt håndterlig system:\\[-6mm]
\begin{align*}
	\dot x_1=&\; -x_1 + x_2\\
	\dot x_2=&\; \hspace*{4.5mm} x_1 -  2x_2
\end{align*}
Dette kalles et 
\textbf{lineært og autonomt differensiallikningssystem med konstante koeffisienter}.
Det første vi må gjøre, 
er å sortere den ukjente i en søylevektor
\begin{align*}
        \mathbf{x}(t) =
        \left(\; \begin{matrix}
            x_1(t)\\
            x_2(t)
        \end{matrix} \; \right)\\[-8mm]
\end{align*}
slik at likningsystemet blir\\[-8mm] 
\begin{align*}
	\dot{\V x} =  A\V x 
	\hspace*{10mm}
	\text{der}	
	\hspace*{10mm}
	A=
    \left(\; \begin{matrix}
        -1 & 1\\
         1 & -2
    \end{matrix} \; \right).
\end{align*}

Med andre ord må $\V c$ være en av $A$ sine egenvektorer og $\lambda$ 
den korresponderende egenverdien om $\mathbf x$ som foreslått skal være en løsning. 

\begin{oppgave}{4}
	Finn alle løsningene. 
	Når er temperaturen i vannet 13 grader?
\end{oppgave}


Proporsjonalitetskonstanten $\alpha$ forteller oss noe om hvor raskt varmen 
strømmer mellom elgtungen og omgivelsene, 
og det er en rimelig antagelse at $\alpha$ er avhengig av elgtungens varmekapasitet. 
I praksis kan vi forvente at varmekapasiteten er temperaturavhengig, 
slik at Newtons avkjølingslov blir 
\[
\dot{T}(t)=\alpha(T) \left(T_K-T(t)\right) \qquad T(0)=T_0
\]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{../figurer/varmekapasitet}
\end{center}
En av de enkleste modellene for hvordan krystallers varmekapasitet går som\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_solid}
}
\[
\alpha(T)=\frac{1}{T^2}\frac{e^{1/T}}{(e^{1/T}-1)^2}
\]
(her er en haug med fysiske konstanter satt til én for å få et håndterlig uttrykk for en førsteklassing)
slik at Newtons avkjølingslov blir
\[
\dot{T}+\frac{1}{T^2}\frac{e^{1/T}}{(e^{1/T}-1)^2}\left(T-T_K\right)=0 \quad T(0)=T_0.
\]

\begin{oppgave}{5}
	Løs numerisk med fremlengs euler. 
\end{oppgave}


\end{document}