{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "568bde50", "metadata": {}, "source": [ "# Innlevering 3 - Likningsløsning" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d8de45fe", "metadata": {}, "source": [ "De fleste likninger som detter ut av praktiske anvendelser er\n", "umulige å løse for hånd. \n", "Under ser du et bilde av en torsjonsfjær.\n", "Dette er en slik fjær du finner i musefeller og i gamle dører\n", "og den leverer et moment\n", "som er proporsjonalt med utslagsvinkelen $\\theta$.\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "11f59563", "metadata": {}, "source": [ "![alt text](L1030352.jpg \"Title\")\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b5160e6a", "metadata": {}, "source": [ "Vi fester en horisontal stang med lengde $l$ i en vegg med en torsjonsfjær med stivhet $k$\n", "og legger en vekt $m$ ytterst på stangen.\n", "Gravitasjonskraften fra vekten gir dreiemomentet $ml\\cos \\theta$,\n", "så hvis vi har lyst til å regne ut hvor langt ned vekten drar stangen,\n", "må vi finne punktet der momentet fra fjæren balanserer momentet fra vekten:\n", "\\begin{align*}\n", "\tk\\theta = ml\\cos \\theta\n", "\\end{align*}\n", "\n", "![alt text](torsjonsfjær.png \"Title\")\n", "\n", "Vi setter $ml/k=1$.\n", "Her er et plot av funksjonene $f(\\theta)=\\theta$ og $g(\\theta)=\\cos \\theta$.\n", "Disse krysser hverandre,\n", "så løsningen til likningen eksisterer,\n", "men den er ikke helt god å finne med penn og papir.\n", "Løsningen kalles dottietallet og er oppkalt etter en professor i fransk.\n", "Professor Dottie oppdaget at hvis hun skrev inn et tilfeldig tall på en kalkulator\n", "og trykket gjentatte ganger på cosinusknappen,\n", "endte hun alltid opp på omtrent $0.739085$.\n", "\n", "![alt text](dottie.png \"Title\")\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6d07dc8b", "metadata": {}, "source": [ "1. Løs likningen $\\theta=\\cos \\theta$ med vanlig fikspunktiterasjon. \n", "Spiller $x_0$ noen rolle? Hvor mange interasjoner trengs for å nå maskinpresisjon?" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "3c2846cf", "metadata": {}, "source": [ "På skolen lærte du Newtons metode:\n", "\\begin{align*}\n", " x_{n+1} = x_n - \\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\n", "\\end{align*}\n", "Denne leter etter nullpunkter til $f$. " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "13e724fb", "metadata": {}, "source": [ "\n", "2. Løs likningen $\\theta = \\cos \\theta$ med Newtons metode. \n", "Spiller $x_0$ noen rolle? Hvor mange interasjoner trengs for å nå maskinpresisjon?" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2a734c5b", "metadata": {}, "source": [ "Som du ser av oppgavene over, \n", "oppfører disse to metodene seg helt forskjellig. \n", "Dersom vi skal forstå hvorfor, \n", "trenger vi Taylors teorem, \n", "som sier at dersom $f$ er $n+1$ ganger kontinuerlig deriverbar på et åpent intervall som inneholder $x$ og $x$, \n", "finnes det en $s$ mellom $x$ og $a$ slik at \n", "\\begin{align*}\n", "f(x)&=\n", "f(a)+f'(a)(x-a)+\\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\\cdots+ \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \\frac{1}{n!}\\int^x_a (x-s)^nf^{(n+1)}(s)\\; ds\n", "\\end{align*}\n", "Dersom $n=0$ kalles denne sekantsetningen. \n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "82cb9a0c", "metadata": {}, "source": [ "3. Bruk Taylors teorem $n=0$ til å vise at for fikspunktiterasjonen finnes det,\n", "dersom $g$ er deriverbar og alle brouwers teoremers mor og så finnes $s$ slik at\n", "\\begin{align*}\n", " x_{n+1}-r=g'(s)(x_n-r)\n", "\\end{align*}\n", "der $r=g(r)$ og $x_{n+1} = g(x_n)$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "22218343", "metadata": {}, "source": [ "Dersom man innser at Newtons metode også er en fikspunktiterasjon \n", "\\begin{align*}\n", " x_{n+1} = x_n - \\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = g(x_n)\n", "\\end{align*}\n", "kan vi analysere den på liknende vis, \n", "men vi må sette $n=1$ i Taylors teorem. " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "246855da", "metadata": {}, "source": [ "4. Vis at under noen betingelser på fandens oldemor finnes $s$ slik at \n", "\\begin{align*}\n", "x_{n+1}-r= \\frac{f''(s)}{2f'(x_n)}(r-x_n)^2.\n", "\\end{align*}\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a67c1ab2", "metadata": {}, "source": [ "Jacobis metode \n", "\\begin{align*}\n", " x_{n+1} = D^{-1}\\left(b - (L+U)x_n\\right)\n", "\\end{align*}\n", "for lineære systemer er forresten også en fikspunktiterasjon. \n", "At den konvergerer når $A$ er strengt diagonaldominant er lett å se dersom du kan Banachs fikspunktteorem og vet hva en gershgorinsirkel er. " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "fe5ae1cb", "metadata": {}, "source": [ "5. Vis dette og test Jacobis metode på likningssystemene \n", "\\begin{align*}\n", " 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 4 \\\\\n", " 3x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 5 \\\\\n", " 4x_1 + 5x_2 + 7x_3 = 3 \n", "\\end{align*}\n", "og \n", "\\begin{align*}\n", " -\\frac{1}{\\sqrt{2}}x_1 + \\frac{1}{2}x_2 = 0 \\\\\n", " \\frac{1}{\\sqrt{2}}x_1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2}x_2 = 1 \n", "\\end{align*}\n", "Prøv å spå om det konvergerer før du kjører. \n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c79fcef5", "metadata": {}, "source": [ "Og her er litt kode for cobwebplot forresten. \n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "b8f9f63a", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# pakkene vi trenger\n", "%matplotlib inline\n", "import math # vi trenger tilgang til sinus-funksjonen math.sin() \n", "import numpy as np\n", "import matplotlib.pyplot as plt\n", "\n", "# fikser litt på pyplot\n", "newparams = {'figure.figsize': (8.0, 4.0), 'axes.grid': True,\n", " 'lines.markersize': 8, 'lines.linewidth': 2,\n", " 'font.size': 14}\n", "plt.rcParams.update(newparams)\n", "\n", "# høyresiden i den logistiske ligninga\n", "def f(x,r,K):\n", " return x+r*x*(K-x)\n", "\n", "#parametre\n", "r=1/2 #vekstfaktor \n", "K=1 #bærekapasitet\n", "u0=1/4 #startverdi\n", "nmax=10 # vi itererer nmax ganger\n", "n = np.arange(0.0, nmax+1, 1) \n", "\n", "# itererer u_{n+1} = f(u_n,r,K) nmax ganger; vi starter på (0,u_0)\n", "u = np.zeros(nmax+1) # vi begynner med en vektor u som har nullere overalt\n", "u[0] = u0\n", "punkter = [(0,u0)]\n", "\n", "for i in range(1, nmax+1):\n", " u[i] = f(u[i-1], r, K)\n", " ui = u[i]\n", " punkter.append((i,ui))\n", "\n", "plt.plot(n, u, 'bo') \n", "print(punkter) \n", "\n", "# cobweb-plottet\n", "\n", "x = np.arange(0, 1., 0.01) # lager mesh for grafer på en annen måte enn tidligere\n", "\n", "# vi plotter y = f(x,r,K) og y = x, hvor x representerer u_n\n", "plt.plot(x, f(x,r,K), 'b') # plotter y = f(x,r,K) i blått \n", "plt.plot(x, x, 'r') # plotter y = x i rødt\n", "\n", "# visualiser coweb i grønt\n", "plt.plot([u[0],u[0]], [0,u[1]],'g') # første vertikale linje mellom punktene (u[0],0) og (u[0],u[1])\n", "for i in range(1, nmax):\n", " plt.plot([u[i],u[i]],[u[i],u[i+1]],'g') # lager vertikal linje mellom punktene (u[i],u[i]) og (u[i],u[i+1])\n", "\n", "for i in range(0, nmax):\n", " plt.plot([u[i],u[i+1]],[u[i+1],u[i+1]],'g') # lager horisontal linje mellom punktene (u[i],u[i+1]) og (u[i+1],u[i+1])\n", "\n", "plt.show()" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.8.8" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }